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备战2021年中考数学专题练——专题八 二次函数及其应用试卷
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专题八 二次函数及其应用
一、单选题
1.（2019九上·义乌月考）将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. y=(x－1)2 B. y=x2－1 C. y=(x＋1)2 D. y=x2＋1
2.（2019九上·济阳期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确个数有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.（2019·云霄模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④a+b+c＜0；⑤当0＜x＜3时，y随x增大而减小；其中结论正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
5.（2019·江川模拟）如图，已知A，B是反比例函数 图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.（2020九上·长兴期末）将抛物线y=-x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. y=-(x+3)2 B. y=-(x-3)2 C. y=-x2+3 D. y=-x2-3
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.（2019九上·黄石期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m
10.（2020·郑州模拟）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
11.（2019九下·新田期中）已知： 表示不超过x的最大整数.例： .令关于 的函数 （ 是正整数），例： .则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 或1
12.（2019九上·天台月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1 ， 0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
13.（2018九上·阆中期中）如下图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：
①2a＋b＝0；②当y＜0时，x＜－1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14.（2019九下·河南月考）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系 中，直线经过点A（－3，0），点B（0， ），点P的坐标为（1，0），与 轴相切于点O，若将⊙P沿 轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16.（2020九上·德清期末）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
17.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线.动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点.则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变.其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
18.（2019九上·许昌期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A. b≤-2 B. b<-2 C. b≥-2 D. b>-2
19.（2019九上·深圳期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜-1＜5＜x2 ． 其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
20.（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk ， yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ）
A. (5，2017) B. (6，2016) C. (1，404) D. (2，404)
二、填空题
21.（2018九上·阆中期中）若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的函数解析式是________.
22.（2020·乌鲁木齐模拟）二次函数 中的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
…
…
…
…
则 的解为________.
23.（2020九上·遂宁期末）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．
24.如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有________个．
25.某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(h)的函数：M=t2－5t+100(其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为________℃．
26.（2019九上·西安月考）如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ ．
27.（2019·汇川模拟）如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点.连接AB、BC，则△ABC的面积为________.
28.（2020·百色模拟）三角形ABC中任意一点P（x0 ， y0）经平移后対应点为P1（x0+5，y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1 ， 若A（﹣2，3），则A1的坐标为________.
29.（2020·松滋模拟）二次函数 的图象与 轴相交于 和 两点，则该抛物线的对称轴是________.
30.（2019·遵义模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中⊙P中的阴影区域（包括边界）内，⊙P的半径为1，点P的坐标为（3，2），则m的取值范围是________.
31.（2019·武汉模拟）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界），仅有4个整数点时（整数点就是横纵坐标均为整数的点），则a的取值范围________．
32.（2020·武汉模拟）平面直角坐标系中，点P是一动点，点A（6，0）绕点P顺时针旋转90°到点B处，点B恰好落在直线y＝﹣2x上.当线段AP最短时，点P的坐标为________.
33.（2020九上·遂宁期末）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是________．
34.（2020九上·建湖月考）关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不含－1和0），则a的取值范围是________.
35.（2020九上·鞍山期末）如图，抛物线解析式为y＝x2 ， 点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1 ， 分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2 ， 分别交y轴、抛物线于点P3、B2…；则点Pn的坐标是________．
三、解答题
36.（2020九下·安庆月考）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
37.（2019·会宁模拟）如图，▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
38.（2020·乌鲁木齐模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
39.已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1 ， y2 ， y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.
40.以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
41.（2019·天宁模拟）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p = .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
42.（2019九上·如皋期末）复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
43.（2019九下·中山月考）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ． 在坐标系中画出矩形P2M2O2N2 ， 并求出直线P1P2的解析式．
44.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）根据题意，填写下表：
蔬菜的批发量（千克）
…
25
60
75
90
…
所付的金额（元）
…
125
300
…
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；
（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
45.如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2028与顶点为C的抛物线y＝ x2+2019相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，其中x1＝﹣1.
（1）求k的值；
（2）求证：点（y1﹣2019，y2﹣2019）在反比例函数y＝ 的图象上；
（3）小安提出问题：若等式x1•BC+y2•AC＝m•AC恒成立，则实数m的值为2019.请通过演算分析“小安问题”是否正确.
46.（2019·秦安模拟）一商家按标价销售工艺品时，每件可获利 元，按标价的八五新销售工艺品 件与将标价降低 元销售这种工艺品 件所获利润相等.
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售，商家每天可卖出工艺品 件，若每件工艺品降价 元，则每天可多卖出该工艺品 件，间每件降价多少元销售，每天获得利润最大？获得最大利润是多少元？
47.（2019·河南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.
48.（2019·抚顺模拟）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），点 的坐标为 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .动点 在抛物线上运动，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 在线段 上时， 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点 是抛物线对称轴与 轴的交点，点 是 轴上一动点，点 在运动过程中，若以 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 的坐标.
49.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP.
①若∠CPB=90°，求点P的坐标；
②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标.
答案解析部分
一、单选题
1. B
【解答】解：将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=x2-1.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
2. B
【解答】∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①符合题意；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②符合题意；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-2，③不符合题意；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，④不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数得性质解题即可
3. B
【解答】解：①如图，
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac ， 故不符合题意；
②由对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为A（3，0），得到：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3．故符合题意；
③由对称轴方程x＝﹣ ＝1得到：2a+b＝0，故符合题意；
④如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故符合题意；
⑤如图所示，当0＜x＜1时，y随x增大而减小，故不符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：B ．
【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
4. A
【解答】设应降价x元，则（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600= -（x-5）2+625，
∵-1＜0
∴当x=5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选A．
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
5. A
【解答】①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B. D；
②点P在BC上运动时,设路线O→A→B→C的总路程为l,点P的速度为a,则S=OC×CP=OC×(l−at)，因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系.故排除C.
故答案为：A.
【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C.
6. B
【解答】解： 抛物线y=-x2向右平移3个单位后得：
y=-(x-3)2.
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
7. B
【解答】解：A、 一次函数图象 向右上升a>0, 而二次函数图象张口向下a<0, 不符合题意；
B、一次函数图象 向右下降a<0, 与y轴的交点在x轴上方c>0, 而二次函数图象张口向下a<0, 与y轴的交点在x轴上方c>0, 符合题意；
C、一次函数图象 向右下降a<0, 而二次函数图象张口向上a>0, 不符合题意；
D、一次函数图象 向右下降a<0, 而二次函数图象张口向上a>0, 不符合题意；
【分析】根据一次函数图象的伸展趋势判断a的正负，与y轴的交点判断c的正负，再根据二次函数图象张口判断a的正负，与y轴的交点判断c的正负，如果推出相互矛盾的结果就不符合，否则就是符合的.
8. D
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax﹣bc的图象经过哪几个象限，本题得以解决.
