专题10 几何图形初步中动角问题真题分类-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

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题型一：单动角问题
1．（雅礼）已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°．
（1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝98°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOD＝98°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣98°＝22°，
∵∠COD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝60°+22°＝82°；
∠AOD与∠BOC互补，理由：∵∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOB+∠COD＝∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOD与∠BOC互补；
（3）设∠BOC＝n°，则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，
∵∠AOE＝∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝40°+n°．∵∠DOF＝∠BOD，
∴∠DOF＝（60+n）＝20°+n°，∴∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝40°﹣n°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°+n°+40°﹣n°＝80°．
2．（长郡）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．
（1）如图1，当OA，OC重合时，∠EOF＝ 度；
（2）若将∠COD从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，满足0°＜α＜90°且α≠40°．
①如图2，用等式表示∠BOF与∠COE之间的数量关系，并说明理由；
②在∠COD旋转过程中，请用等式表示∠BOE与∠COF之间的数量关系，并直接写出答案．
【解答】解：（1）∵OA，OC重合，∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOD＝×40°＝20°，∠DOF＝∠BOD＝×140°＝70°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；
（2）①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝（40°+α）＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝（∠AOB+∠COD+α）＝（100°+40°+α）＝70°+α，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+α﹣α＝20°﹣α，
∴∠BOF+∠COE＝70°+α+20°﹣α＝90°；
②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，当∠AOC＜40°时，如图2所示：∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+α﹣40°＝30°+α，
∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝2（70°+α）﹣（20°+α）＝120°+α，
∴∠BOE﹣∠COF＝120°+α﹣（30°+α）＝90°，
当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示：
∠COF＝∠DOF+∠DOC＝（360°﹣140°﹣α）+40°＝150°﹣α，
∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣（20°+α）＝120°+α，
∴∠COF+∠BOE＝150°﹣α+（120°+α）＝270°；
综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE﹣∠COF＝90°或∠COF+∠BOE＝270°．

