2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知终边经过点，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知向量，若，则实数　　

A．2 B． C．或4 D．4

4．（5分）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是　　

A．众数为7和9 B．方差为 

C．平均数为7 D．第70百分位数为8

5．（5分）如图，在等腰直角，，，点，是边上两个三等分点，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，则下列正确的是　　

A． B． C． D．

7．（5分）如图，在中，，点在线段上，，则的最小值为　　

A． B． C． D．2

8．（5分）若的内角，，的对边分别为，，，的面积，，角平分线交边于点，则的长为　　

A．2 B．4 C． D．

二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A．复数的虚部为 

B． 

C．复数的共轭复数为 

D．若复数满足，则的最大值为2

10．（5分）第24届北京冬奥会于2022年2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在，内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是　　

A．频率直方图中第三组的频数为10 

B．根据频率直方图估计样本的众数为75分 

C．根据频率直方图估计样本的中位数为78分 

D．根据频率直方图估计样本的平均数为73.5分

11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．关于点中心对称 

C．的最大值为2 

D．在，有三个零点

12．（5分）在中，内角，，所对应边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若点为的重心，则 

C．若，的三角形有两解，则的取值范围为， 

D．若点为内一点，且，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”的满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为 　　．

14．（5分）在中，，，，则　　．

15．（5分）图1是1992年第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图，其中，则　　，　　．

16．（5分）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数，且为纯虚数是的共轭复数）．

（1）设复数，求；

（2）若实数，满足，求实数，的值．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．

在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

20．（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

21．（12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．

（1）当时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

22．（12分）已知函数．

（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）用表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．

2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

则复数在复平面内对应的点，位于第一象限．

故选：．

2．（5分）已知终边经过点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：终边经过点，，

则，

故选：．

3．（5分）已知向量，若，则实数　　

A．2 B． C．或4 D．4

【解答】解：向量，，

，

则或，

故选：．

4．（5分）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是　　

A．众数为7和9 B．方差为 

C．平均数为7 D．第70百分位数为8

【解答】解：结合数据得众数为7和9，故正确，

平均数是，故正确，

，故正确，

10次射击成绩从小到大排列分别是：

4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，

，

第70百分位数为，故错误，

故选：．

5．（5分）如图，在等腰直角，，，点，是边上两个三等分点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，则，

，，

．

故选：．

6．（5分）已知，则下列正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

，

．

故选：．

7．（5分）如图，在中，，点在线段上，，则的最小值为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：，

，

则，

，

，

点在线段上，

，，且，

则

，

当且仅当，时，等号成立，

故选：．

8．（5分）若的内角，，的对边分别为，，，的面积，，角平分线交边于点，则的长为　　

A．2 B．4 C． D．

【解答】解：因为的面积，

因为，则，所以，

在中，因为，所以，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以，

则，

所以，，

故选：．

二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A．复数的虚部为 

B． 

C．复数的共轭复数为 

D．若复数满足，则的最大值为2

【解答】解：对于，，

复数的虚部为，故错误，

对于，，故正确，

对于，复数的共轭复数为，故正确，

对于，设，，，

则，

，即所在点以，为圆心，1为半径的圆，

的最大值为，故正确．

故选：．

10．（5分）第24届北京冬奥会于2022年2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在，内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是　　