9. C
【解答】建立如图所示的直角坐标系，则A点坐标为（-1，0)、B点坐标为（（1，0)，C点坐标为（0，0.5)，D点坐标为（0.2，0)，F点坐标为（0.6，0)，
设抛物线解析式为y=a（x-1)（x+1)，把C（0，0.5)代入得a=-0.5，
所以抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5，
当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32，
所以DE=0.48，FP=0.32，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP)=2×（0.48+0.32)=1.6（m)，
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6m=160m．
故选C．
【分析】建 立如图所示的直角坐标系，根据题意得到A点坐标为（-1，0)、B点坐标为（（1，0)，C点坐标为（0，0.5)，D点坐标为（0.2，0)，F点坐标 为（0.6，0)，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式：设二次函数的交点式y=a（x-1)（x+1)，把C（0，0.5)代入得a=-0.5，则 抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5，然后分别把x=0.2，x=0.6代入可得到DE=0.48，FP=0.32，于是可计算出每段护栏需要不锈钢支柱的长度，再把结果乘以100即可得到答案．本题考查了二次函数的应用：先建立适当的平面直角坐标系，然后把实际问题中的数据转化坐标系中的线段长或点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解决实际问题．
10. A
【解答】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，
∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°，
∵EF两点的速度均为1cm/s，
∴当0≤x≤2时，y＝ •DE•DF•sin∠CDB＝ x2 ，
当2≤x≤4时，y＝ •AE•BF•sin∠B＝− x2＋ x，
由图象可知A正确，
故答案为：A．
【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．
11. C
【解答】根据函数的关系式逐个判断：
A. =0.
B , ， .故不符合题意.
C. ， ，故符合题意.
D 符合题意. =0或1，
故答案为：C
【分析】根据题意首先要理解新定义，再根据新定义逐个判断选项即可.
12. D
【解答】解：图象的草图如图所示，
①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为(−2,0)得：
y=a×(−2)2+b×(−2)+c=0，即4a−2b+c=0，正确；
②∵图象开口向下，∴a<0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1,0),且1
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵a<0,对称轴x=<0，
∴b<0，
∴a
④由4a−2b+c=0得2a−b=−,而00，正确；
故正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】根据待定系数法、根与系数的关系、对称轴、结合二次函数图象的草图，数形结合逐项分析判断即可.
13. B
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-=1，即b=-2a，即2a+b=0，①正确；
∵点B的坐标为（-1,0），∴点A的坐标为（3,0）
∴y＜0时，x＜-1或x＞3，②错误；
根据题意，当x=-1时。a-b+c=0
∵a=-， ∴c=1.5b，∴4b＞1.5b，即④正确；
∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，③错误。
【分析】根据二次函数的性质进行判断得到答案即可。
14. C
【解答】 抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ =0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式 ，
当直线 过B点，有2个交点，
，
，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
-- ，
故答案为：C.
【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出 的解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时m的值以及直线 过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
15. C
【解答】如图所示，
∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0， ），
∴OA=3，OB= ，
由勾股定理得：AB=2 ，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个.
故答案为：C.
【分析】先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.
16. C
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长.
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，
∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，
∴在Rt△AEB中，BE＝ ，
∴PC+PE的最小值为 ，
∴点H的纵坐标a＝ ，
∵BC∥AD，
∴ ＝2，
∵BD＝ ，
∴PD＝ ，
∴点H的横坐标b＝ ，
∴a+b＝ ；
故答案为：C.
【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题.
17. C
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，OC⊥AB，
∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，
∴OC是抛物线对称轴，
∴b=0，
∴抛物线解析式为y=ax2+c，
∴点B坐标 ，
∵tan∠BCO= ，
∴c= ，
∴c2= ，
∵c≠0，
∴ac=-3，故①正确.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB= AC=AD，DE∥AB，
∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，
∴∠ADM=∠DEN=120°，
在△ADM和△DEN中，
，
∴△ADM≌△DEN，
∴AM=DN，∠M=∠N，故②正确.
设AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，
∴∠MEK=∠NPK，
∵∠MEK=∠CED=60°，
∴∠NPK=60°，
∴∠APN=180°-∠NPK=120°，
∴∠APN的大小不变，故③正确.
故答案为：C.
【分析】首先证明b=0，再根据 列出等式即可证明①不正确，由△ADM≌△DEN，AM=DN，∠M=∠N，再根据“8字型”证明∠NPK=∠MEK即可解决问题.
18. C
【解答】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D；
因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以- ≤1，解得b≥-2，故答案为：C.
【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围.
19. B
【解答】解：
；（1）符合题意．∵ =2，
∴4a+b=0．故符合题意．；（2）不符合题意．∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）不符合题意．（3）符合题意．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）符合题意．（4）不符合题意，∵点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3），
∵ -2= ，2-（- ）= ，
∴ ＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜- ＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）不符合题意．（5）符合题意．∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=- ＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）符合题意．
∴正确的有三个，
故答案为：B．
【分析】（1）符合题意,根据对称轴公式计算即可．（2）不符合题意,利用x=-3时，y＜0，即可判断．（3）符合题意,由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）不符合题意,利用函数图象即可判断．（5）符合题意,利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
20. D
【解答】解：∵[ ]﹣[ ]组成的数为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5.
∴{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5.
∴y2017=y5×403+2=404
∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）.
故答案为：D.
【分析】根据规律找出种植点的横坐标及纵坐标的表述规律，然后代入2017进行计算即可求出结论.
二、填空题
21.
【解答】解：根据题意可知，y=-2x2+c
将x=0，y=-3代入，即可得到y=-2x2-3.
【分析】根据两个抛物线的开口方向相反，形状相同，即可得到a的数值，根据顶点的坐标计算解析式即可。
22. 或
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），
∴此抛物线的对称轴为：直线x=- ，
∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0），
∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1.
故答案为x=-2或1.
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点.继而求得答案.
23. （﹣8，﹣3）或（4，3）．
【解答】解：∵直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=-2，
∴点A和点B的坐标分别为（-2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．
故答案为：（-8，-3）或（4，3）．
【分析】先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
24. 4
【解答】解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°= = ，
设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k= = ，
所以直线OA：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 ， ；
故A（ ， ）；
③ 当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 ， ；
故P（ ，3），那么A（3， ）；
④ 当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 、 ，
故P（ ，3），
∴OP=2 ，QP=2，
∴OH=OP=2 ，AH=QP=2，
故A（2 ，2）；
⑤ 当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 、 ，
∴P（ ， ），
∴QP= ，OP= ，
∴OH=QPQP= ，AH=OP= ，
故A（ ， ）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（ ， ）或（3， ）或（2 ，2）或（ ， ）．
故答案为：4．
【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y= x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
25. 114
【解答】根据题意，上午10点相当于t=—2时，所以把t=—2代入可得到M=114℃.
【分析】注意根据题意，把实际的时间转化为函数中自变量t的值.