3．（明德）如图①，已知线段MN＝24cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
（1）若AM＝8cm，AB＝2cm，求CD的长度；
（2）若AB＝2acm，线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（3）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．当∠AOB转动时，∠COD是否发生变化？∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵MN＝24cm，AB＝2cm，AM＝8cm，∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝14（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM＝4cm，BD＝BN＝7cm．∴AC+BD＝11（cm）．
∴CD＝AC+AB+BD＝11+2＝13（cm）．即CD的长为14cm．
②不变，理由如下：∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM，BD＝BN，
∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）．又∵MN＝24cm，AB＝2acm，∴AM+BN＝MN﹣AB＝24﹣2a（cm）．
∴AC+BD＝（AM+BN）＝12﹣a（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝12﹣a+2a＝12+a（cm）．
（2）∠COD＝（∠MON+AOB）．理由如下：∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON．∴∠AOC+∠BOD＝∠AOM+∠BON＝（∠AOM+∠BON）．
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝（∠AOM+∠BON）+∠AOB＝（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB
＝（∠MON+AOB）．
4．（师大）若A、O、B三点共线，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．
（1）如图1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE＝ ；
（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC的 ；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°，故答案为40°；
（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠COE+DOC＝∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，
∴∠DOC＝∠DOB，∴DO平分∠BOC，∴DO是∠BOC的角平分线，故答案为：角平分线；
（3）∵∠COD＝∠AOE，∠COD+∠DOE+∠AOE＝130°，∴5∠COD＝40°，∴∠COD＝8°，
∴∠BOD＝58°；
当OE与射线OC的反向延长线重合时，5t+40＝180，∴t＝28，当OE与射线OC重合时，
5t＝360﹣40，∴t＝64，综上所述：t的值为28或64．
5．（雅礼）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使。将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分。问：此时直线是否平分？请说明理由.
（2）将图1中的三角板绕点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则直接写出的值______.
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，求的度数是否为定值，若是，求出其度数；若不是，说明理由.
【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°∴∠MOB+∠NOB＝90°，
∠MOC+∠COD＝90°，∵∠MOB＝∠MOC，∴∠NOB＝∠COD，∵∠NOB＝∠AOD，∴∠COD＝∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；
（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，6t＝65°
解得t＝（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，由题意得，6t＝245°，解得t＝（s），综上所述，t＝s或s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝40°，理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON）＝40°．
6.（一中）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 10 °；
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内半角，，∠AOB＝70°，∴∠COD＝∠AOB＝35°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣25°﹣35°＝10°，故答案为：10°；
（2）由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠COB，即α+60°＝2（60°﹣α），解得：α＝20°，∴α的值为20°；
（3）①如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣3t°，
∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠COB，即3t°+30°＝2（30°﹣3t°），解得：t＝；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角，
由旋转性质可得：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝3t°﹣30°，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠BOC，即3t°+30°＝2（3t°﹣30°），解得：t＝30；
③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝330°﹣3t°，
∵∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（330°﹣3t°），解得：t＝90；
④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝3t°﹣330°，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（3t°﹣330°），解得：t＝；
综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为或30或90或．
题型二：双动角问题
7.（雅礼）一副三角尺(分别含，，和，，)按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为.
(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_______度；
(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转.
①当为何值时，边平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.
【解答】解：（1）；（2）①t＝8.75秒；②t＝8.75秒或秒.
8．（北雅）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．
（1）如图①：如果t＝4秒，求∠EOA的度数；
（2）如图①：若射线OC旋转时间为t（t≤7）秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；
（3）若射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以60°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤3），∠COE＝∠BOE．请你借助图②与备用图进行分析后，
（Ⅰ）求此时t的值；
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（1）如图①，根据题意，得∠DOC＝4×20°＝80°，∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，∵射线OE平分∠AOC，∴AOE＝∠AOC＝60°，答：∠EOA的度数为60°．
（2）根据题意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°，∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，
∴∠AOE＝（40+20t）＝（20+10t）°，∠AOF＝20°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，
答：∠EOF的度数为（10t）°．
（3）（Ⅰ）如图②当射线OB在∠AOF内部时，∠COE＝∠AOC＝（20t+40）°＝（10t+20）°，
∠BOE＝＝∠AOE﹣∠AOB＝（10t+20﹣20）°＝（10t）°，根据题意10t+20＝10t，此方程无解；
如备用图当射线OB在∠AOF外部时，
∠COE＝∠AOC＝（20t+40）°＝（10t+20）°，∠BOE＝（50t﹣20）°，根据题意10t+20＝（50t﹣20），解得t＝2；
（Ⅱ）当t＝2s时∠EOF＝20°，∠BOC＝40°，所以．
声明：试
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9．（雅礼）如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的少10°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）
【解答】解：（1）根据题意可知，90°﹣∠BOC＝（180°﹣∠BOC）﹣10°，解得∠BOC＝20°；
（2）设旋转时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP＝4°t，当OP到达OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；
当OP到达OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；
∴当∠POC＝10°时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．
（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝70°，∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，
设相遇时，旋转的时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，∠BOD＝4°t+x°t＝90°，
∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，∵，∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，
即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，
∴4°×10+10•x°＝90°，解得x＝5．
10．（长郡）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝ ；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α﹣β|＝45°，请用t的式子表示α、β并直接写出t的值．
【解答】（1）∵CF平分∠ACE，∴∠AOF＝∠AOE＝45°，故答案为：45°；
（2）①∵t＝1，∴∠ACD＝30t＝30°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACE＝120°，∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝60°，∵∠DCF＝α，∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，故答案为：30°；
②∠BCE＝2α，证明：∠BCE＝180°﹣（90°+30t）＝90°﹣30t，由平分知：90°﹣α＝α+30t
30t＝90°﹣2α，∴∠BCE＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α；
（3）α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，∵|α﹣β|＝45°，∴|30t|＝45°，∴t＝±，
∵0＜t＜3，∴t＝．
11.（师大）如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒(，本题出现的角均不大于平角)
(1)图中一定有________个直角；当时，的度数为________；
(2)①若等于平角时，求此时的值；
②若平分，平分，当为直角时，请求出的值；
(3)当射线在内部时，是不是一个定值？若是，请求出这个定值.
【解答】解：（1）如图所示，

∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，
故答案为：4；114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠DON＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴，．∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，（15t﹣90）+×12t＝90，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t值为10．
（3）当∠MON＝180°时∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°解得，当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，
①如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝＝．（不是定值）
②如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴，＝＝．（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为，这个定值是3．
12.（广益）如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转.
(1)①如图1，________度.
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板不动，三角板从图示位置开始每秒开始逆时针旋转一周(旋转)，问旋转时间为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”.
(2)如图3，若三角板的边从外开始绕点逆时针旋转，转速秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速秒，在两个三角板旋转过程中，(转到与重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为秒，以下两个结论：①为定值；②为定值，请选择你认为对的结论加以证明.

【解答】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；
②如图1﹣1，BD∥PC，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，PC∥BD，∵PC∥BC，∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为21秒，如图1﹣3，PA∥BD，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为90°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为9秒，如图1﹣4，PA∥BD，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，AC∥DP，点A在MN上方时，
∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为60°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为6秒，
当A'在MN的下方时，同理可求旋转时间为24秒，
如图1﹣6，AC∥BD，
∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴点A在MN上，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为18秒，
综上所述：当t为3或6或9或18或21或24或27时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴＝＝
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．