高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题54 利用展开图求空间距离最值 （新高考地区专用）

这是一份高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题54 利用展开图求空间距离最值 （新高考地区专用），共6页。试卷主要包含了明确模拟练习的目的，查漏补缺，以“错”纠错，严格有规律地进行限时训练，保证常规题型的坚持训练，注重题后反思总结等内容，欢迎下载使用。

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题54 利用展开图求空间距离最值
【方法点拨】
遇到求空间两点间距离的最小值或空间两条线段和的最小值问题，利用降维的思想，应考虑将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小问题.
【典型题示例】
例1 （2021·江苏金陵中学期末·16）如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为2 eq \r(,2)，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是 .
P
C
A
B
E
D
M
N
【答案】eq \r(3)＋1
【分析】由于M、N都是动点，A是定点，可将△PAD沿PD折起，使其所在平面与平面PCE垂直，则求AM＋MN最小值问题即转化为求点A到平面PCE距离的问题.也可将过PD且垂直于平面PCE的△POD折至与面PDA共面，则求AM＋MN最小值问题即转化为点A到直线PO'距离的问题（即解析所给解法）.
【解析】CB中点F,连接DF交CE于点O,
易证得DO⊥面PCE，要求AM＋MN最小，即求MN最小，
可得MN⊥PCE，又可证明MN//DF，再把平面POD绕PD旋转，与面PDA共面，如下图
又可证得∠POD＝90°．
∵PD＝ eq \f(1,2)AC，DO＝ eq \f(1,2)DF＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,4)AB＝1，
∴sin∠OPD＝ eq \f(OD,PD)＝ eq \f(1,2)，即∠OPD＝30°，
∴∠APN'＝45°＋30°＝75°，可得sin75°＝ eq \f(\r(,6)＋\r(,2),4)，
(AM＋MN)min＝AN'＝PA·sin75°＝eq \r(3)＋1．
例2 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，则这条绳长的最小值为 cm．
【答案】50
【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，
如图1，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得eq \f(OA,OA＋AB)＝eq \f(5,10)，可求得OA＝20 cm.
如图2，设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，
扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.
所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的eq \f(1,4).
所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，
所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到E，则整个线路的最小值为 .
【答案】
E
【解析】如图，将正方体六个面展开，从图中E到E，
E
两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为.
【巩固训练】
1.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为______ cm.
2.三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M和N分别是棱SB和SC上的点，则△AMN周长的最小值为 ．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
3. 如下图所示，在单位正方体的面对角线A1B上存在一点P使得最短，则的最小值为 .
4.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），过圆柱上下底面中心的平面截圆柱侧面得边长为2的正方形ABCD，P是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程为 ．
5.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝eq \r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，则沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为 ．
【答案与提示】
1.【答案】13
【提示】将侧面二次展开，得到长、宽各为12cm、5 cm的矩形，其对角线即为所求．
2.【答案】
【解析】如下图，将三棱锥S－ABC的侧面沿SA展开，显然，共线时最短.
S
M
C
B
A
A
N
3. 【答案】
【解析】右下图左，将△ABA1沿A1B折起，使之与平面A1D1CB共面，当A、P、D1共线时，AP+D1P取得最小值，在△AA1D1利用余弦定理易得.
A1
P
A
B
C
D1
4.【答案】
【提示】如上图右，AB=，P、Q关于直线CD对称，PQ＝，由勾股定理立得
5.【答案】eq \f(3\r(2),2)
【解析】若将△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF＝ eq \r(\f(7,2)＋\r(2)).若将侧面沿B1B展成平面，则此时EF＝ eq \r(\f(11,2)).若将△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF＝eq \f(3\r(2),2).经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为eq \f(3\r(2),2).