26. 4
【解答】解：依题意，令 h=0 得：
∴
得：
解得： t=0（舍去）或 t=4
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
27.
【解答】设点P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a， ），B点坐标为（a，﹣ ）
∴S△ABC=S△ABO =S△APO+S△OPB= = ，
故答案为： .
【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案
28. （3，6）
【解答】解：∵三角形ABC中任意一点P（x0 ， y0）经平移后対应点为P1（x0+5，y0+3），
∴坐标平移规律是：横坐标加5，纵坐标加3，
∴将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1 ， 若A（﹣2，3），则A1的坐标为（﹣2+5，3+3），即（3，6）.
故答案为（3，6）.
【分析】根据点P平移前后的坐标，可得出坐标平移规律：横坐标加5，纵坐标加3，从而可得到A1的坐标.
29.
【解答】解：由题意可知对称轴为x= ，该抛物线的对称轴是 .
【分析】由二次函数与x轴两个交点可确定对称轴.
30. 2≤m≤4
【解答】如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A（-2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为4，点C的纵坐标为2，
∴m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为2≤m≤4.
【分析】作出示意图，记点P绕原点O逆时针旋转90°后的对应点为P’，则以P’为中心，1为半径的圆内的所有点绕坐标原点O顺时针旋转90°后，都能落在图中⊙P中的阴影区域（包括边界）内，故⊙P’所对应的纵坐标的取值范围即为m的取值范围.
31. 或
【解答】∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．
当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有 ，
解得：﹣ ≤a＜﹣ ；
当a＞0时，如图2所示，
此时有 ，
解得： ＜a≤ ．
综上所述：如果封闭区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为﹣ ≤a＜﹣ 或 ＜a≤ ．
故答案是：﹣ ≤a＜﹣ 或 ＜a≤ ．
【分析】分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
32. （ ， ）
【解答】解：如图，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），
由题可得PG＝AH，BG＝PH，
即a﹣m＝b，b+2m＝6﹣a，
联立解得：a＝ ， ，
即P ，
∴PA2＝ ，
∴当m＝ 时，PA最小，
此时 .
故答案为：（ ， ）.
【分析】在平面直角坐标系中，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），依据全等三角形的性质，即可得到 ，再根据两点间距离公式以及配方法，即可得到m的值，进而得出点P的坐标.
33. a≥9
【解答】第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x 5，即a＞13．
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即：
x ，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值）
综合上所述：a≥9．
故答案为：a≥9．
【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．
34. −
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根
∴△=(−3)2−4×a×(−1)>0，
解得：a>−
设y=ax2−3x−1，如图，
∵实数根都在−1和0之间，
∴−1<−−a<0，
∴a<−，
且有当x=-1时，y<0, 当x=0时，y<0，
即a×(−1)2−3×(−1)−1<0, a×02−3×0−1=−1<0，
解得：a<−2，
∴−
35. （0，n2+n）
【解答】解：∵点A1的坐标为（1，1），
∴直线OA1的解析式为y＝x，
∵A1B1⊥OA1 ，
∴OP1＝2，
∴P1（0，2），
设A1P1的解析式为y＝kx+b1 ，
∴ ，解得 ，
∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，
解 求得B1（﹣2，4），
∵A2B1∥OA1 ，
设B1P2的解析式为y＝x+b2 ，
∴﹣2+b2＝4，
∴b2＝6，
∴P2（0，6），
解 求得A2（3，9）
设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3 ，
∴﹣3+b3＝9，
∴b3＝12，
∴P3（0，12），
…
∴Pn（0，n2+n），
故答案为（0，n2+n）．
【分析】根据待定系数法分别求得直线OA1、A2B1、A2B2……的解析式，即可求得P1、P2、P3…的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．
三、解答题
36. 如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x，
PN=y，
则面积S=xy①，
∵点P在AB上， 由△APQ~△ABF得，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S= ，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S=
因为3≤y≤4而y= ，不在自变量的取值范围内，
所以y= 不是最值点，
当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。
【分析】设矩形MDNP的两邻边DN=x，PN=y，易证△APQ~△ABF，利用相似三角形的对应边成比例得到x与y的关系，则可表示出矩形MDNP的面积S，然后利用二次函数的性质以及y的取值范围用比较法求出S的最大值，进而可求出钢板的最大利用率。
37. 解：如图，
就是所求的 的平分线.
的顶点 ， ，
， ，
在 中， .
由题意可知 平分 ，
，
又 ，
，
，
.
的顶点 ，
，
.
【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可, 先根据勾股定理求得AO的长度，再利用角平分线得 ，再根据AC=OB=7即可得出线段 的长.
38. 解：设所获利润为 元，每件降价 元
则降价后的每件利润为 元，每星期销量为 件
由利润公式得：
整理得：
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
故当 时，y取得最大值，最大值为6125元
即定价为： 元时，所获利润最大，最大利润为6125元
【分析】设所获利润为 元，每件降价 元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润 销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.
39. 解：解：不存在这样的实数.
设该实数是a.
则y1≤y2 ， 即6a≤3a2+3，
解得（a﹣1）2≥0，
∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y1≤y2≤y3 ，
将点（1，6）代入二次函数y3=x2+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），
∴1=16﹣4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函数y3的解析式为：y=x2+4x+1；
∴3a2+3≤a2+4a+1，
解得，（a﹣1）2≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a不适合.
所以，不存在这样的任意实数a，使y1≤y2≤y3成立.
【分析】先假设存在这样的实数a，则实数a也必须满足y1=y2=y3 ， 所以，在足y1=y2的方程中求的点a的坐标；然后将其代入y3 ， 再与二次函数y3=x2+bx+c图象经过点（-4，1）这一条件，解得b、c的值，从而解得y3的解析式；最后根据y2≤y3来解关于a的不等式，该不等式的值是a取任何实数，不等式都会成立，则存在这样的实数a，反之，不存在这样的实数a.即假设不成了.
40. 解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得： ，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2
【分析】根据二次函数平移的性质进行作答即可，计算得到抛物线上的任意两个点，根据平移规律即可得到两个点平移后的点，代入抛物线的解析式即可得到答案。
41. 解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，
∴ ，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴ ，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
【分析】 设涨价x元，利润为y元 ,根据销售利润=单件利润×销售量，分别求出方案一、二的利润y与x的关系式，利用二次函数的性质分别求出最值，然后比较即可.
42. 解：①真，②假，③假，④真.理由如下：
①将（1,0）代入 ，得 ，解得 .
∴存在函数 ，其图像经过（1,0）点.
∴结论①为真.
②举反例如，当 时，函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.
