2020_2021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲简单的极坐标方程理 试卷

简单的极坐标方程

极坐标

1.公式：

（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

2. 极坐标与直角坐标的转化

（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路

A：直角坐标化为极坐标的步骤

①运用

②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用

（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路

A：直角坐标转化成极坐标

思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。

例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即

B：极坐标转化成直角坐标

类型①：直接转化---直接利用公式转化

例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝1

思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝1

      第二步：用公式转化，即

类型②：利用三角函数的两角和差公式，即

思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简

      第二步：利用公式转化

例如：直线的极坐标方程是

解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即

第二步：利用公式转化

类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为

例如：

思路：直接代入

(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)

三、曲线极坐标与直角坐标互换

（一）圆的直角与极坐标互换

1.圆的极坐标转化成直角坐标

类型一：

详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以，即

类型二：

没有三角函数时，可以考虑两边同时平方

2. 圆的直角坐标转化成极坐标

解题方法一：拆开--公式代入：

解题方法二：代入-拆-合：

1．（2018•北京）在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．

【答案】

【解析】圆，

转化成：，

进一步转化成直角坐标方程为：，

把直线的方程转化成直角坐标方程为：．

由于直线和圆相切，

所以：利用圆心到直线的距离等于半径．

则：，

解得：．

则负值舍去．

故：．

故答案为：．

2．（2017•北京）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．

【答案】1

【解析】设圆为圆，将圆的极坐标方程化为：，

再化为标准方程：；

如图，当在与的交点处时，最小为：

，

故答案为：1．

3．（2017•天津）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为__________．

【答案】2

【解析】直线展开为：，化为：．

圆即，化为直角坐标方程：，配方为：．

圆心到直线的距离．

直线与圆的公共点的个数为2．

故答案为：2．

4．（2020•江苏）在极坐标系中，已知，在直线上，点，在圆上（其中，．

（1）求，的值；

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【解析】（1），在直线上，

，解得．

点，在圆上，

，解得

或时，点表示极点，而圆经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示为0，极角为任意角．

故或0．

（2）由直线与圆得，方程组，则．

，，，．

．

故公共点的极坐标为．

5．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），

消去参数，可得，

故是以原点为圆心，以1为半径的圆；

（2）法一：当时，，消去得到的直角坐标方程为，

的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，

，解得．

与的公共点的直角坐标为．

法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），

两式作差可得，

，得，

整理得：，．

由，又，，

．

联立，解得（舍，或．

与的公共点的直角坐标为．

6．（2019•江苏）在极坐标系中，已知两点，，，直线的方程为．

（1）求，两点间的距离；

（2）求点到直线的距离．

【解析】（1）设极点为，则在中，由余弦定理，得

，

；

（2）由直线的方程，知

直线过，，倾斜角为，

又，，

点到直线的距离为．

7．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系中，，，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．

【解析】（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为，，，

则的极坐标方程为，，的极坐标方程为，，

的极坐标方程为，，

（2）设，由题设及（1）知，

若，由得，得，

若，由得，得或，

若，由得，得，

综上的极坐标为，或，或，或，．

8．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为．

（1）当时，求及的极坐标方程；

（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．

【解析】（1）当时，，

在直线上任取一点，则有，

故的极坐标方程为有；

（2）设，则在中，有，

在线段上，，，

故点轨迹的极坐标方程为，，．

9．（2018•江苏）在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．

【解析】曲线的方程为，，，

曲线是圆心为，半径为得圆．

直线的方程为，，

直线的普通方程为：．

圆心到直线的距离为，

直线被曲线截得的弦长为．

10．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．

【解析】（1）曲线的极坐标方程为．

转换为直角坐标方程为：，

转换为标准式为：．

（2）由于曲线的方程为，则：该射线关于轴对称，且恒过定点．

由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线的距离等于半径2．

故：，或

解得：或0，

当时，不符合条件，故舍去，

同理解得：或0

经检验，直线与曲线．有两个交点．

故的方程为：．

11．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

【解析】（1）曲线的直角坐标方程为：，

设，，则，，

，

，

即，

，即，

两边开方得：，

整理得：，

点的轨迹的直角坐标方程：．

（2）点的直角坐标为，显然点在曲线上，，

曲线的圆心到弦的距离，

的最大面积．

1．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线的距离为__________．

【答案】

【解析】直线的直角坐标方程：

，

极点到直线的距离等于：

．

故答案为：．

2．（2020•河南一模）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，的轨迹为．

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若点，直线的参数方程为为参数），直线与曲线的交点为，，当取最小值时，求直线的普通方程．

【解析】（Ⅰ）根据题意，设点，的极坐标分别为，、，

则有，故曲线的极坐标方程为，

变形可得：，

故的直角坐标方程为，即；

（Ⅱ）设点，对应的参数分别为、，则，，

设直线的参数方程，为参数），

代入的直角坐标方程中，

整理得．

由根与系数的关系得，，

则，

当且仅当时，等号成立，

此时的普通方程为．

3．（2020•沈河区校级模拟）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：为参数，，点的极坐标为．

（1）若是曲线上的动点，求到定点的距离的最小值；

（2）若曲线与曲线有两个不同交点，求正数的取值范围．

【解析】（1）在直角坐标系中，由，，

可得点．

由，得，即，

．

曲线为圆，圆心为，半径为1，

，

的最小值为；

（2）由（1）知，曲线为圆，

曲线的参数方程为：为参数，，

即，移向后平方作和得：

，

曲线为圆心为，半径为的圆，

曲线与曲线有两个不同交点，

，解得，

正数的取值范围是．

4．（2020•武汉模拟）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；

（2）射线与曲线和曲线分别交于，，已知点，求的面积．

【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），

由于①，，②，

①②得：．

根据整理得．

曲线的参数方程为为参数），转换为普通方程为．

转换为极坐标方程为．

（2）射线与曲线和曲线分别交于，，

所以，，

所以，

则的面积为．

5．（2020•道里区校级一模）在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程：

（2）曲线的极坐标方程为，分别交，于，两点，当取何值时，取得最小值．

【解析】（1）曲线根据转换为极坐标方程为．

曲线为参数），转换为直角坐标方程为，整理得．

根据，转换为极坐标方程为．

（2）曲线的极坐标方程为，与交于点，

所以，整理得，

曲线的极坐标方程为，与交于点，

所以，整理得，

所以，．

设，

由于，所以，

所以

所以，

所以，

当时，的最小值为．

6．（2020•德阳模拟）在平面直角坐标系中，已知直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；

（2）射线交圆于、，交直线于，若，两点在轴上投影分别为、，求长度的最小值，并求此时、两点的极坐标．

【解析】（1）已知直线，转换为极坐标方程为．

圆的极坐标方程为．整理得，根据转换为直角坐标方程为．

（2）射线交圆于、，

得到，，若，两点在轴上投影分别为、，

所以，，

当时，，即最小值为2．

由于，

所以点，．

7．（2020•汉阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，．

（1）求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；

（2）若曲线与直线交于不同的两点、，，求的值．

【解析】（1）由，消去参数，得，

令，，

则有，

即，曲线为等轴双曲线；

（2）将直线的极坐标方程代入，得，

曲线与曲线交于不同的两点、，

则，

又，可得或，

设，，，，

则，

解得：，

或，得或．

8．（2020•汉阳区校级模拟）已知曲线为参数且，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若为曲线上一点，求到直线距离的最小值．

【解析】（1）曲线为参数且，

由，两边平方作差得：；

直线的极坐标方程为．

由，且，得．

（2）设，

由点到直线的距离公式可知：．

当且仅当时，取等号．