2021高考数学全国乙卷（理）真题与深度分析

这是一份2021高考数学全国乙卷（理）真题与深度分析，共33页。

2021高考数学全国乙卷（理）真题与深度解析
本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等,其中【解析】中尽可能提供多种解法供参考.本资料部分内容来源于网络
一、 试卷使用地区
2021年全国乙卷由原来的全国I卷及II卷合并而成,使用地区为安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古
二、试卷总评
2021年高考数学全国乙卷理科命题,坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,命制具有教育意义的试题,以增强考生社会责任感,引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观.试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境,深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材,引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族自豪感与自信心,增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀.如第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景,考查逻辑推理能力和运算求解能力；第9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景,考查考生综合运用知识解决问题的能力,让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出,构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系,改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和“机械刷题”现象.2021年高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.第16题考查考生的空间想象能力,有多组正确答案,有多种解题方案可供选择.全国乙卷理科命题注重理论联系实际,体现数学的应用价值,并让考生感悟到数学的应用之美.理论联系实际的试题,体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点,有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用,对选拔与育人具有积极的意义.如第17题,以芯片生产中的刻蚀速率为原型,设计了概率统计的应用问题,考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用,引导考生树立正确的人生观、价值观.总之,2021年高考数学全国全国乙卷理科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.
三、考点分布细目表
题号
命题点
模块（题目数）
1
复数的概念与运算
复数（共1题）
2
集合的交集运算
集合（共1题）
3
复合命题真假的判断
逻辑用语（共1题）
4
函数的奇偶性
函数（共3题）
5
异面直线所成的角
立体几何（共3题）
6
排列组合
概率与统计（共3题）
7
三角函数的图象与性质
三角函数与解三角形（共3题）
8
几何概型
概率与统计（共3题）
9
三角函数的应用
三角函数与解三角形（共3题）
10
函数的极值
导数（共2题）
11
椭圆
解析几何（共3题）
12
比较函数值的大小
函数（共3题）
13
双曲线的几何性质
解析几何（共3题）
14
平面向量的数量积及坐标运算
平面向量（共1题）
15
解三角形
三角函数与解三角形（共3题）
16
三视图
立体几何（共3题）
17
样本的数字特征
概率与统计（共3题）
18
几何体棱长的计算与线面角
立体几何（共3题）
19
等差数列的证明与求通项
数列（共1题）
20
导数的应用
1.函数（共3题）
2.导数（共2题）
3.不等式（共1题）
21
抛物线与面积最值
解析几何（共3题）
22
极坐标与参数方程
选修4-4
23
绝对值函数的图象及恒成立问题
选项4-5
四、试题深度解读
1. 设,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查复数的概率与运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】
解法一：设,则,则,
所以,,解得,因此,.故选C.
解法二：因为,所以,所以,
由,得,故选C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
今年复数的考查回避了往年考查的热点：复数的除法运算,重点考查复数相等、复数的共轭复数及方程思想在求值中的应用.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
2.已知集合,,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.
【答案】C
【解析】
解法一：集合S是奇数集,集合T是由部分奇数构成的集合,TS,所以,故选C.
解法二：由,可得,排除A,由由,可得,可排除B,由,可排除D,故故选C.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2.；
3..
3. 已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查全称命题、特称命题及复合命题真假的判断,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】A
【解析】由于,所以命题为真命题；由于在上为增函数,,所以,所以命题为真命题；所以为真命题,故选A．
【点评】老教材中有些知识点在新教材中被删除,有些原来是高考每年必考题,如程序框图及线性规划,受新教材的影响,这些内容的考查热点有所降低,如程序框图及线性规划在本套试卷都没有涉及,但不要认为新教材删除的内容都不考,如本题的复合命题真假的判断及16题中的三视图都是新教材删除的内容.
【知识链接】1.“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“ p”等形式命题的真假．
2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；
(3) p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．
4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是（ ）
A B. C. D.
【命题意图】本题考查函数图象的平移及函数图象的对称性.难度：容易
【答案】B
【解析】由题意可得,
对于A,不是奇函数；
对于B,是奇函数；
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数；
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选B
【点评】函数的奇偶性如单独命题一般为容易题,此类问题考查热点是判断函数的奇偶性；给出奇函数在一个区间上的解析式,求函数值或函数在另一个区间上的解析式；根据函数的奇偶性求参数取值等,如与函数的其他性质综合在一起考查,一般为中等题.
【知识链接】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇,偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
(4)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
(5)若奇函数在x＝0处有意义,则f(0)＝0.
2.常见的奇函数与偶函数
,,是奇函数,是偶函数
5.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查异面直线所成的角,考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等偏易
【答案】D
【解析】
解法一：如图所示,连接,则就是直线所成的角,易得,且,所以,故选D.
解法二：以点D为坐标原点,直线DA,DC,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则,,所以,,
设直线与所成的角为,则,所以,故选D.