③∵当 时，二次函数 （k是实数）的对称轴为 ，
∴可举反例如，当 时，二次函数为 ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当 时，二次函数 的最值为 ，
∴当 时，有最小值，最小值为负；当 时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
【分析】①将（1,0）代入函数解析式中，求出k值，然后判断即可；
②先考虑函数是一次函数时即可判断真假；
③先求出对称轴，然后举出反当 时的函数解析式，利用二次函数的增减性即可判断；
④先求出函数的最值，分别求出当k＞0，k＜0时的最值的符号，然后判断即可.
43. 解：如图所示：
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ．
∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1 ，
∴P1的坐标为（2，3），
∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ．
∴P2的坐标为（7，2），
设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②，
解由①②组成的方程组得，k＝﹣ ，b＝ ．
所以直线P1P2的解析式为y＝﹣ x + ；
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ． 如图，
∴P2的坐标为（1，﹣2），
设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②，
解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7．
所以直线P1P2的解析式为y＝5x﹣7；
故答案为矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 直线P1P2的解析式为：y＝﹣ x + ；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7.
【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1 ， 得到P1的坐标为（2，3）．将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 得P2的坐标为（7，2）；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 得P2的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式．
四、综合题
44. （1）解：由题意知：
当蔬菜批发量为60千克时：60×5=300（元），
当蔬菜批发量为90千克时：90×5×0.8=360（元）．
故答案为：300，360；
（2）解：设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得
，
解得．
故该一次函数解析式为：y=﹣30x+240；
（3）解：设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，
w=（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）=﹣30（x﹣6）2+120，﹣30x+240≥75，即x≤5.5，
当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元．
【分析】（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×0.8=360元；
（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；
（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．
45. （1）解：当x1＝﹣1，y1＝ +2019＝2019 ，
∴A（﹣1，2019 ），
把点A坐标代入直线y＝kx+2028得：2019 ＝﹣k+2028，
解得：k＝
（2）证明：由（1）得，直线解析式为y＝ x+2028，
解方程组 得： 或 ，
∴A（﹣1，2019 ），B（81，2748），
∵（y1﹣2019）（y2﹣2019）＝ ×729＝81，
∴点（y1﹣2019，y2﹣2019）在反比例函数y＝ 的图象上
（3）解：“小安问题”正确，理由如下：
抛物线y＝ x2+2019的顶点坐标为：C（0，2019），
∵A（﹣1，2019 ），B（81，2748），
∴AC＝ ，
BC＝ ，
∵等式x1•BC+y2•AC＝m•AC恒成立，
∴﹣1×81 +2748× ＝m• ，
解得：m＝2019，
即“小安问题”正确.
【分析】（1）把x1＝﹣1，代入抛物线解析式求出y1＝2019 ，得出点A坐标（﹣1，2019 ），把点A坐标代入直线y＝kx+2028即可得出k的值；（2）由直线和抛物线联立方程组，解方程组 求出点A（﹣1，2019 ），B（81，2748），计算（y1﹣2019）（y2﹣2019）的值为81即可；（3）求出抛物线的顶点C的坐标，由题意求出AC＝ ，BC＝ ，代入等式x1•BC+y2•AC＝m•AC，即可得出m的值.
46. （1）解：设每件进价为 元，标价为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
答：每件进价为155元，标价为200元
（2）解：设每件应降价 元出售，每天获利为 元，
由题意可得： ，
∴当 时， .
答：每件降价10元销售，每天获得利润最大，获得最大利润是,4900元
【分析】（1）依题意，可设每件进价为 元，标价为 元，根据题中等量关系可列方程组，解出x，y的值即可（2）设每天获利w元，降价为 元，再根据利润＝（标价−成本）×售出数量，列出函数关系式即可得解.
47. （1）解：将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5
（2）解：能.
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，
即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分
（3）解：抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）
【分析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标代入解析式中列出二元一次方程组 ，解此方程组即可求得抛物线的解析式；（2）结合图像可知△BDE和△BEF是等高的，，由此得出他们的面积比即为DE：EF＝2：3，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出方程，解方程求得D点坐标；（3）分情况分析△MBC为直角三角形时M的坐标即可.
48. （1）解： 抛物线经过点 ，点 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：存在.
当 ，解得 ，则 ，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值为
（3）点坐标为 或 或 或
【解答】（3） 抛物线的对称轴为直线 ，
，
当 时，则 ，
以 为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为 或
当 时，
以 为顶点的四边形是平行四边形，
，
点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，
点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，
设 ，则 ，
把 代入 得 ，解得 ，
此时 点坐标为 ，
综上所述， 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设 ，则 ，则 ，根据三角形面积公式得到 ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先求出抛物线的对称轴为直线 得到 ，讨论：当 时，则 ，利用平行四边形的性质得 ，从而得到此时 点坐标；当 时，由于点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，所以点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，设 ，则 ，然后把 代入 得 ，则解方程求出得到此时 点坐标.
49. （1）解：如图，
当x=0时，y=-x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
当y=0时，-x+5=0，
解得：x=5，
∴点B的坐标为（5，0）.
将B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+4x+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y=-x2+4x+5.
（2）解：①∵抛物线的表达式为y=-x2+4x+5，
∴抛物线的对称轴为直线x=- =2，
∴设点P的坐标为（2，m）.
∵点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5），
∴CP2=（2-0）2+（m-5）2=m2-10m+29，BP2=（2-5）2+（m-0）2=m2+9，BC2=（0-5）2+（5-0）2=50.
∵∠CPB=90°，
∴BC2=CP2+BP2 ， 即50=m2-10m+29+m2+9，
解得：m1=-1，m2=6，
∴点P的坐标为（2，-1）或（2，6）.
②设点P的坐标为（2，n），分两种情况考虑（如图2）：
（i）若CD为边，当四边形CDPQ为平行四边形时，
∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（0+2-1，5+n-0），即（1，5+n）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴5+n=-1+4+5，解得：n=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
当四边形CDQP为平行四边形时，
∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（1+2-0，0+n-5），即（3，n-5）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴n-5=-9+12+5，解得：n=13，
∴点P的坐标为（2，13）；
（ii）若CD为对角线，∵四边形CPDQ为平行四边形，点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（0+1-2，5+0-n），即（-1，5-n）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴5-n=-1-4+5，解得：n=5，
∴点P的坐标为（2，5）.
综上所述：点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）.
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①利用二次函数的性质可求出抛物线对称轴为直线x=2，设点P的坐标为（2，m），结合点B，C的坐标可得出BC2 ， CP2 ， BP2的值，由∠CPB=90°利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出点P的坐标；②设点P的坐标为（2，n），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：（i）若CD为边，当四边形CDPQ（CDQP）为平行四边形时，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标；（ii）若CD为对角线，四边形CPDQ为平行四边形，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标.综上，此题得解.