A．频率直方图中第三组的频数为10 

B．根据频率直方图估计样本的众数为75分 

C．根据频率直方图估计样本的中位数为78分 

D．根据频率直方图估计样本的平均数为73.5分

【解答】解：由题意得，

频率直方图中第三组的频数为，

故选项错误；

根据频率直方图估计样本的众数为75分，

故选项正确；

，

，

估计样本的中位数为分，

故选项错误；

根据频率直方图估计样本的平均数为

分，

故选项正确；

故选：．

11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为 

B．关于点中心对称 

C．的最大值为2 

D．在，有三个零点

【解答】解：，

对于，的最小正周期为，故正确；

对于，，故正确；

对于，由题意可得，故错误；

对于，令，可得，，解得，，

当时，可得，当时，可得，

所以在，有两个零点，故错误．

故选：．

12．（5分）在中，内角，，所对应边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若点为的重心，则 

C．若，的三角形有两解，则的取值范围为， 

D．若点为内一点，且，则

【解答】解：选项，函数在上单调递减，因为，所以，即选项正确；

若点为的重心，则，故正确；

在中，，，

由正弦定理得：，

，，

要使三角形有两解，得到，且，即，

，解得：，故错误；

如图，取中点，连接，则：

；

；，，三点共线；；

；

．故错误．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”的满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为 　32　．

【解答】解：从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，

其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，

则高三年级抽取人数为：人．

故答案为：32．

14．（5分）在中，，，，则　　．

【解答】解：因为在中，，，，

所以由余弦定理可得，可得，整理可得，

解得或（舍去），

则．

故答案为：．

15．（5分）图1是1992年第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图，其中，则　　，　　．

【解答】解：根据题意，，且，

则，

所以，同理，所以．

故答案为：；．

16．（5分）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 　，，　．

【解答】解：①当时，，则在上无零点；

当时，令，解得：，；

最多有1个零点，不合题意；

②当时，当时，由得：；

由得：或；

当时，，，则需，解得：；

当时，，，满足题意；

当时，，，则需，解得：；

综上所述：实数的取值范围为：，，．

故答案为：，，．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数，且为纯虚数是的共轭复数）．

（1）设复数，求；

（2）若实数，满足，求实数，的值．

【解答】解：（1），

，

为纯虚数，

，解得．

（2），

，即，解得，．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为，

所以，，可得，

所以，

解得；

（2）．

19．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．

在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：（1）选择①，

由正弦定理得：，

则．即，

．

又，．

，．

选择②，由三角形面积公式可得，得．

又因为，故．

选择③因为，

由正弦定理可得：，

因为，所以，所以，

所以，．

因为，，

所以可得：，所以．

（2）由正弦定理知：，

所以，．

所以．

因为，故，所以，所以，

故的取值范围为．

20．（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）由图知：，

所以，

所以，

又，，，

所以．

（2）由（1）知：，

令且，则，

所以

．

则．

21．（12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．

（1）当时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

【解答】解：（1）在中，因为，，，所以，

在中，，，，

由余弦定理，得，（2分）

所以，即，所以，

所以为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为．（4分）

（2）设，

因为的面积是堆假山用地的面积的倍，

所以，即，（6分）

在中，由，得，（8分）

从而，即，

由，

得，所以，即．（10分）

（3）设，由（2）知，

又在中，由，得，（12分）

所以，（14分）

所以当且仅当，即时，的面积取最小值为．（16分）

22．（12分）已知函数．

（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）用表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．

【解答】解：（1）因为开口向上，对称轴为，且，

所以在上有两个不同的零点，

则，可得，

所以的取值范围为：，；

（2）由对数函数性质知：定义域上递减且值域为，（1），

而开口向上，对称轴为，且，

当时，对称轴为，则在上递增且（1），

所以存在，有时，，时，

则，

而在上，在，上（1），

此时，只有1个零点；

当时，且△，（1），

所以存在，，有时，，时，

则，

而在上，在，上（1），

此时，只有1个零点；

当时，且，（1），

所以存在，，有时，，时，

则，

而在上，在，上（1），

此时，有两个零点；

当时，且△，（1），

所以存在，，有时，，时，

则，

由（1）知：在上有2个零点，在，上（1），

此时，有3个零点；

当时，，在上有两个零点，1，

则，

在上，在，上（1），

此时，有2个零点；

当时，且△，（1），

所以存在，有时，，时，

则，

在上有1个零点，在，上，

此时，有1个零点；

综上，或时有1个零点；或时有2个零点；时有3个零点．

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