【点评】客观题中求异面直线所成的角,一般用几何方法,有时也可以用空间向量.
【知识链接】
1.用几何法求两异面直线所成角的方法可概括为：平移定角,连线成形,解形求角,得钝求补.
2. 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
【命题意图】本题考查排列组合,考查数学应用及逻辑推理素养,难度：中等偏易
【答案】C
【解析】先把5名志愿者分为4组,再把4组志愿者分配到4个项目,不同的分配方案种数为共有,故选C.
【点评】本题是一道排列组合基础题,但也是一道易错题,常见的错误解法是：如先选4名志愿者各分配1个项目,再把最后1人任意分配,得到错误种数为.
【知识链接】
1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理．
2.分组、分配问题的求解策略
（1）对不同元素的分配问题
①对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A(n为均分的组数),避免重复计数．
②对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m！,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数．
③对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．
（2）对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”．
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则（ ）
A. B.
C. D.
【命题意图】本题考查三角函数图象的平移,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易
【答案】B
【解析】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到的图象,所以,
令,则,所以,所以,故选B.
解法二：由函数逆向变换,第一步：向左平移个单位长度,得到的图象,第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选B.
【点评】本题易错之处是函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,误以为得到得到的图象,
【知识链接】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减,上加下减”．
2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
8. 在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查几何概型,考查直观想象的核心素养.难度：中等偏易
【答案】B
【解析】设,如图所示,由几何概型概率计算公式可得的概率为,故选B.
【点评】求解本题的关键是把所取的两个数视作,然后把点看作点,再利用面积测度求概率.
【知识链接】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．
9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高．如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）

A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【命题意图】本题考查测量问题与数学文化,考查直观想象与数学建模的核心素.难度：中等
【答案】A
【解析】如图所示：

由平面相似可知,,而,所以
,而,
即＝．故选A.
【点评】本题涉及的是我国古代数学文化,求解过程中用到了比例关系式与方程思想,但没有涉及到高中数学知识.
【知识链接】《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元263年)所撰,本为《九章算术注》之第十卷,题为《重差》.唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式.研究的对象全是有关高与距离的测量,所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒.有人说是实用三角法的启蒙,不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念.所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据,来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远.此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中,现保存在英国剑桥大学图书馆.刘徽也曾对九章算数重编并加以注释.全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名.
10. 设,若为函数的极大值点,则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查导数的应用,考查逻辑推理及直观想象的核心素养.难度：中等
【答案】D
【解析】
解法一：因为,所以,
因为为的极大值点,所以或,即或,故选D.
解法二：若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.
有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意, 为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.
当时,由,,画出的图象如下图所示：

由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示：

由图可知,,故.综上所述,成立.故选D.
【点评】忽略对a的符号的讨论,是本题易出错误.
【知识链接】
1.求函数f(x)极值的一般解题步骤
(1)确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
2.根据函数极值情况求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
3.若在可导,则是在处取得极值的必要不充分条件.
11. 设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：中等偏难
【答案】C
【解析】
解法一：设,由,因为,,所以
,
因为,当,即时,,即,符合题意,由可得,即；当,即时,,即,化简得,,显然该不等式不成立．故选C．
解法二：设,则

