北师大版七年级下册6 完全平方公式优质课教案

第2课时 完全平方公式的应用

【知识与技能】

1.熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感.2.能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用.

【过程与方法】

能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力.

【情感态度】

会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算，感悟换元变换的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力.

【教学重点】

运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.

【教学难点】

灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.

一、情景导入，初步认知

复习已学过的完全平方公式.

1.完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

2.公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.

3.想一想：

（1）两个公式中的字母都能表示什么?数或代数式.

（2）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?

完全平方公式在计算化简中有些什么作用?

【教学说明】

本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用.

二、思考探究，获取新知

1.怎样计算1022、1972更简单呢？

（1）把1022改写成(a+b)2还是(a-b)2?a、b怎样确定？

1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404

（2）把1972改写成(a+b)2还是(a-b)2?a、b怎样确定？

1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=4000-1200+9=38809

【教学说明】能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固.需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习.

2.想一想：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……

(1)第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(3)第三天这（a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

【教学说明】数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生进一步巩固了(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的思维梯度，学生通过自主探究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P26例2.

2.若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（D）

A.5   B.-5   C.10   D.-10

3.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（D）

A.4     B.2     C.-2    D.±2

4.用完全平方公式和平方差公式计算.

（1）9.8×10.2；

解：原式=（10-0.2）×（10+0.2）=102-0.22=100-0.04=99.96

（2）89.82；

解：原式=（90-0.2）2=902-2×0.2×90+0.22=8064.04

(3)472-94×27+272；

解：原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400

(4)(a+b+c)2；

解：原式=［(a+b)+c］2(a+b)2+2(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

(5)（3x+2y-5z+1）（-3x+2y-5z-1）.

解：原式=［(2y-5z)+(3x+1）］［（2y-5z）-（3x+1）］=（2y-5z）2-（3x+1）2

=4y2-9x2+25z2-20yz-6x-1

5.（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2.

解：a2+b2=（a+b）2-2ab.

∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=32-2×2=5.

（2）若已知a+b=10，a2+b2=52，ab的值呢？

解：∵a+b=10，

∴（a+b）2=102，a2+2ab+b2=100，

∴2ab=100-（a2+b2）.

又∵a2+b2=52，∴2ab=100-52，ab=24.

7.观察下列各式的规律.

12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；

22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；

32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…

（1）写出第2014行的式子；

（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的.

解：（1）（2014）2+（2014×2015）2+（2015）2=（2014×2015+1）2；

（2）n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］

2.理由：∵n2+［n（n+1）］2+（n+1）2

=n2+n2（n+1）2+n2+2n+1

=n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1

=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1

=n4+2n3+3n2+2n+1.

而［n（n+1）+1］2=［n（n+1）］2+2n（n+1）+1

=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1

=n4+2n3+n2+2n2+2n+1

=n4+2n3+3n2+2n+1，

所以n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2.

【教学说明】

使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.

四、师生互动，课堂小结

1.完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数.也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号.2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.

五、教学板书

1.布置作业：教材“习题1.12”中第1.3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

在整个新课的教学中，主要是教给学生“动脑想，动手写，会观察，齐讨论，得结论”的学习方法.这样做，增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；这样做，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”.这样做，体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后，结合本节课教学内容，选择具有典型性、由浅入深的例题，让学生认知内化，形成能力并通过发展提高，培养学生迁移创新精神，有助于智力的发展.