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北师大版 (2019)必修 第一册3 数学建模活动的主要过程课文内容ppt课件
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问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
情境引入数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程，也是推动数学发展的动力.数学建模研究过程包括选题(选择研究问题)、开题(报告研究问题的数学表达，拟解决问题的思路计划，预期结果等)、做题(包括建立模型、求解模型、得到结论等)、结题(报告研究过程和研究结果等)四个环节.问题 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的？
提示 数学建模的几个过程：(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题.(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构(尽量用简单的数学工具).(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计).(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型和实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程.
自主梳理1.课题研究的过程主要包括：选题、开题、做题、结题四个环节.2.选题的概念及相关问题(1)概念：“选题”就是选定研究的问题.(2)要选有一定的研究价值，并且是你有能力研究并解决的问题.(3)选题来源：①阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题；②研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题；③关注一些现实问题、热点问题、身边问题，用数学的眼光观察世界，发现研究新问题.
3.开题的概念及相关问题(1)开题的概念：“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.(2)开题主要做的工作：①明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；②选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；③完成开题报告.
(3)一般的开题形式是开题讨论会，重点做以下两件事：第一，提交开题报告并在会上介绍，重点讲述：研究的问题是什么，选择此问题的原因及意义，建模问题的可行性分析，预期研究成果，研究和解决问题的大体思路、方法与步骤，可能遇到的困难和对策.第二，参会人员对开题报告进行讨论，中肯地提出意见和建议，共同完善研究设计，可以写出相应的开题报告表.
4.做题的概念及相关问题(1)做题的概念：“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.(2)在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题：①建立恰当的数学模型建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时，可以用不同的数学形式，建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多，这样的模型需要完善和改进，或者完全放弃这个模型.②获取客观真实的数据当弄清楚与问题相关的影响因素之后，需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或实验.
5.结题的概念及相关问题“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲，结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后，要写出报告.报告可以写成论文形式，也可以写成研究报告表的形式.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 刚泡好的茶水放置多长时间才达到最佳口感的数学建模[选题] 观察实际情景，发现和提出问题中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？[开题] 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型.
(1)收集数据我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据.例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据.表1
(2)分析数据茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型.为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1).
图1观察散点图的分布状况,并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)，①将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得60×0.922 7x＋25＝60.
由信息技术得x≈6.699 7.所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.
[结题] 检验模型将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.
例2 关于外卖垃圾问题的分析与解决的数学建模[选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.
[开题] 从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.
一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段(代码见附件),在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区约方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条,合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果
根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：网站ele.me理论单月垃圾产生量
根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.线上外卖网站理论单月垃圾产生量
根据以上的数据我们可以清楚地看到：①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.
二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比
根据我们在网络上了解的知识：①大部分的塑料都是以填埋的方式处理；②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；
③塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比
[做题] 改变填埋场形状以降低污染1.问题分析填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保证同体积的情况下，深度一样，则底面积一样.所以我们的目的便是使在相同的底面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.
2.模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形.如图：
之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好.为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立.(1)圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.
设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r.
因此S圆形
3.我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.
2.模型假设设如下变量：商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.3.研究的大体思路、方法与步骤(1)分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素.(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.
4.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.
[做题] 1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C＝C1＋C2＋C3，生产成本与重量W成正比，设C1＝k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1即圆柱体侧面积.设此圆柱体的半径为R，高为L，S1＝2πRL，①由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故
我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，
一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设R＝k2L(k2为大于0的常数)，④
我们可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S2＝8R2＋8RL，
由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大.
k3、k4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值.其他成本C3为固定常数，与W、S无关.
2.模型解释c－W的简图如图所示：
由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.
[结题] 对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.
问题导学预习教材必备知识探究
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WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
情境引入数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程，也是推动数学发展的动力.数学建模研究过程包括选题(选择研究问题)、开题(报告研究问题的数学表达，拟解决问题的思路计划，预期结果等)、做题(包括建立模型、求解模型、得到结论等)、结题(报告研究过程和研究结果等)四个环节.问题 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的？
提示 数学建模的几个过程：(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题.(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构(尽量用简单的数学工具).(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计).(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型和实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程.
自主梳理1.课题研究的过程主要包括：选题、开题、做题、结题四个环节.2.选题的概念及相关问题(1)概念：“选题”就是选定研究的问题.(2)要选有一定的研究价值，并且是你有能力研究并解决的问题.(3)选题来源：①阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题；②研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题；③关注一些现实问题、热点问题、身边问题，用数学的眼光观察世界，发现研究新问题.
3.开题的概念及相关问题(1)开题的概念：“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.(2)开题主要做的工作：①明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；②选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；③完成开题报告.
(3)一般的开题形式是开题讨论会，重点做以下两件事：第一，提交开题报告并在会上介绍，重点讲述：研究的问题是什么，选择此问题的原因及意义，建模问题的可行性分析，预期研究成果，研究和解决问题的大体思路、方法与步骤，可能遇到的困难和对策.第二，参会人员对开题报告进行讨论，中肯地提出意见和建议，共同完善研究设计，可以写出相应的开题报告表.
4.做题的概念及相关问题(1)做题的概念：“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.(2)在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题：①建立恰当的数学模型建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时，可以用不同的数学形式，建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多，这样的模型需要完善和改进，或者完全放弃这个模型.②获取客观真实的数据当弄清楚与问题相关的影响因素之后，需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或实验.
5.结题的概念及相关问题“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲，结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后，要写出报告.报告可以写成论文形式，也可以写成研究报告表的形式.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 刚泡好的茶水放置多长时间才达到最佳口感的数学建模[选题] 观察实际情景，发现和提出问题中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？[开题] 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型.
(1)收集数据我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据.例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据.表1
(2)分析数据茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型.为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型.设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1).
图1观察散点图的分布状况,并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,可选择函数y＝kax＋25(k∈R,0
我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y＝60×0.922 7x＋25(x≥0)，①将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得60×0.922 7x＋25＝60.
由信息技术得x≈6.699 7.所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.
[结题] 检验模型将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.
例2 关于外卖垃圾问题的分析与解决的数学建模[选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.
[开题] 从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.
一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段(代码见附件),在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区约方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条,合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果
根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：网站ele.me理论单月垃圾产生量
根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.线上外卖网站理论单月垃圾产生量
根据以上的数据我们可以清楚地看到：①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.
二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比
根据我们在网络上了解的知识：①大部分的塑料都是以填埋的方式处理；②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；
③塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比
[做题] 改变填埋场形状以降低污染1.问题分析填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保证同体积的情况下，深度一样，则底面积一样.所以我们的目的便是使在相同的底面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.
2.模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形.如图：
之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好.为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立.(1)圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.
设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r.
因此S圆形
3.我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.
2.模型假设设如下变量：商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.3.研究的大体思路、方法与步骤(1)分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素.(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.
4.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.
[做题] 1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C＝C1＋C2＋C3，生产成本与重量W成正比，设C1＝k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1即圆柱体侧面积.设此圆柱体的半径为R，高为L，S1＝2πRL，①由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故
我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，
一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设R＝k2L(k2为大于0的常数)，④
我们可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S2＝8R2＋8RL，
由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大.
k3、k4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值.其他成本C3为固定常数，与W、S无关.
2.模型解释c－W的简图如图所示：
由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.
[结题] 对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.
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