专题八 二次函数及其应用
一、单选题
1.（2019九上·义乌月考）将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. y=(x－1)2 B. y=x2－1 C. y=(x＋1)2 D. y=x2＋1
2.（2019九上·济阳期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确个数有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.（2019·云霄模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④a+b+c＜0；⑤当0＜x＜3时，y随x增大而减小；其中结论正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
5.（2019·江川模拟）如图，已知A，B是反比例函数 图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.（2020九上·长兴期末）将抛物线y=-x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. y=-(x+3)2 B. y=-(x-3)2 C. y=-x2+3 D. y=-x2-3
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.（2019九上·黄石期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m
10.（2020·郑州模拟）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
11.（2019九下·新田期中）已知： 表示不超过x的最大整数.例： .令关于 的函数 （ 是正整数），例： .则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 或1
12.（2019九上·天台月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1 ， 0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
13.（2018九上·阆中期中）如下图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：
①2a＋b＝0；②当y＜0时，x＜－1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14.（2019九下·河南月考）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系 中，直线经过点A（－3，0），点B（0， ），点P的坐标为（1，0），与 轴相切于点O，若将⊙P沿 轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16.（2020九上·德清期末）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
17.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线.动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点.则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变.其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
18.（2019九上·许昌期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A. b≤-2 B. b<-2 C. b≥-2 D. b>-2
19.（2019九上·深圳期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜-1＜5＜x2 ． 其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
20.（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk ， yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（ ）
A. (5，2017) B. (6，2016) C. (1，404) D. (2，404)
二、填空题
21.（2018九上·阆中期中）若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的函数解析式是________.
22.（2020·乌鲁木齐模拟）二次函数 中的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
…
…
…
…
则 的解为________.
23.（2020九上·遂宁期末）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．
24.如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有________个．
25.某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(h)的函数：M=t2－5t+100(其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为________℃．
26.（2019九上·西安月考）如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ ．
27.（2019·汇川模拟）如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点.连接AB、BC，则△ABC的面积为________.
28.（2020·百色模拟）三角形ABC中任意一点P（x0 ， y0）经平移后対应点为P1（x0+5，y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1 ， 若A（﹣2，3），则A1的坐标为________.
29.（2020·松滋模拟）二次函数 的图象与 轴相交于 和 两点，则该抛物线的对称轴是________.
30.（2019·遵义模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中⊙P中的阴影区域（包括边界）内，⊙P的半径为1，点P的坐标为（3，2），则m的取值范围是________.
31.（2019·武汉模拟）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界），仅有4个整数点时（整数点就是横纵坐标均为整数的点），则a的取值范围________．
32.（2020·武汉模拟）平面直角坐标系中，点P是一动点，点A（6，0）绕点P顺时针旋转90°到点B处，点B恰好落在直线y＝﹣2x上.当线段AP最短时，点P的坐标为________.
33.（2020九上·遂宁期末）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是________．
34.（2020九上·建湖月考）关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不含－1和0），则a的取值范围是________.
35.（2020九上·鞍山期末）如图，抛物线解析式为y＝x2 ， 点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1 ， 分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2 ， 分别交y轴、抛物线于点P3、B2…；则点Pn的坐标是________．
三、解答题
36.（2020九下·安庆月考）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。
37.（2019·会宁模拟）如图，▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
38.（2020·乌鲁木齐模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
39.已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1 ， y2 ， y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.
40.以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
41.（2019·天宁模拟）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p = .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
42.（2019九上·如皋期末）复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
43.（2019九下·中山月考）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ． 在坐标系中画出矩形P2M2O2N2 ， 并求出直线P1P2的解析式．
44.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）根据题意，填写下表：
蔬菜的批发量（千克）
…
25
60
75
90
…
所付的金额（元）
…
125
300
…
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；
（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
45.如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2028与顶点为C的抛物线y＝ x2+2019相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，其中x1＝﹣1.
（1）求k的值；
（2）求证：点（y1﹣2019，y2﹣2019）在反比例函数y＝ 的图象上；
（3）小安提出问题：若等式x1•BC+y2•AC＝m•AC恒成立，则实数m的值为2019.请通过演算分析“小安问题”是否正确.
46.（2019·秦安模拟）一商家按标价销售工艺品时，每件可获利 元，按标价的八五新销售工艺品 件与将标价降低 元销售这种工艺品 件所获利润相等.
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售，商家每天可卖出工艺品 件，若每件工艺品降价 元，则每天可多卖出该工艺品 件，间每件降价多少元销售，每天获得利润最大？获得最大利润是多少元？
47.（2019·河南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.
48.（2019·抚顺模拟）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），点 的坐标为 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .动点 在抛物线上运动，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 在线段 上时， 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点 是抛物线对称轴与 轴的交点，点 是 轴上一动点，点 在运动过程中，若以 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 的坐标.
49.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP.
①若∠CPB=90°，求点P的坐标；
②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标.
答案解析部分
一、单选题
1. B
【解答】解：将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=x2-1.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
2. B
【解答】∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①符合题意；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②符合题意；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-2，③不符合题意；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，④不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数得性质解题即可
3. B
【解答】解：①如图，
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac ， 故不符合题意；
②由对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为A（3，0），得到：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3．故符合题意；
③由对称轴方程x＝﹣ ＝1得到：2a+b＝0，故符合题意；
④如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故符合题意；
⑤如图所示，当0＜x＜1时，y随x增大而减小，故不符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：B ．
【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
4. A
【解答】设应降价x元，则（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600= -（x-5）2+625，
∵-1＜0
∴当x=5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选A．
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
5. A
【解答】①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B. D；
②点P在BC上运动时,设路线O→A→B→C的总路程为l,点P的速度为a,则S=OC×CP=OC×(l−at)，因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系.故排除C.
故答案为：A.
【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C.
6. B
【解答】解： 抛物线y=-x2向右平移3个单位后得：
y=-(x-3)2.
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
7. B
【解答】解：A、 一次函数图象 向右上升a>0, 而二次函数图象张口向下a<0, 不符合题意；
B、一次函数图象 向右下降a<0, 与y轴的交点在x轴上方c>0, 而二次函数图象张口向下a<0, 与y轴的交点在x轴上方c>0, 符合题意；
C、一次函数图象 向右下降a<0, 而二次函数图象张口向上a>0, 不符合题意；
D、一次函数图象 向右下降a<0, 而二次函数图象张口向上a>0, 不符合题意；
【分析】根据一次函数图象的伸展趋势判断a的正负，与y轴的交点判断c的正负，再根据二次函数图象张口判断a的正负，与y轴的交点判断c的正负，如果推出相互矛盾的结果就不符合，否则就是符合的.
8. D
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax﹣bc的图象经过哪几个象限，本题得以解决.
