期末卷10 备战2021年高三数学期末全真模拟卷（八省新高考地区专版）（解析版）

2021年高三数学期末全真模拟卷10
（新高考地区专用）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．
【详解】
m＝0时，f（x）＝1，不合题意；
m≠0时，令g（x）＝mx2+mx+1，
只需，
解得：m≥4，
故选D．
【点睛】
本题考查了幂函数的性质，考查二次函数的性质，考查了分类整合的思想，是一道中档题．
2．如图是指数函数①、②、③、④的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）

A．c＜d＜1＜a＜b B．d＜c＜1＜b＜a
C．c＜d＜1＜b＜a D．1＜c＜d＜a＜b
【答案】B
【分析】
由指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．
【详解】
∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即，，即．
∴，，，与1的大小关系是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了指数函数的单调性，训练了特值思想方法，属于中档题．
3．已知函数,如果，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的解析式，化简得，进而根据，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，
则，即，
又由，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，
所以，选B.
5．若函数有两个不同的零点，且，,则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题，得到不等式组，解之即可.
【详解】
设t＝2x，函数f（t）＝t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，，,
∴，即，解得：
故选C
【点睛】
对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
6．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的. 若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为( )

A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.
【详解】
目标函数化为：，画出的图象，并平移，如图，
当平移到与圆相切时，目标函数在y轴上的截距最大，由圆心O到直线距离d＝，得z的最大值为,
当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由，得B点坐标为（－1，－1），所以，z的最小值为－7，
故选：A

【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.
7．在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三棱锥的体积，求PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．
【详解】
解：三棱锥的体积为，，
，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
是边长为的正三角形，
外接圆的半径，
球的半径为R=，
球O的表面积为．
故选：D．
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的求法，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若 面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.
8．等差数列an中的a2 ，  a4030是函数f(x)=13x3-4x2+6x-1的两个极值点，则log2a2016=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
求导，根据导数得到a2,a4030是方程x2-8x+6=0的实根，a2+a4030=8根据等差数列的性质得到答案.
【详解】
由题意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函数fx的极值点，∴a2,a4030是方程x2-8x+6=0的实根，由韦达定理可得a2+a4030=8.等差数列的性质可得2a2016=a2+a4030=8,a2016=4，
∴log2a2016=log24=2.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）选错不得分，选对部分得3分，全对得5分
9．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.
【详解】
A.当时，成立，故A正确；
B.当时，，等号成立的条件是，当时，，等号成立的条件是，故B不正确；
C.当时，，所以，故C正确；
D.，所以，等号成立的条件是当且仅当，即，故D正确.
故答案为ACD
【点睛】
本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型.
10．已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．xy最大值为 B．的最小值为
C．最大值为 D．最小值为4
【答案】AB
【分析】
选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解.
【详解】
对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．若，则与平行
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题首先根据投影的定义判断出是否正确，然后通过即可判断出是否正确，再然后通过取即可判断出是否正确，最后通过计算得出即可判断出是否正确并得出答案．
【详解】
由向量投影的定义可知，A显然不成立；
，故B成立；
，当时不成立，故C不成立；
由，得，即两向量平行，故D成立．
综上所述，故选BD．
【点睛】
本题考查学生对题目所给信息的掌握以及向量的相关性质的理解，主要考查向量的投影、向量的数量积以及向量的运算的相关性质，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
12．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是（ ）.

A．不论折至何位置(不在平面内)，都有//平面
B．不论折至何位置(不在平面内)，都有
C．不论折至何位置(不在平面内)，都有//
D．在折起过程中，一定存在某个位置，使
【答案】ABD
【分析】
设点为的中点，连接，，易证平面//平面，从而得出//平面；可证明直线平面，然后得出；当为直二面角时.
【详解】
折叠后如图所示，

