【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题08 二项式定理（八大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：二项式定理的正用、逆用
考点二：二项展开式的通项的应用
考点三：求两个多项式积的特定项
考点四：余数和整除的问题
考点五：近似计算
考点六：二项展开式的系数和问题
考点七：二项式系数性质的应用
考点八：三项式及多项式展开问题
知识点一：二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
2、二项式的展开式的特点：
（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
知识点二、二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
（2）字母的次数和组合数的上标相同；
知识点三：二顶式系数及其性质
1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
知识点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
2、展开式中的系数求法的整数且
知识点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
二项式定理的应用
1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
2、利用赋值法进行求有关系数和．
3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
4、证明有关的不等式问题：
5、进行近似计算：
考点剖析
考点一：二项式定理的正用、逆用
例1．（2024·高二课时练习）求的二项展开式．
例2．（2024·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
例3．（2024·高二课时练习）利用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2).
变式1．（2024·高二课时练习）求的展开式.
考点二：二项展开式的通项的应用
例4．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；
②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.
从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，
已知，___________.
(1)求展开式中第四项；
(2)求展开式中所有的有理项.
例5．（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ．
例6．（2024·云南保山·高二统考期末）二项式的展开式中，含项的系数为 .
变式2．（2024·陕西汉中·高二校联考期末）展开式中的常数项是 .（用数字作答）
考点三：求两个多项式积的特定项
例7．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
例8．（2024·江苏宿迁·高二统考期中）的展开式中的系数是 ．（用数字填写答案）
例9．（2024·四川眉山·高二校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
变式3．（2024·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 ．
考点四：余数和整除的问题
例10．（2024·河南郑州·高二校联考期中）除以所得的余数是 .
例11．（2024·山西吕梁·高二统考阶段练习）被4除的余数为 .
例12．（2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）若，则除以7的余数是 .
变式4．（2024·山西·高二统考期中）除以所得的余数为 .
考点五：近似计算
例13．（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是 ．
例14．（2024·高二课时练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
例15．（2024·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）的近似值（精确到）为 ．
变式5．（2024·全国·高二专题练习）1.028的近似值是 .(精确到小数点后三位)
考点六：二项展开式的系数和问题
例16．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有偶数项系数之和；
(4)系数绝对值之和.
例17．（2024·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
例18．（2024·高二课时练习）（1）若，求的值；
（2）已知（，n为正整数），求的值．
变式6．（2024·高二课时练习）已知，计算：
(1)；
(2)；
(3)．
考点七：二项式系数性质的应用
例19．（2024·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
例20．（2024·山东泰安·高二宁阳县第四中学校考阶段练习）在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于 .
例21．（2024·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
变式7．（2024·山东青岛·高二统考期末）在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为 （用数字填写答案）；
考点八：三项式及多项式展开问题
例22．（2024·江西·高二统考阶段练习）若，且，则的值为 .
例23．（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）展开式中含项的系数为 ．
例24．（2024·福建泉州·高二校联考期中）中常数项是 ．（写出数字）
变式8．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）的展开式中，的系数为 ．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江西·高二统考阶段练习）二项式的展开式中的系数为（ ）
A．128B．56C．D．
2．（2024·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．21C．189D．
3．（2024·全国·高二随堂练习）设的小数部分为x，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024·辽宁本溪·高二校考期末）的展开式中的系数为（ ）
A．B．7C．77D．
5．（2024·全国·高二随堂练习）的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ）
A．B．46C．61D．190
6．（2024·全国·高二随堂练习）若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ）
A．8B．28C．56D．70
7．（2024·山东·高二校联考阶段练习）被8除的余数为（ ）
A．1B．3C．5D．7
8．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）若的展开式中的第项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）在的展开式中，则（ ）
A．所有项的系数和为0B．二项式系数最大的项为第3项和第4项
C．所有项的二项式系数和为64D．常数项为
10．（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在的展开式中，则（ ）
A．二项式系数最大的项为第3项和第4项
B．所有项的系数和为0
C．常数项为
D．所有项的二项式系数和为64
11．（2024·福建福州·高二校联考期中）若均为常数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·辽宁本溪·高二校考期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·江西宜春·高二江西省万载中学校考阶段练习）设，若.则 .
14．（2024·全国·高二随堂练习）若，则 ．
15．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）的展开式中有理项的个数为 .
16．（2024·山东日照·高二日照一中校考阶段练习）若的展开式中的系数为，则实数 ．
四、解答题
17．（2024·辽宁大连·高二育明高中校考期中）若.求：
(1)；
(2).
18．（2024·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
19．（2024·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是．
(1)求二项展开式中各项二项式系数和；
(2)求二项展开式中系数最大的项．
20．（2024·高二课时练习）已知，求的值．
21．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项；
22．（2024·江西·高二统考阶段练习）已知函数（）.
(1)当时，用二项式定理证明能被50整除；
(2)设，，求的值.