江苏省镇江市2021届高三数学第一学期期中试题

江苏省镇江市2021届高三数学第一学期期中试题

2020．11

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为

   A．(3，4)          B．(﹣4，3)        C．(，)      D．(，)

2．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝，则AB＝

   A．{﹣1，0，1}    B．{﹣1，1}       C．{﹣1，0}       D．{0，1}

3．已知点P(﹣1，3tan)是角终边上一点，则cos的值为

   A．             B．           C．           D．

4．在边长为2的等边△ABC中，，，则的值为

   A．﹣1            B．           C．1              D．

5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为

   A．10             B．12             C．14             D．24

6．直三棱柱ABC—A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝，则该球的表面积为

   A．          B．           C．           D．

7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”，设直线l交抛物线于A，B两点，若，恰好是Rt△OAB的“勾”“股”（O为坐标原点），则此直线l恒过定点

   A．(，0)         B．(，0)        C．(0，2)          D．(0，4)

8．已知函数，，实数m，n满足m＜n＜0，若[m，n]，(0，)，使得成立，则n﹣m的最大值为

   A．7              B．6              C．          D．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．设，为两个平面，则下列条件中是“∥”成立的必要不充分条件有

A．内有无数条直线与平行           B．内有两条相交直线与平行

C．，垂直于同一平面             D．，平行于同一平面

10．下列条件能使成立的有

   A．b＞a＞0        B．1＞a＞b＞0     C．b＞＞1       D．1＞＞＞0

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是

   A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

B．若cosA＞cosB，则sinA＜sinB

C．若△ABC是锐角三角形，sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

D．若△ABC是钝角三角形，则tanAtanB＋tanBtanC＋tanCtanA＜3

12．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为y＝1.5x＋0.5，且＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则

A．变量x与y具有正相关关系         B．去除后y的估计值增加速度变快

C．去除后与去除前均值，不变     D．去除后的回归方程为y＝1.2x＋1.4

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．已知x，yR，且x﹣2y＝2，则的最小值为       ．

14．已知函数y＝sinx﹣cosx，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x＝   

       ．

15．椭圆C：(a＞b＞0)，以原点为圆心，半径为椭圆C的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C的离心率为       ．

16．已知函数在x(5﹣m2，m﹣1)的值域为[a，b](b＞a)，则实数m的取值范围为       ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知等差数列的前n项和为，若，．

（1）求数列的通项公式及；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝(a2＋b2﹣c2)，③sin(A＋B)＝1＋2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知       ．

（1）求角C的值；

（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，AB＝2，AA1＝，D是AA1的中点，BD与AB1交于O，且CO⊥面ABB1A1．

（1）求证：BC⊥AB1；

（2）若OC＝OA，求二面角D—BC—A的正弦值．

20．（本小题满分12分）

标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率z服从正态分布N(，)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于﹣3的数量，求P(X≥1)及X的数学期望；

（2）下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：

经计算得：

，（其中为抽取的第i个口罩的过滤率）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用该正态分布，求P(z≥0.9524)（精确到0.001）

（附：若随机变量X服从正态分布N(，)，则①P(﹣＜X ＜＋)＝0.6826；②P(﹣2＜X ＜＋2)＝0.9544；③P(﹣3＜X ＜＋3)＝0.9974；另：0.998710≈ 0.9871）

21．（本小题满分12分）

已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的焦距为，且过点A(2，﹣1)，直线l与曲线C右支相切（切点不为右项点），且l分别交双曲线C的两条渐近线与M，N两点，O为坐标原点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）求证：△MON面积为定值，并求出该定值．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若x＜2，求证：；

（2）若函数有两个零点，(＜)．①求实数a的范围；②求证：．

参考答案

17．

18．

19．

20．

21．

22．