2021届高考数学二轮复习专题小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)

小题专练03

三角函数、平面向量与解三角形(A)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=(    ).

A. B. C.- D.-

2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=(    ).

A. B. C. D.

3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a⊥b,则=(    ).

A. B. C.1 D.

4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点中心对称,则|φ|的最小值为(    ).

A. B. C. D.

5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a·b=(    ).

A.1 B. C. D.

6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到y=sin的图象,只需将f(x)的图象上(    ).

A.各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位长度

B.各点的横坐标变为原来的,再向右平移个单位长度

C.各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移个单位长度

D.各点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度

7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=2,ccos A+acos C=-bcos B,△ABC的面积S=,则b=(    ).

A. B. C.2 D.

8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+,且f(α)=+1,f(β)=,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是(    ).

A.ω=1,函数f(x)的最大值为1

B.ω=,函数f(x)的最大值为+1

C.ω=,函数f(x)的最大值为+1

D.ω=,函数f(x)的最大值为1

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为的有(    ).

A.sin 30°cos 30°

B.cos230°-sin230°

C.1-2cos230°

D.sin230°+cos230°

10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a,b的夹角为θ,则(    ).

A.|a|=|b| B.a⊥c

C.b∥c D.cos θ=

11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是(    ).

A.该函数为奇函数

B.该函数的最小正周期为2π

C.该函数的图象关于直线x=对称

D.该函数的单调递增区间为,k∈Z

12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列四个命题中正确的是(    ).

A.若a2+b2-c2<0,则△ABC一定是钝角三角形

B.若==,则△ABC一定是等边三角形

C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形

D.若bcos C=ccos B,则△ABC一定是等腰三角形

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k,5),若(a+2b)∥(4a-3b),则k=        .

14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β=        .

15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC的边长为6,平面内一点P满足=+,则·=        .

16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R,则f(x)的最小值为        ;单调递增区间为        .

答案解析：

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=(    ).

A. B. C.- D.-

【解析】由题意可知角α的终边过点,

故sin α==.

【答案】B

2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=(    ).

A. B. C. D.

【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos2α+sin2α====.

【答案】C

3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a⊥b,则=(    ).

A. B. C.1 D.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3,

故==.

【答案】B

4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点中心对称,则|φ|的最小值为(    ).

A. B. C. D.

【解析】由题意可得3sin=0,

故3×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,

令k=4,可得|φ|的最小值为.

【答案】C

5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a·b=(    ).

A.1 B. C. D.

【解析】由题意可得,a2+2a·b+b2=9,a2-2a·b+b2=4,

两式相减,得4a·b=9-4=5,

即a·b=.

【答案】B

6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到y=sin的图象,只需将f(x)的图象上(    ).

A.各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位长度

B.各点的横坐标变为原来的,再向右平移个单位长度

C.各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移个单位长度

D.各点的横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度

【解析】根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象,可得A=1,

T=-=,解得T=2π,

所以ω==1.

再根据五点作图法可得+φ=,则φ=,

故f(x)=sin.

则将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的,得到y=sin的图象,再向右平移个单位长度,得到y=sin的图象.

故选B.

【答案】B

7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=2,ccos A+acos C=-bcos B,△ABC的面积S=,则b=(    ).

A. B. C.2 D.

【解析】由正弦定理可得sin Ccos A+sin Acos C=-sin Bcos B,即sin(A+C)=-sin Bcos B,

所以sin B=-sin Bcos B,

又sin B≠0,所以cos B=-,则B=150°.

因为a=2,△ABC的面积S=,

所以S=acsin B=×2×c×=,

解得c=2,所以b==2.

【答案】C

8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+,且f(α)=+1,f(β)=,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是(    ).

A.ω=1,函数f(x)的最大值为1

B.ω=,函数f(x)的最大值为+1

C.ω=,函数f(x)的最大值为+1

D.ω=,函数f(x)的最大值为1

【解析】f(x)=sin2(2π-ωx)+sin ωxcos ωx+=sin2ωx+sin 2ωx+=sin 2ωx-cos 2ωx+=sin+,

由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则=4π,所以ω=,则f(x)=sin+,

故f(x)的最大值为+1.

【答案】C

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.

9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为的有(    ).

A.sin 30°cos 30°

B.cos230°-sin230°

C.1-2cos230°

D.sin230°+cos230°

【解析】A符合,sin 30°cos 30°=sin 60°=;

B符合,cos230°-sin230°=cos 60°=;

C不符合,1-2cos230°=-cos 60°=-;

D不符合,sin230°+cos230°=1.

故选AB.

【答案】AB

10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a,b的夹角为θ,则(    ).

A.|a|=|b| B.a⊥c

C.b∥c D.cos θ=

【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1),

对于A项,|a|=,|b|=,则|a|=|b|不成立,A错误;

对于B项,a=(1,2),c=(-2,1),则a·c=0,即a⊥c,B正确;

对于C项,b=(4,1),c=(-2,1),b∥c不成立,C错误;

对于D项,a=(1,2),b=(4,1),则a·b=6,|a|=,|b|=,则cos θ==,D正确.

故选BD.

【答案】BD

11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f(x)=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是(    ).

A.该函数为奇函数

B.该函数的最小正周期为2π

C.该函数的图象关于直线x=对称

D.该函数的单调递增区间为,k∈Z

【解析】当cos x≥0时,f(x)=sin x+cos x=sin,

当cos x<0时,f(x)=sin x-cos x=sin,

画出函数图象,如图所示.

根据图象知,函数不是奇函数,A错误;

f(x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f(x),故该函数的最小正周期为2π,B正确;

f(π-x)=sin(π-x)+|cos(π-x)|=sin x+|cos x|=f(x),故该函数的图象关于直线x=对称,C正确;

由图象可知,在上,函数f(x)不单调,所以f(x)的单调递增区间不为,k∈Z,D错误.

故选BC.

【答案】BC

12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列四个命题中正确的是(    ).

A.若a2+b2-c2<0,则△ABC一定是钝角三角形

B.若==,则△ABC一定是等边三角形

C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形

D.若bcos C=ccos B,则△ABC一定是等腰三角形

【解析】对于A,若a2+b2-c2<0,由余弦定理可知cos C=<0,角C为钝角,故A正确;

对于B,因为==,由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,所以△ABC一定是等边三角形,故B正确;

对于C,若acos A=bcos B,由正弦定理得sin 2A=sin 2B,所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误;

对于D,若bcos C=ccos B,由正弦定理得sin Bcos C=sin Ccos B,则sin Bcos C-sin Ccos B=0,所以sin(B-C)=0,得B=C,所以△ABC一定是等腰三角形,故D正确.

故选ABD.

【答案】ABD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k,5),若(a+2b)∥(4a-3b),则k=        .

【解析】由题意得a+2b=(3+2k,12),4a-3b=(12-3k,-7),

因为(a+2b)∥(4a-3b),

所以(3+2k)·(-7)=12·(12-3k),

解得k=.

【答案】

14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则cos β=        .

【解析】由题意得sin α==,cos(α+β)=±=±.

当cos(α+β)=时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=;

当cos(α+β)=-时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.

综上所述,cos β的值为或.

【答案】或

15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC的边长为6,平面内一点P满足=+,则·=        .

【解析】由=+,可得=+=-,=-=-,

故·=·

=·--

=×18-×36-×36

=-8.

【答案】-8

16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R,则f(x)的最小值为        ;单调递增区间为        .

【解析】由题意,f(x)=sin2 x-sin2=(1-cos 2x)-=-cos 2x+sin 2x=sin,

所以函数f(x)的最小值为-;

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

即f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

【答案】-,k∈Z