山东省招远第一中学2021届高三第一学期期中自主练习数学试卷

招远一中2020-2021学年度第一学期期中自主练习

高三数学

一、选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x≤2}，则A∩B=

A. {-1，0，1}  B. {1，2}   C. {0，1，2}   D. {0，1}

2. 若非零向量的夹角为θ，则“θ∈（0，）”是“||＞||”的

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

3. 若cos（α）=，则sin2α=

A.     B.    C.     D.

4. 设a=20.2，b=，c=log0.20.3，则a，b，c的大小关系为

A. a＜b＜c  B. b＜a＜c  C. b＜c＜a  D. c＜a＜b

5. 若M为△ABC的边AB上一点，且，则=

A.   B.   C.   D.

6. 函数f（x）=在其定义域上的图象大致为

A.   B.

C.   D.

7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-Ta=（T0-Ta），其中Ta是环境温度，h称为半衰期. 现有一杯85ºC的热茶，放置在25ºC的房间中，如果热茶降温到55ºC，需要10分钟，则欲降温到45ºC，大约需要多少分钟？（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

A. 12   B. 14   C. 16   D. 18

8. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

A. [，）     B. []∪{}

C. （]∪（]  D. （0，）∪{}∪[，）

二、选择题：本题共4小题. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 若a＞b＞0，则

A.     B. 2a＞2b-1

C. a2+b2＜2（a+b-1）  D.

10. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（4-x）=f（x），则下列说法正确的是

A. f（x+8）=f（x）

B. f（x）在区间（-2，2）上单调递增

C. f（2019）+f（2020）+f（2021）=0

D. f（x）=cos（）是满足条件的一个函数

11. 函数f（x）=Asin（ωx+），（A，ω，是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则

A. f（x）=cos（）

B. f（x）=sin（2x）

C. f（x）的对称轴为x=kπ，k∈Z

D. f（x）的递减区间为[]，k∈Z

12. 已知函数f（x）=，x∈（0，π]，则下列结论正确的有

A. f（x）在区间（0，π]上单调递减

B. 若0＜x1＜x2≤π，则x1·sinx2＞x2·sinx1

C. f（x）在区间（0，π]上的值域为[0，1）

D. 若函数g（x）=xg’（x）+cosx，且g（π）=-1，则g（x）在（0，π]上单调递减

三、填空题：

13. 设为单位向量，且||=1，则||=

14. 函数f（x）=lnx的定义域为

15. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f’（x），若对任意的正实数，xf’（x）+2f（x）＜0，g（x）=x2f（x），则不等式g（2|x-1|）＞g（-）的解集为

16. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为CA=8km，DB=27km. 为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设∠APC=θ（0＜θ＜），则当PC+PD最小时，AP=________km.

四、解答题：本题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（cosx，sinx），x∈（0，）.

（1）若，求tanx的值；

（2）若在上的投影向量长度为，求x的值.

18. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游. 为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级. 经市场调查，改造后旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=ax2+bx-ln（a，b为常数）. 当x=10万元时，y=17.7万元；当x=15万元时，y=25万元.

（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）

（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润L（x）万元与投入x万元的函数解析式；（利润=旅游增加值-投入）

（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）

19. 在①acosB+bsinA=c，②b+bcosA=asinB，③b2+c2-a2=4S△ABC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求bc的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆半径为2，且b+c=a，________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20. 古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积. 若三角形的三边分别为a、b、c，则其面积s=，这里p=，已知在△ABC中，BC=8，AB=3AC.

（1）设AC=x，试将三角形的面积s表示成x的函数；

（2）求s的最大值，并求三角形面积最大时sinA的值.

21. 已知函数f（x）=（x-1）2+a（lnx-x+1）（a＞0）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若关于x的不等式xf’（x）≥lnx在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.

22. 已知函数f（x）=ex+ax-1（a∈R）.

（1）若对任意的实数x，函数y=f’（x）的图象与直线y=x有且只有两个交点，求a的取值范围；

（2）设g（x）=f（x）x2+1，若函数g（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：g（x1）+g（x2）＞2.

参考答案

一、单选题

C A B D  A B C C

二、多选题

9. ABD  10. ACD  11. AB  12. ACD

三、填空题

13.   14. （0，1]  15. {x|}  16. 12

四、解答题

17. 解：（1）因为，所以=0，

故，所以tanx=.

（2）因为在上的投影向量长度为，所以与的夹角为或.

当夹角为时，cos＜＞=

所以sin（）=，又x∈（0，），所以∈（，），

所以，即x=

当夹角为时，cos＜＞=

所以sin（）=，又∈（，），所以不存在.