①对于A选项，取的中点，连接，
∵、分别是、的中点，
∴故//，//，又，且平面，
平面//，，
∴平面//平面，故//平面，故A正确；
②对于B选项，由已知，，，且，平面，平面，
∴平面，又平面//平面，
所以平面，则由线面垂直的性质可知，故B正确；
③对于C选项，因为//，，则与为异面直线，故C错；
错，
④对于D选项，当为直二面角时，易证平面当，则根据线面垂直的性质定理可知，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
求解空间翻折问题的关键在于找出翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量找出来，这些变化和不变的量反映了翻折前后空间图形的结构特征.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．若 则的最小值是__________．
【答案】
【分析】
根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.
【详解】

则，即

由题意知，则，
则
当且仅当，即时取等号
本题正确结果：
【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.
14．已知实数满足约束条件，则的最大值是________
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．
【详解】
作出实数满足约束条件对应的平面区域，
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，
直线的截距最大，此时最大．
由，得，
此时的最大值为，
故答案为：．

【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15．正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，即可得到三点共线时，最小，在三角形中，由余弦定理可求得正四面体的边长为，将正四面体内接于一个正方体中，利用体积差即可求得正四面体的体积为，再以内切球的球心为顶点可将正四面体分成四个等体积的三棱锥，利用等体积法即可求得内切球的半径为，问题得解。
【详解】
如下图，正方体中作出一个正四面体

将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：

要使得最小，则三点共线，即：，
设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：
，解得：，
所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，
设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，
整理得：，解得：，
所以该四面体内切球的体积为.
【点睛】
本题主要考查了空间问题平面化思想，还考查了正四面体体积计算及内切球半径计算，考查了空间思维能力及转化能力，还考查了等体积法，属于难题。
16．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点，则蚂蚁所经过路程的最小值为__________．

【答案】
【分析】
由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值．
【详解】
由题目所给三视图可知该几何体为圆锥的一半，展开图如图所示，依题意，蚂蚁经过的路程的最小值为线段AM的长度，因为PA=PB=2,侧面展开图的半径为2，弧长为π，
∴圆心角为，因为,所以,在中，根据余弦定理知 蚂蚁所经过路程的最小值为．
故答案为．

【点睛】
本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查立体图形转为平面图形以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力．
四、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量，.
（1）设向量与的夹角为，求；
（2）设向量，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）求出，，结合，利用向量夹角公式可得结果；（2）由，利用三角函数的有界性求出是范围，从而可得结果.
【详解】
（1）向量，，
则，，
.
（2），
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
18．如图所示，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点．

（1）证明：平面；
（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的正切值．
【答案】(1)见证明；(2)
【分析】
(1)由面可知，又可证，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取中点，作于，连，可证是二面角的平面角，解三角形即可求解.
【详解】
（1）面，面，；
又底面为菱形，，为中点，

面；

（2）面，是与面所成角，
时，最小，最大，最大，
令，则，在中，，
在中，，
面，面面，且交线为，取中点，
正中，面，
作于，连，由三垂线定理得，
是二面角的平面角..
在中，边上的高，

【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题.
19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，，侧面SAD⊥底面ABCD．

(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；
(2)若∠SDA=120°，CD=1，求三棱锥S﹣BCD的体积．
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）要证明平面SBD⊥平面SAD，只要证明BD⊥平面SAD，由面SAD⊥底面ABCD即证;
(2）在△SAD中过S作,求出，即可求出体积.
【详解】
（1）证明：在梯形中，,∠ABC=90°，，
设,则,在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，
可得,∠CBD=45°，∠ABD=45°，
由余弦定理可得
,,则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，
又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；
(2）在△SAD中过S作
则
∴,,.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查三棱锥的体积公式，是中档题．
20．已知函数

(1)用“五点法”作出在上的简图;
(2)写出的对称中心以及单调递增区间;
(3)求的最大值以及取得最大值时的集合.
【答案】（1）见解析；（2）对称中心,，增区间为，k∈Z；（３）最大值为2时,.
【分析】
（1）根据的范围求出的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象．（2）将作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解．（3）根据的范围，并结合函数的图象求解可得函数的最大值．
【详解】
(1)∵，
∴．
列表如下：
2 +
0