=
因为,所以当时时取得最大值
,由,整理得,此时椭圆C的离心率,
当时时取得最大值,由得,此时椭圆C的离心率,又,故选C.
【点评】求解本题的关键是利用函数思想求的最大值.
【知识链接】圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
12. 设,,．则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查利用构造函数及利用函数单调性比较大小,考查逻辑推理及数学运算的核心素养素养.难度：难
【答案】B
【解析】设,则,所以在上是减函数,所以,即,所以,同理设,则,因为,所以,所以在上是增函数,所以,即,所以,故 选B.
【点评】构造函数,然后利用所构造的函数解决问题是近几年的高考热点,求解这类问题的关键是洞悉条件中不同式子的相同结构,
【知识链接】比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量；有时也可用数形结合的方法,解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.对于复杂的数与式大小的比较可通过观察式子结构构造函数,此外还可以通过作差比较大小,或利用不等式的性质及基本不等式比较大小.
13. 已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为_________．
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
【答案】4
【解析】由渐近线方程化简得,即,同时平方得,又双曲线中,故,解得（舍去）,,故焦距.
【点评】双曲线的几何性质是高考考查热点,但单独考查,一般为容易题,若与直线、圆等其他曲线结合在一起考查,常作为客观题的压轴题.
【知识链接】
1.与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
2.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线－＝1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
14. 已知向量,若,则__________．
【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算的核心素养.难度：容易
【答案】
【解析】因为,所以由可得,
,解得．
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于常规题型,难度与课本练习中的基础题相等,且学生训练比较多,所以此题属于得分题.
【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略
① 求两向量的夹角：cosθ＝,要注意θ∈[0,π]．
② 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
③ 求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝;|a±b|＝;若a＝(x,y),则|a|＝.
15. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________．
【命题意图】本题考查余弦定理及三角形面积公式,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：容易
【答案】
【解析】由题意,,所以,
所以,解得.
【点评】填空题是历年得分率最低的一类题型,得分率低的一个主要原因是填空题没有中间分,一步出错,就得零分,所以做填空题一定要力求准确,并按照要求答题,也许是为了提高填空题的得分率吧,本卷前3道填空题都比较简单,运算量也比较小.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

【命题意图】本题考查三视图,考查直观想象及逻辑推理的素养.难度：中等偏易
【答案】③④（答案不唯一）
【解析】由正视图与侧视图同高,可得侧视图为②或③,若侧视图为②,结合正视图可得该三棱锥的右侧面与底面垂直,俯视图为⑤,若侧视图为③,结合正视图可得该三棱锥的右侧有一条侧棱与底面垂直,俯视图为④
【点评】有关三视图的试题,往年大多为选择题,且多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年试题有所创新,考查三视图的识别,且与新高考中的多选题很靠近,但难度依然不大,总的来说,本试卷填空题难度比较小,对大多数考生来说,这四道题都属于得分题.
【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．
17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和．
（1）求,,,；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）．
【命题意图】本题考查平均数与方差的计算及平均数与方差的应用,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：容易
【解析】（1）,
,
,
.
（2）依题意,,,
,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【点评】本题属于基础题,主要考查考生的运算能力,运算失误是失分的主要原因.概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.
【知识链接】
1.标准差与方差
标准差：s＝.
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数)．
2.有关平均数、方差的一些结论
若数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2.
则ax1,ax2,…,axn的平均数为 ,方差为a2s2.
数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为,方差为m2s2.
3.众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
18. 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且．

（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【命题意图】本题考查几何体中基本量的计算及二面角的计算,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等
【解析】
解法一：（1）连接BD,因为底面,平面ABCD,所以
因为,且,所以平面PBD,
因为平面PBD,所以,所以,
所以；
（2）以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则、、、、,则,
,,,
设平面的法向量为,由,
取,可得,
设平面的法向量为,由,
取,可得,
,
所以,,
因此,二面角的正弦值为.
解法二：（1）平面,四边形为矩形,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

