高三数学决战四统测模拟训练(一)

这是一份高三数学决战四统测模拟训练(一)，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知集合，则 ▲ ．
结束
开始
P ← 0
n ← 1
P ←P＋ EQ \F(1,n(n＋1))
n ← n＋1
输出n
Y
N
（ 第6题 ）
P＜0.70
已知，那么复数 ▲ .
从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．
已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲ ．
5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．
（第5题）
A
B
C
P
D
E
F
第8题图
6.如图所示的流程图，最后输出的n的值是 ▲ ．
7.已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝ EQ \r( ,3)，a＋b＝( EQ \r( ,3)，1)，则向量
a＋b与向量a－b的夹角是 ▲ ．
8.如图，正三棱锥P－ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别
在棱PA，PB，PC上，满足PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥P – DEF
的体积是 ▲ ．
9.在中，，点是内心，且，
则 ▲ ．学
第11题图
10.已知锐角A，B满足tan(A＋B)＝2tanA，则tanB的最大值是 ▲ ．
11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 ▲ .
12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 ▲ .
13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ▲ ．
14.设实数a，x，y，满足 eq \b\lc\{(\a\al(x＋y＝2a－1，,x2＋y2＝a2＋2a－3，))则xy的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：
15.（本小题满分14分）
设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C＝ EQ \F(π,3)，acsA=bcsB．
（1）求角A的大小；
（第15题）
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．
16.（本小题满分14分）
在正三棱柱中，点是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）试在棱上找一点，使．
17.（本小题满分14分）
如图，2014年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
18.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为 eq \f( eq \r(3),2)．
（1）求a，b的值．
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；
（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．
19. (本题满分16分)
设函数.
（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.
20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S eq \(\s\up 7(2),n)＝3n2an＋S eq \(\s\up 7(2),n－1)，an≠0，n≥2，n∈N*．
(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；
(2)确定a的取值集合M，使a eq \(\s\up1(),∈)M时，数列{an}是递增数列．
数学参考答案
一、填空题
1．2．3．4． 5．40 6．4 7． EQ \F(2,3)π 8． 9． 10． EQ \F( EQ \r( ,2),4) 11. 12． 13．（21,24） 14．[ EQ \F(11,4)－ EQ \F(3,2) EQ \r( ,2)， EQ \F(11,4)＋ EQ \F(3,2) EQ \r( ,2)]
二、解答题
15.（本小题满分14分）
解（1）由acsA＝bcsB及正弦定理可得sinAcsA＝sinBcsB，
（第15题）
即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以有A＝B或A＋B＝ EQ \F(π,2)． ………………… 2分
又因为C＝ EQ \F(π,3)，得A＋B＝ EQ \F(2π,3)，与A＋B＝ EQ \F(π,2)矛盾，所以A＝B，
因此A＝ EQ \F(π,3)． …………………4分
（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；
在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)
＝2sin[π－(α＋ EQ \F(π,3))]＝2sin (α＋ EQ \F(π,3))，α∈(0， EQ \F(2π,3)).
……………… 6分
所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋ EQ \F(π,3))＝3sinα＋ EQ \r( ,3)csα＝2 EQ \r( ,3)sin(α＋ EQ \F(π,6)).
……………… 10分
因为α∈(0， EQ \F(2π,3))，所以α＋ EQ \F(π,6)∈( EQ \F(π,6)， EQ \F(5π,6))，从而有sin(α＋ EQ \F(π,6))∈( EQ \F(1,2)，1]，
即2 EQ \r( ,3)sin(α＋ EQ \F(π,6))∈( EQ \r( ,3)，2 EQ \r( ,3)]．
于是，当α＋ EQ \F(π,6)＝ EQ \F(π,2)，即α＝ EQ \F(π,3)时，PM＋PN取得最大值2 EQ \r( ,3)．
…………… 14分
16．（1）证明：连接，交于点, 连接.