综上：所以x的值为

18. 解：（1）由已知得：

化简得：，b=. ∴y=（x≥10）

则该景点改造升级后旅游增加利润为：

L（x）=（x≥10）

（2）由（1）得：L（x）=（x≥10）

则L’（x）=

令L’（x）=0得，x=25

当x∈（10，25）时，L’（x）＞0，L（x）单调递增；

当x∈（25，+∞）时，L’（x）＜0，L（x）单调递减；

∴x=25时，L（x）取得最大值，且L（x）max=L（25）=11.9

∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.

19. 解：若选①：因为acosB+bsinA=c，所以sinAcosB+sinBsinA=sinC

=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以sinBsinA=cosAsinB

因为sinB≠0，所以sinA=cosA，所以A=.

因为△ABC的外接圆半径为2，所以2×2，所以a=4sinA=2

所以b+c=a=4，

又因为a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA

所以8=16-2bc-bc，所以bc=.

若选②：因为b+bcosA=asinB，所以sinB+sinBcosA=sinAsinB

因为sinB≠0，所以sinA-cosA=1，所以sin（A）=，

因为0＜A＜π，所以A∈（），

所以A，所以A=.

因为△ABC的外接圆半径为2，所以2×2，所以a=4sinA=2

所以b+c=a=2，又因为a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA

所以12=24-2bc-bc，所以bc=4.

若选③：因为b2+c2-a2=4S△ABC，

由余弦定理得2bccosA=2bcsinA  所以tanA=，所以A=.

因为△ABC的外接圆半径为2，所以2×2，所以a=4sinA=2

所以b+c=a=2，

又因为a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA

所以4=8-2bc-bc，所以bc=.

20. 解：（1）设AC=x，则AB=3AC=3x，所以s=

=2（2＜x＜4）

（2）由（1）得，s=2

≤2·12，当且仅当x2-4=16-x2，即x=时等号成立，

所以s得最大值为12.

此时AC=，AB=3，BC=8，由余弦定理得

cosA=，所以sinA=.

法二：

由（1）得：s=2

=2，

当x2=10，即x=时，s取得最大值12.

此时AC=，AB=3，BC=8，由余弦定理得

cosA=，所以sinA=.

21. 解：（1）x∈（0，+∞）

f’（x）=2（x-1）+a（）=2（x-1）+a（）

=2（x-1）

令f’（x）=0，则x=或x=1  当0＜a＜2时，函数f（x）在区间（0，），

（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减；

当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1），（，+∞）上单调递增，在区间（1，）上单调递减

（2）原不等式化为：a≤2x在（1，+∞）上恒成立.

设h（x）=2x，x∈（1，+∞）  h’（x）=2

令g（x）=2x2-1+lnx，则g’（x）=4x＞0

所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（l）=1＞0  所以h’（x）＞0

则函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，且h（1）=2

∴0＜a≤2

22. 解：（1）由已知得：函数y=ex+a的图象与直线y=x有两个交点，

即方程ex-x+a=0有两个不相等的实数解.

设h（x）=ex-x+a，则h’（x）=ex-1，令h’（x）=0得：x=0

x∈（-∞，0）时，h’（x）＜0，h（x）单调递减

x∈（0，+∞）时，h’（x）＞0，h（x）单调递增

∴h（x）min=h（0）=a+1  ∴a+1＜0，∴a＜-1

且x→-∞时，h（x）→+∞；x→+∞时，h（x）→+∞

∴a＜-1时，函数y=f’（x）的图象与直线y=x有且只有两交点.

（2）g（x）=，g’（x）=ex-x+a

Q  函数g（x）有两个极值点x1，x2，∴方程g’（x）=0有两个不同旳实数解x1，x2.

由（1）知：h（x）=ex-x+a，h（x1）=h（x2）=0，且x1＜0＜x2

∴g（x）在区间（-∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在区间（x1，x2）上单调递减

且a=

h（-x2）=（x2＞0）

设k（x）=e-x-ex+2x（x＞0）

则k’（x）=-e-x-ex+2=＜0

∴k（x）  在（0，+∞）上单调递减

又Q  k（0）=0，∴k（x）＜0恒成立，即h（-x2）＜0

∴x1＜-x2＜0

又Qg（x）在（x1，0）单调递减，∴g（x1）＞g（-x2）

要证g（x1）+g（x2）＞2，只须证g（-x2）+g（x2）＞2

即证＞0

设（x）=e-x+ex-x2-2（x＞0），则’（x）=-e-x+ex-2x

令p（x）=-e-x+ex-2x（x＞0）

则p’（x）=e-x+ex-2＞0，

所以p（x）在（0，+∞）单调递增，p（x）＞p（0）=0，即’（x）＞0

所以（x）在（0，+∞）单调递增，（x）＞（0）=0

故当x＞0时，e-x+ex-x2-2＞0，即＞0

所以g（-x2）+g（x2）＞2，亦即g（x1）+g（x2）＞2