设,则、、、、,
则,,
,则,解得,故；
（2）设平面的法向量为,则,,
由,取,可得,
设平面的法向量为,,,
由,取,可得,
,
所以,,
因此,二面角的正弦值为.
【点评】本题第1问,虽然是求BC的长,实质是垂直关系的证明与应用,第2问求空间角一般用空间向量求,该问失分主要原因是运算失误.
【知识链接】利用向量法计算二面角大小的常用方法
（1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
19. 记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【命题意图】本题考查等差数列的证明及利用与的关系求通项,考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：中等
【解析】（1）解法一：
由得,且,,
取,由得,
由于为数列的前n项积,
所以,
所以,
所以,
由于
所以,即,其中
所以数列是以为首项,以为公差等差数列;
解法二：因为为数列的前n项积,所以,
由可得,去分母得,
所以,数列是公差为的等差数列.
（2）由（1）可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列,
,
,
当n=1时,,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【点评】前些年全国乙卷数列解答题一般放在第17题的位置上,试题一般比较容易,今年放在19题的位置上,难度有所加大,该题回避了常规的求和问题,运算量有所减小,但推理的成分加大.
【知识链接】
1.已知Sn,求an的步骤
（1）当n＝1时,a1＝S1；
（2）当n≥2时,an＝Sn－Sn－1；
（3）对n＝1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
2.证明一个数列为等差数列常用定义法与等差中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可．利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
20. 设函数,已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【命题意图】本题考查用导数研究函数的极值及导数在证明不等式中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难
【证明】（1）由,设,
又是函数的极值点,所以,解得；
当时,且时,时,
所以是的极大值点,满足题意,故.
（2）由（1）得,因为时,时,
所以时
所以,
设,
则,
所以时,单调递增,时,单调递减,
所以时,
所以在恒成立.
【点评】本题第2问的证明,关键是先判断,把问题转化为证明
【知识链接】用导数证明不等式问题一般要通过构造函数,利用函数单调性来证明,基本方法有：
(1)把证明转化为证明
(2)把证明 转化为证明
(3)把证明 转化为证明,
(4)把证明转化为证明
(5)改变不等式结构,重新构造函数证明不等式.
21.已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值．
【命题意图】本题考查圆与抛物线的方程、性质及三角形面积的最值,考查逻辑推理及数学运算的核心素养.难度：难
【解析】（1）抛物线的焦点为,,
所以,与圆上点的距离的最小值为,解得；
（2）
解法一：设,
由题意可得直线AB斜率存在,设其方程为,与联立得,
,即,
又
所以,
抛物线的方程为,即,所以,
所以直线的方程为,即,
同理可得直线的方程为,
由得,
即,
所以点到直线的距离为,
所以,,
因为点在上,所以,
所以,即,
因为,所以当时取得最大值,
此时满足,
所以,
即面积的最大值为.
解法二：抛物线的方程为,即,对该函数求导得,
设点、、,
直线的方程为,即,即,
同理可知,直线的方程为,
由于点为这两条直线的公共点,则,
所以,点、的坐标满足方程,
所以,直线的方程为,
联立,可得,
由韦达定理可得,,
所以,,
点到直线的距离为,
所以,,
,
由已知可得,所以,当时,的面积取最大值.
【点评】本题易错之处是忽略点P在圆上,其横坐标与纵坐标范围有限制,如解法一中根据,
得,解法二中根据,得.
【知识链接】解析几何中求与动点或动直线有关的三角形面积的最值,一般先把面积表示成某个变量的函数（可转化为关于动点横坐标或纵坐标的函数,也可转化为关于动直线斜率或截距的函数）,再利用函数性质或均值不等式求最值.
22. 在直角坐标系中,的圆心为,半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程．
【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化,圆的几何性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易
【解析】（1）由题意,的普通方程为,
所以参数方程为,（为参数）
（2）由题意,切线的斜率一定存在,设切线方程为,即,
由圆心到直线的距离等于1可得,
解得,所以切线方程为或,
将,代入化简得
或
【点评】本题主要考查方程的互化及圆切线的求法,是一道基础题,与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.
【知识链接】
1.圆的参数方程
(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)；
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形．
23. 已知函数．
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围．
【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等便易
【解析】当时,
所以或或,
解得或,
所以的解集为.
（2）依题意,即恒成立,
,
当且仅当时取等号,,
故,
所以或,
解得.
所以的取值范围是.
【点评】本题是常规题型,学生训练较多,属于得分题,第一问解含有两个绝对值的不等式一般采用零点分区间法,注意是“求不等式的解集”,结果要用集合或区间表示.
【知识链接】
1.|x－a|＋|x－b|≤c,|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．
(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间．
(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．
2.对于绝对值三角不等式定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|,要从以下两个方面深刻理解：
(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求函数的最大(小)值时．
(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|,也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证．