∵、分别是、的中点，
∴∥． ………3分
∵平面，平面，
∴∥平面． ………6分
（2）为的中点． ………7分
证明如下：
∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．
∵为的中点，是的中点，∴， ………9分
∴，．
又∵，
，∴． ………11分
∵是正三角形，是的中点，
∴．
∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，
∴． ………13分
∵，
∴平面．
∵平面，
∴． ………14分
17.（本小题满分14分）
18.（本小题满分16分）
解（1）由题设可知a＝2，e＝ EQ \F(c,a)＝ eq \f( eq \r(3),2)，所以c＝ EQ \r( ,3)，故b＝1．
因此，a＝2，b＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1．
设点P（m，0）（－2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
(ⅰ)若k＝1，则直线l的方程为y＝x－m．
联立直线l与椭圆C的方程，即 EQ \b\lc\{(\a\al (y＝x－m, eq \f(x2,4)＋y2＝1))．将y消去，化简得
EQ \F(5,4)x2－2mx＋m2－1＝0．解之得x1＝ EQ \F(2(2m－ EQ \r( ,1－m2)),5)， x2＝ EQ \F(2(2m＋ EQ \r( ,1－m2)),5)，
从而有，x1＋x2＝ EQ \F(8m,5)， x1· x2＝ EQ \F(4(m2－1),5)，
而y1＝x1－m，y2＝x2－m，
因此，∣AB|＝ EQ \r( ,(x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝ EQ \r( ,2(x1－x2)2)＝ EQ \r( ,2) EQ \r( ,(x1+x2)2－4 x1·x2)
＝ EQ \F(4,5) EQ \r( ,2)· EQ \r( ,5－m2)，
点O到直线l的距离d＝ EQ \F(∣m∣, EQ \r( ,2))，
所以，S△OAB＝ EQ \F(1,2)×|AB|×d＝ EQ \F(2,5) EQ \r( , 5－m2)×|m|，
因此，S2△OAB＝ EQ \F(4,25)( 5－m2)×m2≤ EQ \F(4,25)·( EQ \F(5－m2＋m2,2))2＝1．
………………… 6分
又－2≤m≤2，即m2∈[0，4]．
所以，当5－m2＝m2，即m2＝ EQ \F(5,2)， m＝± EQ \F( EQ \r( ,10),2)时，S△OAB取得最大值1．
………………… 8分
(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).
将直线l与椭圆C的方程联立，即 EQ \b\lc\{(\a\al (y=k(x－m), eq \f(x2,4)＋y2＝1))．
将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，
x1＋x2＝ EQ \F(8mk2, 1＋4k2)，x1·x2＝ EQ \F(4(k2m2－1), 1＋4k2) ．
………………… 10分
所以，
PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝ EQ \F(3,4)(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2
＝ EQ \F(m2·(－8k4－6k2＋2)＋(1＋4k2)·(8k2＋8), (1＋4k2)2) （*）. …………………14分
因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，
所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝± EQ \F(1,2)．
所以，k的值为± EQ \F(1,2). …………………16分
19.解:（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),
对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,
解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；
（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数，
∴f/ (x) ≥0或f/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.
若f/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,
即b≥-2x2 -2x = 恒成立,由此得b≥;
若f/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，
因-(2x2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.
综上所述，实数b的取值范围是.
（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3，
则h/(x) = - 3x2 +2x - ，
∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.
又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立.
故当时,有f(x) ＜x3..
∵取则有
∴,故结论成立。
20解：（1）在S eq \(\s\up 7(2),n)＝3n2an＋S eq \(\s\up 7(2),n－1)中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………2分
因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝eq \F(3n(n＋1),2)，Sn－1＝eq \F(3n(n－1),2)满足S eq \(\s\up 7(2),n)＝3n2an＋S eq \(\s\up 7(2),n－1)．
（2）由S eq \(\s\up 7(2),n)＝3n2an＋S eq \(\s\up 7(2),n－1)，得S eq \(\s\up 7(2),n)－S eq \(\s\up 7(2),n－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ …………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝eq \b\lc\{(\a\al(a，n＝1，,3n＋2a－6，n为奇数且n≥3，,3n－2a＋6，n为偶数，)) …………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得eq \F(9,4)＜a＜eq \F(15,4)．所以M＝(eq \F(9,4)，eq \F(15,4))，当a eq \(\s\up1(),∈)M时，数列{an}是递增数列． ………16分
综上所述，对任意正整数c，存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p，使得
ap＝c. ………………… 16分
考点：
平面向量数量积坐标表示的应用．
专题：
平面向量及应用．
分析：
（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，
在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，
在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．
设M（csα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣csα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），
利用向量的数量积的坐标表示可求cs∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．
解答：
解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（csα，sinα），α∈[0，2π），
则N（﹣csα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）
故=（csα﹣3，sinα+），=（﹣csα﹣3，﹣sinα+），
∴•=（csα﹣3）（﹣csα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）
||•||=×
=×
==
由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）
所以cs∠MSN=∈[，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面