高考真题汇编——理科数学（解析版）4：数列

高考真题分类汇编：数列

一、选择题

1.【高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=

      A.7           B.15         C.20       D.25

 【答案】B

【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.

2.【高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是

A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项

B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0

C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有

D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。

3.【高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（     ）

【答案】D

【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.

4.【高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（    ）

A．25                B．50               C．75               D．100

【答案】D

【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。

5.【高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=

(A)58          (B)88               (C)143         (D)176

【答案】B

【解析】在等差数列中，，答案为B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6.【高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（    ）

A、                B、            C、             D、

【答案】D

【解析】，即

，而是公差为的等差数列，代入，即

，不是的倍数，.

，故选D.

7.【高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：

①；   ②；    ③；    ④.

则其中是“保等比数列函数”的的序号为

A．① ②            B．③ ④           C．① ③           D．② ④ 

【答案】C

【解析】等比数列性质，，①； ②；③；④.选C

8.【高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为

A.1   B.2   C.3    D.4

【答案】B.

 【解析】由等差中项的性质知，又.故选B.

9.【高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（     ）

【答案】B

 【解析】．

10.【高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A)   (B)    (C)   (D)

【答案】A

【解析】由,得，所以，所以，又，选A.

二、填空题

11.【高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________。

 【答案】

【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．

即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．

12.【高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：

①当时，数列的前3项依次为5,3,2；

②对数列都存在正整数，当时总有；

③当时，；

④对某个正整数，若，则。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

【答案】①③④

【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.

【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.

13.【高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为      

【答案】1830

【解析】由得，

，

即，也有，两式相加得，设为整数，

则，

于是

14.【高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。

【答案】

【解析】

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。

15.【高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。

【答案】35

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。

【解析】设数列的公差分别为，则由，得，即，所以，

所以。

16.【高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。

【答案】，

【解析】因为，

所以，。

17.【高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．

 【答案】

【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。

18.【高考真题重庆理12】                       .

 【答案】

【解析】

19.【高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则         。

【答案】。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，

∴++…+==，∴。

20.【高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S=___________.

【答案】3018．

【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大．

【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.

三、解答题

21【高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

【答案】解：（1）∵，∴。

                ∴ 。

∴   。

           ∴数列是以1 为公差的等差数列。

（2）∵，∴。

     ∴。（﹡）

     设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

   若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

         若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

    ∴综上所述，。∴，∴。

            又∵，∴是公比是的等比数列。

                若，则，于是。

                又由即，得。

                ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

                ∴。

                ∴ 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。

 22.【高考真题湖北理18】（本小题满分12分）

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.

【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得 解得或               

所以由等差数列通项公式可得

，或.

故，或.                                        

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故                                     

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，                                    

23.【高考真题广东理19】（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．

（1）              求a1的值；

（2）              求数列{an}的通项公式．

（3）              证明：对一切正整数n，有.

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.

24.【高考真题陕西理17】（本小题满分12分）

设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。

（1）求数列的公比；

（2）证明：对任意，成等差数列。

   【答案】

25.【高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。

【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想

26.【高考真题四川理22】(本小题满分14分)

 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。

【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

27.【高考真题广东理19】（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．

（4）              求a1的值；

（5）              求数列{an}的通项公式．

（6）              证明：对一切正整数n，有.

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.

28.【高考真题上海理23】（4+6+8=18分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．

（1）若，且具有性质，求的值；

（2）若具有性质，求证：，且当时，；

（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.

【答案】

 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．

29.【高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）

    设数列的前项和满足，其中.

    （I）求证：是首项为1的等比数列；

（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.

【答案】

30.【高考真题江西理17】（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列的前n项和Tn。

【答案】

【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.

31.【高考真题安徽理21】（本小题满分13分）

  数列满足：

（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；

（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。

【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。

【解析】（I）必要条件

当时，数列是单调递减数列。

充分条件

数列是单调递减数列，

得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。

（II）由（I）得：，

①当时，，不合题意；

②当时，，

，

。

当时，与同号，

由，

。

当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾，

得：当时，数列是单调递增数列。

32.【高考真题天津理18】（本小题满分13分）

已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，

.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【答案】

33.【高考真题湖南理19】（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……

（1）       若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.

（2）       证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以

即亦即

故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.

（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则

　　　，

于是得即

由有即，从而.

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.

【解析】

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

34.【高考真题山东理20】本小题满分12分）

在等差数列中，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.

【答案】

解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.

（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，

即，而，由题意可知，

于是

，

即.

35.【高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.

【答案】