9. C
【解答】建立如图所示的直角坐标系，则A点坐标为（-1，0)、B点坐标为（（1，0)，C点坐标为（0，0.5)，D点坐标为（0.2，0)，F点坐标为（0.6，0)，
设抛物线解析式为y=a（x-1)（x+1)，把C（0，0.5)代入得a=-0.5，
所以抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5，
当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32，
所以DE=0.48，FP=0.32，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP)=2×（0.48+0.32)=1.6（m)，
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6m=160m．
故选C．
【分析】建 立如图所示的直角坐标系，根据题意得到A点坐标为（-1，0)、B点坐标为（（1，0)，C点坐标为（0，0.5)，D点坐标为（0.2，0)，F点坐标 为（0.6，0)，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式：设二次函数的交点式y=a（x-1)（x+1)，把C（0，0.5)代入得a=-0.5，则 抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5，然后分别把x=0.2，x=0.6代入可得到DE=0.48，FP=0.32，于是可计算出每段护栏需要不锈钢支柱的长度，再把结果乘以100即可得到答案．本题考查了二次函数的应用：先建立适当的平面直角坐标系，然后把实际问题中的数据转化坐标系中的线段长或点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解决实际问题．
10. A
【解答】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，
∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°，
∵EF两点的速度均为1cm/s，
∴当0≤x≤2时，y＝ •DE•DF•sin∠CDB＝ x2 ，
当2≤x≤4时，y＝ •AE•BF•sin∠B＝− x2＋ x，
由图象可知A正确，
故答案为：A．
【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．
11. C
【解答】根据函数的关系式逐个判断：
A. =0.
B , ， .故不符合题意.
C. ， ，故符合题意.
D 符合题意. =0或1，
故答案为：C
【分析】根据题意首先要理解新定义，再根据新定义逐个判断选项即可.
12. D
【解答】解：图象的草图如图所示，
①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为(−2,0)得：
y=a×(−2)2+b×(−2)+c=0，即4a−2b+c=0，正确；
②∵图象开口向下，∴a<0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1,0),且1
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵a<0,对称轴x=<0，
∴b<0，
∴a
④由4a−2b+c=0得2a−b=−,而0
故正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】根据待定系数法、根与系数的关系、对称轴、结合二次函数图象的草图，数形结合逐项分析判断即可.
13. B
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=-=1，即b=-2a，即2a+b=0，①正确；
∵点B的坐标为（-1,0），∴点A的坐标为（3,0）
∴y＜0时，x＜-1或x＞3，②错误；
根据题意，当x=-1时。a-b+c=0
∵a=-， ∴c=1.5b，∴4b＞1.5b，即④正确；
∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，③错误。
【分析】根据二次函数的性质进行判断得到答案即可。
14. C
【解答】 抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ =0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式 ，
当直线 过B点，有2个交点，
，
，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
-- ，
故答案为：C.
【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出 的解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时m的值以及直线 过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
15. C
【解答】如图所示，
∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0， ），
∴OA=3，OB= ，
由勾股定理得：AB=2 ，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个.
故答案为：C.
【分析】先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.
16. C
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长.
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，
∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，
∴在Rt△AEB中，BE＝ ，
∴PC+PE的最小值为 ，
∴点H的纵坐标a＝ ，
∵BC∥AD，
∴ ＝2，
∵BD＝ ，
∴PD＝ ，
∴点H的横坐标b＝ ，
∴a+b＝ ；
故答案为：C.
【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题.
17. C
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，OC⊥AB，
∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，
∴OC是抛物线对称轴，
∴b=0，
∴抛物线解析式为y=ax2+c，
∴点B坐标 ，
∵tan∠BCO= ，
∴c= ，
∴c2= ，
∵c≠0，
∴ac=-3，故①正确.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB= AC=AD，DE∥AB，
∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，
∴∠ADM=∠DEN=120°，
在△ADM和△DEN中，
，
∴△ADM≌△DEN，
∴AM=DN，∠M=∠N，故②正确.
设AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，
∴∠MEK=∠NPK，
∵∠MEK=∠CED=60°，
∴∠NPK=60°，
∴∠APN=180°-∠NPK=120°，
∴∠APN的大小不变，故③正确.
故答案为：C.
【分析】首先证明b=0，再根据 列出等式即可证明①不正确，由△ADM≌△DEN，AM=DN，∠M=∠N，再根据“8字型”证明∠NPK=∠MEK即可解决问题.
18. C
【解答】当二次函数y=x2+bx+1的图象经过点B（1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B、D；
因为y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以- ≤1，解得b≥-2，故答案为：C.
【分析】根据y=x2+bx+1与y轴交于点（0，1），且与点C关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b的取值范围.
19. B
【解答】解：
；（1）符合题意．∵ =2，
∴4a+b=0．故符合题意．；（2）不符合题意．∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）不符合题意．（3）符合题意．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），
∴ 解得 ，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）符合题意．（4）不符合题意，∵点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3），
∵ -2= ，2-（- ）= ，
∴ ＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜- ＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）不符合题意．（5）符合题意．∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=- ＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）符合题意．
∴正确的有三个，
故答案为：B．
【分析】（1）符合题意,根据对称轴公式计算即可．（2）不符合题意,利用x=-3时，y＜0，即可判断．（3）符合题意,由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）不符合题意,利用函数图象即可判断．（5）符合题意,利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
20. D
【解答】解：∵[ ]﹣[ ]组成的数为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5.
∴{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝n，0≤k＜5.
∴y2017=y5×403+2=404
∴由题意可知第2017棵树种植点的坐标应（2，404）.
故答案为：D.
【分析】根据规律找出种植点的横坐标及纵坐标的表述规律，然后代入2017进行计算即可求出结论.
二、填空题
21.
【解答】解：根据题意可知，y=-2x2+c
将x=0，y=-3代入，即可得到y=-2x2-3.
【分析】根据两个抛物线的开口方向相反，形状相同，即可得到a的数值，根据顶点的坐标计算解析式即可。
22. 或
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），
∴此抛物线的对称轴为：直线x=- ，
∵此抛物线过点（1，0），
∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（-2，0），
∴ax2+bx+c=0的解为：x=-2或1.
故答案为x=-2或1.
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点.继而求得答案.
23. （﹣8，﹣3）或（4，3）．
【解答】解：∵直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=-2，
∴点A和点B的坐标分别为（-2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．
故答案为：（-8，-3）或（4，3）．
【分析】先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
24. 4
【解答】解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°= = ，
设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k= = ，
所以直线OA：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 ， ；
故A（ ， ）；
③ 当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 ， ；
故P（ ，3），那么A（3， ）；
④ 当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 、 ，
故P（ ，3），
∴OP=2 ，QP=2，
∴OH=OP=2 ，AH=QP=2，
故A（2 ，2）；
⑤ 当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，
得： ，
解得 、 ，
∴P（ ， ），
∴QP= ，OP= ，
∴OH=QPQP= ，AH=OP= ，
故A（ ， ）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（ ， ）或（3， ）或（2 ，2）或（ ， ）．
故答案为：4．
【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y= x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
25. 114
【解答】根据题意，上午10点相当于t=—2时，所以把t=—2代入可得到M=114℃.
