2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第八章第四节直线、平面平行的判定与性质

第四节直线、平面平行的判定与性质





一、基础知识批注——理解深一点

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理❶
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α，
l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b


2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理❷
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

∵a∥β，
b∥β，
a∩b＝P，a⊂α，
b⊂α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b


二、常用结论汇总——规律多一点
平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　)
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)
(3)若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(　　)
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)
(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(二)选一选
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交　　　　　 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
解析：选D　因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
2．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析：选D　A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.

3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β ⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．

(三)填一填
4.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.
又E是AD的中点，所以F是CD的中点．
因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.
答案：
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论正确的是______(填序号)．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
解析：如图，因为AB綊C1D1，
所以四边形AD1C1B为平行四边形．
故AD1∥BC1，从而①正确；
易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，
又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，
故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；
由图易知AD1与DC1异面，故③错误；
因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
所以AD1∥平面BDC1，故④正确．
答案：①②④

考点一　直线与平面平行的判定与性质
考法(一)　直线与平面平行的判定
[典例]　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.

[证明]　如图，连接A1C.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．
又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．
因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.
又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.

考法(二)　线面平行性质定理的应用
[典例]　(2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.
求证：FG∥平面AA1B1B.
[证明]　在四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，
所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.

[解题技法]　
线面平行问题的解题关键
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

[题组训练]

1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.

求证：BM∥平面PAD.
证明：法一：如图，过点M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.
∵PM＝2MC，∴MN＝CD.
又AB＝CD，且AB∥CD，
∴AB綊MN，
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN.
又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
法二：如图，过点M作MN∥PD交CD于点N，连接BN.
∵PM＝2MC，∴DN＝2NC，
又AB∥CD，AB＝CD，
∴AB綊DN，
∴四边形ABND为平行四边形，
∴BN∥AD.
∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN，BN∩MN＝N，
AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，
∴平面MBN∥平面PAD.
∵BM⊂平面MBN，∴BM∥平面PAD.
3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.
求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥MO.
又MO ⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
PA⊂平面PAHG，
∴PA∥GH.
考点二　平面与平面平行的判定与性质

[典例]　如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明]　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.

[变透练清]
1.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图所示，连接A1C，AC1，
设交点为M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.
∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O.
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
[解题技法]
1．判定平面与平面平行的4种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．




2．谨记空间平行关系之间的转化




A级——保大分专练
1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为(　　)
A．平行　　　　　　　　　 B．相交
C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内
解析：选D　依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中
(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：选A　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析：选A　如图，由＝得AC∥EF.
又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
4．(2019·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：选D　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.
5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积V)，
∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.
6.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，
则＝，∴AB＝＝＝.
答案：
7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案：①或③
8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
9.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，
因为OG綊B1C1，BE綊B1C1，
所以BE綊OG，
所以四边形BEGO为平行四边形，
故OB∥EG，
因为OB⊂平面BB1D1D，
EG⊄平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.
连接HB，D1F，因为BH綊D1F，
所以四边形HBFD1是平行四边形，
故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.

10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P­ABM的体积．
解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA，
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝.

B级——创高分自选

1.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N­BCM的体积．
解：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC的中点知TN∥BC，
TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N­BCM的体积VN­BCM＝×S△BCM×＝.

2.如图所示，几何体E­ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
证明：(1)如图所示，取BD的中点O，连接OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，
∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.
又∵O为BD中点．
∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.
(2)取BA的中点N，连接DN，MN.
∵M为AE的中点，∴MN∥BE.
∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB.
∵∠DCB＝120°，DC＝BC，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，
∴DN∥BC.
∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，
∴平面MND∥平面BEC.
又∵DM⊂平面MND，
∴DM∥平面BEC.