π

2

-




f(x)
1
2
1
0
1

画出图象如下图所示：

(2)由，
得，
∴函数的图象的对称中心为．
由，
得，
∴函数的增区间为，k∈Z．
(3)当，即时，
函数取得最大值，且最大值为2．
∴函数的最大值为2，此时．
【点睛】
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质是考查的重点，也是高考热点，解题时尽可能可能使用数形结合的思想方法，如求解函数的周期、函数图象的对称轴、对称中心和单调区间等．
21．如图，圆x2+y2=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．

（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）求过点P的弦的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当弦AB被P平分时OP⊥AB，求出AB的斜率，写出它的直线方程；（2）设AB的中点为M（x，y），利用OM⊥AB时kOM•k=-1，列方程求得中点轨迹方程．
【详解】
（1）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时KOP==-2，
∴AB的斜率是，
它的点斜式方程为y-2=（x+1），
化为一般方程是x-2y+5=0；
（2）设AB的中点为M（x，y），
则AB的斜率为k=，
又OM⊥AB，∴kOM•k=-1，
即•=-1，
整理得x2+y2-2y+x=0，
∴过点P的弦中点的轨迹方程为x2+y2-2y+x=0．
【点睛】
本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了两直线垂直的应用问题，是基础题．
22．已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系．将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点
(1)当点坐标为(1,1)时，求折痕所在直线方程.
(2)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程； 
(3)当时，设折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，将沿折痕EF旋转．使二面角的大小为，设三棱锥的外接球表面积为，试求最小值.
【答案】（1）； （2）； （3）.
【分析】
（1）根据两个点关于直线对称得到对称直线的斜率，由中点坐标公式得到中点，代入直线可得到结果；（2）当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为；当时，A点落在线段同DC上的点记为G(，1)，根据对称性得到直线斜率和直线上的点，由点斜式得到结果；（3）根据题意可得到EF的中点G为外接球的球心，根据两点间距离公式可得到半径，进而求解.
【详解】
(1)折叠后，根据点关于线对称得到直线的斜率为：，两个点的中点为：在直线上，故易求所在直线方程为：.
(2)当时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为
当时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G(，1) ()，则A与G关于折痕所在直线对称，得 故
线段OG中点，所以折痕所在直线方程为：
即
综上所述，所求折痕所在直线方程为.
(3)由（2）当时，折痕所在直线与轴交于点E，与轴交于点F，则，记EF的中点为G点，根据直角三角形中线的性质得到：，故得到G点为球的直径；球的直径即为，
所以所以 ,
所以最小值为.
【点睛】
这个题目考查了点关于直线的对称问题，以及翻折问题，翻折问题需要注意翻起之前和翻起之后哪变哪里不变，也涉及椎体的外接球问题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
23．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.

（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取，，，共25场，在，，，中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；
（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的与数据：

10
15
20
25
30
35
40

2302
2708
2996
3219
3401
3555
3689

2.49
2.99
3.55
4.00
4.49
4.99
5.49

（i）用最小二乘法求与之间的回归直线方程；
（ii）叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值.
参考数据和公式：，，，，
，.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）（i）；（ii）20.
【分析】
（1）根据题意，确定抽样比，得到，，，的值分别为5，6，9，5；所以这两数和的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；
（2）（i）由最小二乘法，结合题中数据，求出，的估计值，从而可得回归直线方程；
（ii）由（i）得到，所以，设，用导数的方法求其最值即可.
【详解】
（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为，
所以，，，的值分别为5，6，9，5.
所以这两数和的所有可能的取值为10，11，14，15.
于是，，
，，
所以随机变量的分布列为：

10
11
14
15






所以.
（2）（i）因为，，，，
所以，
即，
所以与之间的回归直线方程为.
（ii）因为，
所以，
设，
则，
令，在恒成立，
则在为减函数，又，
所以当时，，，所以在上单调递增，
当时，，，所以在上单调递减，
所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值为20.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，回归直线方程的求法，以及导数的方法求函数的最值问题，熟记离散型随机变量分布列与期望的概念，会用最小二乘法求回归直线系数的估计值，以及导数的应用即可，属于常考题型.