【分析】注意根据题意，把实际的时间转化为函数中自变量t的值.
26. 4
【解答】解：依题意，令 h=0 得：
∴
得：
解得： t=0（舍去）或 t=4
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
27.
【解答】设点P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a， ），B点坐标为（a，﹣ ）
∴S△ABC=S△ABO =S△APO+S△OPB= = ，
故答案为： .
【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案
28. （3，6）
【解答】解：∵三角形ABC中任意一点P（x0 ， y0）经平移后対应点为P1（x0+5，y0+3），
∴坐标平移规律是：横坐标加5，纵坐标加3，
∴将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1 ， 若A（﹣2，3），则A1的坐标为（﹣2+5，3+3），即（3，6）.
故答案为（3，6）.
【分析】根据点P平移前后的坐标，可得出坐标平移规律：横坐标加5，纵坐标加3，从而可得到A1的坐标.
29.
【解答】解：由题意可知对称轴为x= ，该抛物线的对称轴是 .
【分析】由二次函数与x轴两个交点可确定对称轴.
30. 2≤m≤4
【解答】如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x=-2交于C，D两点，则点A（-2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为4，点C的纵坐标为2，
∴m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为2≤m≤4.
【分析】作出示意图，记点P绕原点O逆时针旋转90°后的对应点为P’，则以P’为中心，1为半径的圆内的所有点绕坐标原点O顺时针旋转90°后，都能落在图中⊙P中的阴影区域（包括边界）内，故⊙P’所对应的纵坐标的取值范围即为m的取值范围.
31. 或
【解答】∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．
当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有 ，
解得：﹣ ≤a＜﹣ ；
当a＞0时，如图2所示，
此时有 ，
解得： ＜a≤ ．
综上所述：如果封闭区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为﹣ ≤a＜﹣ 或 ＜a≤ ．
故答案是：﹣ ≤a＜﹣ 或 ＜a≤ ．
【分析】分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
32. （ ， ）
【解答】解：如图，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），
由题可得PG＝AH，BG＝PH，
即a﹣m＝b，b+2m＝6﹣a，
联立解得：a＝ ， ，
即P ，
∴PA2＝ ，
∴当m＝ 时，PA最小，
此时 .
故答案为：（ ， ）.
【分析】在平面直角坐标系中，构造△PGB≌△AHP，设B（m，﹣2m），P（a，b），依据全等三角形的性质，即可得到 ，再根据两点间距离公式以及配方法，即可得到m的值，进而得出点P的坐标.
33. a≥9
【解答】第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x 5，即a＞13．
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即：
x ，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值）
综合上所述：a≥9．
故答案为：a≥9．
【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．
34. −
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根
∴△=(−3)2−4×a×(−1)>0，
解得：a>−
设y=ax2−3x−1，如图，
∵实数根都在−1和0之间，
∴−1<−−a<0，
∴a<−，
且有当x=-1时，y<0, 当x=0时，y<0，
即a×(−1)2−3×(−1)−1<0, a×02−3×0−1=−1<0，
解得：a<−2，
∴−
35. （0，n2+n）
【解答】解：∵点A1的坐标为（1，1），
∴直线OA1的解析式为y＝x，
∵A1B1⊥OA1 ，
∴OP1＝2，
∴P1（0，2），
设A1P1的解析式为y＝kx+b1 ，
∴ ，解得 ，
∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，
解 求得B1（﹣2，4），
∵A2B1∥OA1 ，
设B1P2的解析式为y＝x+b2 ，
∴﹣2+b2＝4，
∴b2＝6，
∴P2（0，6），
解 求得A2（3，9）
设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3 ，
∴﹣3+b3＝9，
∴b3＝12，
∴P3（0，12），
…
∴Pn（0，n2+n），
故答案为（0，n2+n）．
【分析】根据待定系数法分别求得直线OA1、A2B1、A2B2……的解析式，即可求得P1、P2、P3…的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．
三、解答题
36. 如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x，
PN=y，
则面积S=xy①，
∵点P在AB上， 由△APQ~△ABF得，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S= ，
即：x=10-2y，
∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y
即S=
因为3≤y≤4而y= ，不在自变量的取值范围内，
所以y= 不是最值点，
当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。
【分析】设矩形MDNP的两邻边DN=x，PN=y，易证△APQ~△ABF，利用相似三角形的对应边成比例得到x与y的关系，则可表示出矩形MDNP的面积S，然后利用二次函数的性质以及y的取值范围用比较法求出S的最大值，进而可求出钢板的最大利用率。
37. 解：如图，
就是所求的 的平分线.
的顶点 ， ，
， ，
在 中， .
由题意可知 平分 ，
，
又 ，
，
，
.
的顶点 ，
，
.
【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可, 先根据勾股定理求得AO的长度，再利用角平分线得 ，再根据AC=OB=7即可得出线段 的长.
38. 解：设所获利润为 元，每件降价 元
则降价后的每件利润为 元，每星期销量为 件
由利润公式得：
整理得：
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
故当 时，y取得最大值，最大值为6125元
即定价为： 元时，所获利润最大，最大利润为6125元
【分析】设所获利润为 元，每件降价 元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润 销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.
39. 解：解：不存在这样的实数.
设该实数是a.
则y1≤y2 ， 即6a≤3a2+3，
解得（a﹣1）2≥0，
∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y1≤y2≤y3 ，
将点（1，6）代入二次函数y3=x2+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），
∴1=16﹣4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函数y3的解析式为：y=x2+4x+1；
∴3a2+3≤a2+4a+1，
解得，（a﹣1）2≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a不适合.
所以，不存在这样的任意实数a，使y1≤y2≤y3成立.
【分析】先假设存在这样的实数a，则实数a也必须满足y1=y2=y3 ， 所以，在足y1=y2的方程中求的点a的坐标；然后将其代入y3 ， 再与二次函数y3=x2+bx+c图象经过点（-4，1）这一条件，解得b、c的值，从而解得y3的解析式；最后根据y2≤y3来解关于a的不等式，该不等式的值是a取任何实数，不等式都会成立，则存在这样的实数a，反之，不存在这样的实数a.即假设不成了.
40. 解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得： ，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2
【分析】根据二次函数平移的性质进行作答即可，计算得到抛物线上的任意两个点，根据平移规律即可得到两个点平移后的点，代入抛物线的解析式即可得到答案。
41. 解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，
∴ ，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴ ，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
【分析】 设涨价x元，利润为y元 ,根据销售利润=单件利润×销售量，分别求出方案一、二的利润y与x的关系式，利用二次函数的性质分别求出最值，然后比较即可.
42. 解：①真，②假，③假，④真.理由如下：
①将（1,0）代入 ，得 ，解得 .
∴存在函数 ，其图像经过（1,0）点.
∴结论①为真.
②举反例如，当 时，函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.
