初一数学 第2讲 有理数的运算 学案

有理数的运算

“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”

——《九章算术》

  模块一  有理数的加减法

   模块二  有理数的乘除法

  模块三  乘方

  模块四  绝对值初步

一、有理数的加法运算

1．有理数的加法运算法则

（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

【例】    

【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立．

2．加法运算技巧

（1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；

（2）符号相同的数可以先结合在一起；

（3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零；

（4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起．

【例】

二、有理数的减法运算

1．有理数的减法运算法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：．

【例】    

2．有理数的减法运算步骤

（1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数；

（2）按照加法运算进行计算．

【例】计算：

解：原式  Step1：减号变加号，减数变相反

          Step2：按照加法的运算步骤计算

3．有理数加减法混合运算技巧

（1）把算式中的减法转化为加法；

（2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉；

（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．

三、有理数的乘法运算

1．有理数的乘法运算法则

两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．

任何数与0相乘，积仍为0．

【例】    

2．有理数的乘法运算律

（1）乘法交换律：；

（2）乘法结合律：；

（3）乘法分配律：．

【例】 

3．有理数乘法运算技巧：

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正；

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0；

（3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假．

【例】的结果为负数

的结果为0

四、有理数的除法运算

1．有理数除法运算法则

一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，．

2．有理数除法的运算步骤：

（1）把除号变为乘号；

（2）把除数变为它的倒数；

（3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算．

【例】

五、乘方

乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数．

【例】表示有n个a连续相乘：

表示，

表示，

表示．

【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，．

六、混合运算技巧

1．有理数运算规则

加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．

2．“奇负偶正”

（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；

（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；

（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．

【例】                   ；

               ．

七、绝对值初步

（1）若，则；若，则．

（2）．

（3）．

（1）       （2）   （3）

（4）    （5）             （6）

（7）           （8）

（1）           （2）

（1）         （2）

（3）      （4）

（1）    （2）

（3）               （4）

（1）    （2）

（1）             （2）         （3）

（4）         （5）

（1）      （2）

（3）     （4）

（1）若，则化简的结果为________．

（2）若，化简．

（3）已知数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的结果是（    ）．

A．            B．

C．                 D．

（4）数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且；化简 ________．

（1）若，求的所有可能值．

（2）若，求的所有可能值．

（3）试探究，若，求的所有可能值．

（1）已知a、b是不为0的有理数，求的值．

（2）已知，求的值．

（3）已知，求的值．

（1）a，b，c为非零有理数，且，则的值等于多少？

（2）已知a，b，c都不等于0，且，，求．

（1）

（2）

计算：（1）

（2）

（3）

（1）    （2）

（3）    （4）

（1）已知，则___________．

（2）若，，那么_____________．

（3）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．若，则________．

（1）设a、b、c是不为0的有理数，那么的值有（    ）

A．3种         B．4种         C．5种          D．6种

（2）若，的最大值是m，最小值是n，则的值是__________．

有理数a、b、c、d满足，则的最大值为________．