专题14 综合测试07（解析版）

专题14  综合测试07

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021年山东青岛联考）设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由题意可得，，所以．

故选：A．

2、（2021年山东藤州期中联考）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（    ）

(附：，则，)

A. 36014 B. 72027 C. 108041 D. 168222

【答案】B

【解析】，，

，，

，

这些考生成绩落在的人数约为.

故选：B.

3、（2021年山东开学初模拟）马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，

其中梅森素数有3，7，37共3个，

则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有种，

其中至少有一个为梅森素数有种，

所以至少有一个为梅森素数的概率是.

故选：A.

4、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）函数“的定义域为R”是“a≥1”的

   A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

   C．充要条件                          D．既不充分也不必要条件

【答案】：B

【解析】：的定义域为R，故必要不充分条件．

5、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）函数的部分图像大致是

【答案】：A

【解析】：为奇函数，x≠0，．

6、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为

   A．125            B．100            C．75             D．50

【答案】：C

【解析】：，，两式相比得t＝75．

7、（2021年山东青岛联考） 若为偶函数，满足，，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 1010 D. 2020

【答案】D

【解析】函数为偶函数，∴，又，

∴，∴同周期函数，且周期为6，

又，

∴．

故选：D．

8、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）设为等比数列的前n项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是

   A．(0，]         B．(0，]        C．(0，)        D．(0，)

【答案】：A

【解析】：(0，2)，代入验证选A最合适．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021年山东开学初模拟） 若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】A选项由知，因为，所以，当且仅当时等号成立，故A选项错误；

B选项，因为，当且仅当时等号成立，故B选项错误；

C选项，，当且仅当时等号成立，故C正确；

D选项，由，当且仅当时等号成立，所以正确，

故选：CD

10、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）等差数列的前n项和为，若，公差d≠0，则

   A．若，则              B．若，则是中最大的项

   C．若，则             D．若，则

【答案】：BC

【解析】：A错：；B对：对称轴为7；

      C对：，；D错：由C可知D选项不一定成立．

11、（2021年山东藤州期中联考）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时， B.

C. 的图像关于点对称 D. 函数有个零点

【答案】ABD

【解析】已知是定义在上的偶函数，且，即该函数周期为4，

由题：时，，

当时，，，所以A选项正确；

，所以B选项正确；

的图象关于点对称，则，

但是，与矛盾，所以C选项错误；

作出函数的图象即可得到，

函数有个零点，所以D选项正确.

故选：ABD

12、（2021年山东青岛联考） 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（    ）

A. 的方程为 B. 的离心率为

C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线仅有1条

【答案】AC

【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；

又离心率，故B不正确；

圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，

又圆的半径为1，故C正确；

直线与曲线的方程联立整理得，

设， ，且，

有，所以，

要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，

故选：AC.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2021年山东开学初模拟）已知函数，则________．

【答案】

【解析】根据题意，当时，，

所以，

当时，，

所以.

故答案为：.

14、（2021年山东藤州期中联考）在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.

【答案】20

【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，

可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，

再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.

故答案为：

15、（2021年山东青岛联考）已知四面体中，，，，则其外接球的体积为______.

【答案】

【解析】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，

则四面体的外接球即为此长方体的外接球，

设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R

则，

所以,

则，解得，

所以.

故答案为：

16、（江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试）已知定义在R上的函数关于y轴对称，其导函数为，当x≥0时，．若对任意xR，不等式恒成立，则正整数a的最大值为       ．

【答案】：2

【解析】：根据题意构造，为偶函数且先减后增，故，

     故正整数a的最大值为2．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

选①

∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

18、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）(本小题满分12分)已知正项等比数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【解析】（1）设数列的公比为

由已知，由题意得，

所以，解得，.

因此数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

∴.

19、（2021年江苏启东中学期中联考）(本小题满分12分)

如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.

【解析】（1）如图，取的中点G，连结，．

在△BCC1中，因为F为的中点，所以∥．……………2分

在三棱柱中，∥，且E为的中点，

所以∥.

所以四边形是平行四边形.

所以∥.……………4分

因为平面，平面，

所以∥平面．……………6分

（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，

因为所以

所以．

所以，……………8分

设平面的的一个法向量为，

则，即

取，则，

所以，……………10分

所以，

直线与平面所成角为，则与或它的补角互余，

所以.……………12分

20、（2021年江苏六校联考）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

(1)    通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，试估计初试 

成绩不低于90分的人数；

(2)    已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且

每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望.

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，δ2)， 则P(μ－δ＜X＜μ＋δ) ＝0.6826，

P(μ－2δ＜X＜μ＋2δ) ＝0.9544，  P(μ－3δ＜X＜μ＋3δ) ＝0.9974．

【解析】（1）∵学生笔试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，

μ＋2δ＝64＋2×13＝90             ………………1分

∴P(X≥90) ＝P(X≥μ＋2δ )＝（1－0.9544）＝0.0228  ………………3分

∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000＝114人            ………………4分

（2）Y的取值分别为0，3，5，8，10，13，

则P(Y＝0) ＝（1－）×（1－）2＝

P(Y＝3) ＝×（1－）2＝＝

P(Y＝5) ＝（1－）×C××（1－）＝

P(Y＝8) ＝×C××（1－）＝＝

P(Y＝10) ＝（1－）×（）2＝

P(Y＝13) ＝×（）2＝＝       

Y的分布为

故的分布列为：

一个概率1分………………10分

E(Y) ＝0×＋3×＋5×＋8×＋10×＋13×＝＝…………12分

21、（2021年江苏启东中学期中联考）(本小题满分12分)

已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）求的最值；

（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．

【解】（1）因为，

令，即，所以，

列表如下：

……………2分

所以在递减，在递增，

所以当时，有最小值，无最大值. ……………4分

（2），注意到，

则，

当时，，单调递增，不合题意；……………5分

当时，设，

则在上恒成立，

所以在上单调递增．

因为，又注意到，

所以，

从而，所以，

根据零点存在性定理知，存在，使得，……………7分

当时，，递减；当时，，递增．

注意到，当时，只有一个零点，

这时，即；……………8分

当时，，则，

又因为在递减，递增，，所以，

又因为，所以，

因为，

因为，，所以，

所以在上有一个零点，另一个零点为1，

所以当时，有两个零点. ……………10分

当时，，，

所以存在使得，

又因为在递增，注意到，所以，

又因为，而，

可知所以在上有一个零点，另一个零点为1，

所以当时，有两个零点．

综上可知，实数k的取值范围是．……………12分

22、（2021年辽宁锦州模拟）（本小题满分12分）已知抛物线，为其焦点，椭圆，

，为其左右焦点，离心率，过作轴的平行线交椭圆于两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过抛物线上一点作切线l交椭圆于两点，设与轴的交点为，的中点为，的中垂线交x轴于点，，的面积分别记为，，若，且点在第一象限．求点的坐标．

【解析】（1）不妨设在第一象限，

由题可知，，                            ………………2分

又，将代入上式得：，

可得，从而得a=2,

椭圆的方程为.                                        ………………4分

（2）设则切线的方程为

代入椭圆方程得：，

设，

则， 

，

的方程为，

即，

令得，

在直线方程中令得，

                                      ………………6分

，，      ………………8分

，，

，.          ………………10分

化简得，

（舍去）的坐标为.

，

，

因为，故此解符合题意．                          ………………12分