③∵当 时，二次函数 （k是实数）的对称轴为 ，
∴可举反例如，当 时，二次函数为 ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当 时，二次函数 的最值为 ，
∴当 时，有最小值，最小值为负；当 时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
【分析】①将（1,0）代入函数解析式中，求出k值，然后判断即可；
②先考虑函数是一次函数时即可判断真假；
③先求出对称轴，然后举出反当 时的函数解析式，利用二次函数的增减性即可判断；
④先求出函数的最值，分别求出当k＞0，k＜0时的最值的符号，然后判断即可.
43. 解：如图所示：
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ．
∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1 ，
∴P1的坐标为（2，3），
∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ．
∴P2的坐标为（7，2），
设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②，
解由①②组成的方程组得，k＝﹣ ，b＝ ．
所以直线P1P2的解析式为y＝﹣ x + ；
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ． 如图，
∴P2的坐标为（1，﹣2），
设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②，
解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7．
所以直线P1P2的解析式为y＝5x﹣7；
故答案为矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 直线P1P2的解析式为：y＝﹣ x + ；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7.
【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1 ， 得到P1的坐标为（2，3）．将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 得P2的坐标为（7，2）；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ， 得P2的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式．
四、综合题
44. （1）解：由题意知：
当蔬菜批发量为60千克时：60×5=300（元），
当蔬菜批发量为90千克时：90×5×0.8=360（元）．
故答案为：300，360；
（2）解：设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得
，
解得．
故该一次函数解析式为：y=﹣30x+240；
（3）解：设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，
w=（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）=﹣30（x﹣6）2+120，﹣30x+240≥75，即x≤5.5，
当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元．
【分析】（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×0.8=360元；
（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；
（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．
45. （1）解：当x1＝﹣1，y1＝ +2019＝2019 ，
∴A（﹣1，2019 ），
把点A坐标代入直线y＝kx+2028得：2019 ＝﹣k+2028，
解得：k＝
（2）证明：由（1）得，直线解析式为y＝ x+2028，
解方程组 得： 或 ，
∴A（﹣1，2019 ），B（81，2748），
∵（y1﹣2019）（y2﹣2019）＝ ×729＝81，
∴点（y1﹣2019，y2﹣2019）在反比例函数y＝ 的图象上
（3）解：“小安问题”正确，理由如下：
抛物线y＝ x2+2019的顶点坐标为：C（0，2019），
∵A（﹣1，2019 ），B（81，2748），
∴AC＝ ，
BC＝ ，
∵等式x1•BC+y2•AC＝m•AC恒成立，
∴﹣1×81 +2748× ＝m• ，
解得：m＝2019，
即“小安问题”正确.
【分析】（1）把x1＝﹣1，代入抛物线解析式求出y1＝2019 ，得出点A坐标（﹣1，2019 ），把点A坐标代入直线y＝kx+2028即可得出k的值；（2）由直线和抛物线联立方程组，解方程组 求出点A（﹣1，2019 ），B（81，2748），计算（y1﹣2019）（y2﹣2019）的值为81即可；（3）求出抛物线的顶点C的坐标，由题意求出AC＝ ，BC＝ ，代入等式x1•BC+y2•AC＝m•AC，即可得出m的值.
46. （1）解：设每件进价为 元，标价为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
答：每件进价为155元，标价为200元
（2）解：设每件应降价 元出售，每天获利为 元，
由题意可得： ，
∴当 时， .
答：每件降价10元销售，每天获得利润最大，获得最大利润是,4900元
【分析】（1）依题意，可设每件进价为 元，标价为 元，根据题中等量关系可列方程组，解出x，y的值即可（2）设每天获利w元，降价为 元，再根据利润＝（标价−成本）×售出数量，列出函数关系式即可得解.
47. （1）解：将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5
（2）解：能.
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，
即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分
（3）解：抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）
【分析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标代入解析式中列出二元一次方程组 ，解此方程组即可求得抛物线的解析式；（2）结合图像可知△BDE和△BEF是等高的，，由此得出他们的面积比即为DE：EF＝2：3，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出方程，解方程求得D点坐标；（3）分情况分析△MBC为直角三角形时M的坐标即可.
48. （1）解： 抛物线经过点 ，点 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：存在.
当 ，解得 ，则 ，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值为
（3）点坐标为 或 或 或
【解答】（3） 抛物线的对称轴为直线 ，
，
当 时，则 ，
以 为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为 或
当 时，
以 为顶点的四边形是平行四边形，
，
点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，
点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，
设 ，则 ，
把 代入 得 ，解得 ，
此时 点坐标为 ，
综上所述， 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设 ，则 ，则 ，根据三角形面积公式得到 ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先求出抛物线的对称轴为直线 得到 ，讨论：当 时，则 ，利用平行四边形的性质得 ，从而得到此时 点坐标；当 时，由于点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，所以点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到 点，设 ，则 ，然后把 代入 得 ，则解方程求出得到此时 点坐标.
49. （1）解：如图，
当x=0时，y=-x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
当y=0时，-x+5=0，
解得：x=5，
∴点B的坐标为（5，0）.
将B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+4x+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y=-x2+4x+5.
（2）解：①∵抛物线的表达式为y=-x2+4x+5，
∴抛物线的对称轴为直线x=- =2，
∴设点P的坐标为（2，m）.
∵点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5），
∴CP2=（2-0）2+（m-5）2=m2-10m+29，BP2=（2-5）2+（m-0）2=m2+9，BC2=（0-5）2+（5-0）2=50.
∵∠CPB=90°，
∴BC2=CP2+BP2 ， 即50=m2-10m+29+m2+9，
解得：m1=-1，m2=6，
∴点P的坐标为（2，-1）或（2，6）.
②设点P的坐标为（2，n），分两种情况考虑（如图2）：
（i）若CD为边，当四边形CDPQ为平行四边形时，
∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（0+2-1，5+n-0），即（1，5+n）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴5+n=-1+4+5，解得：n=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
当四边形CDQP为平行四边形时，
∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（1+2-0，0+n-5），即（3，n-5）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴n-5=-9+12+5，解得：n=13，
∴点P的坐标为（2，13）；
（ii）若CD为对角线，∵四边形CPDQ为平行四边形，点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），
∴点Q的坐标为（0+1-2，5+0-n），即（-1，5-n）.
∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，
∴5-n=-1-4+5，解得：n=5，
∴点P的坐标为（2，5）.
综上所述：点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）.
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①利用二次函数的性质可求出抛物线对称轴为直线x=2，设点P的坐标为（2，m），结合点B，C的坐标可得出BC2 ， CP2 ， BP2的值，由∠CPB=90°利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出点P的坐标；②设点P的坐标为（2，n），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：（i）若CD为边，当四边形CDPQ（CDQP）为平行四边形时，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标；（ii）若CD为对角线，四边形CPDQ为平行四边形，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标.综上，此题得解.
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