2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={x|−3A. (0,2)B. (−3,0)∪(2,3)C. (−2,0)D. (−3,0]∪[2,3)
2.已知p：(x+2)(x−3)<0，q：|x−1|<2，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知a=lg25，b=20.3，c=0.20.3，则( )
A. a4.曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是( )
A. y=xln|x|
B. y=x2ln|x|
C. y=(x+1x)ln|x|
D. y=(x−1x)ln|x|
5.若a>−b，则下列不等式不恒成立的是( )
A. a+b>0B. |a|+b>0C. 1a+1b>0D. a3+b3>0
6.下面关于函数f(x)=x2+3x+4的说法正确的是( )
A. f(x)>0恒成立B. f(x)最大值是5C. f(x)与y轴无交点D. f(x)没有最小值
7.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(−x)，若f(−13)=13，则f(73)=( )
A. −13B. 13C. −53D. 53
8.已知a>b>0，则a2+b2ab−b2的最小值是( )
A. 2+ 3B. 2+ 5C. 2D. 2+2 2
9.已知函数f(x)=ex−ax,x≥0−x2−(a+2)x+1,x<0(e为自然对数的底数，a∈R)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B. (1,+∞)C. (e2,+∞)D. (e,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若集合M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N，则集合P的子集个数为______.
11.已知112.函数f(x)=lg12(x2−2x−8)的单调递增区间为______.
13.已知函数f(x)=3x+a3x+1(a>0)的最小值为5，则a=______.
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数满足f(a)>f(− 2)，则实数a的取值范围是______.
15.已知函数f(x)=x2+4x+2(x<0)2|x−1|(x≥0)，则f(x)的最小值是______，若关于 x的方程f(x)=x+a有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知2a=5，lg83=b.
(Ⅰ)求4a−3b的值；
(Ⅱ)若m>0，n>0，且m+n=(lg53)ab，求1m+2n的最小值.
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2(a−1)x+2a+6.
(Ⅰ)若函数f(x)在[4,+∞)单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)若不等式f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)若方程f(x)=0有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
设函数f(x)=aex(x+1)(其中e是自然对数的底数)，g(x)=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.
(Ⅰ)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+1](t>−3)上的最小值；
(Ⅲ)若对∀x≥−2，kf(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：全集U={x|−3由补集定义可知：CUA={x|−3故选：D.
利用补集的定义可得正确的选项．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为p：(x+2)(x−3)<0⇒−2q：|x−1|<2⇒−1所以q⇒p，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件．
故选：B.
分别求出命题p，q，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为y=lg2x在定义域内单调递增，则lg24因为y=2x在定义域内单调递增，则20<20.3<21，所以1因为y=0.2x在定义域内单调递减，则0.20.3<0.20，所以c<1，
综上所述：c故选：C.
根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断．
本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由函数f(x)=x2ln|x|，其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
可得f(−x)=(−x)2ln|−x|=x2ln|x|=f(x)，
所以函数y=x2ln|x|为偶函数，所以排除B；
由函数g(x)=(x+1x)ln|x|，可得g(1e)=−(e+1e)<−1，故排除C；
由函数h(x)=(x−1x)ln|x|，当x∈(0,1)时，可得x−1x<0且ln|x|<0，则h(x)>0，
故排除D.
由函数φ(x)=xln|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
且φ(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−φ(x)，所以φ(x)为奇函数，图象关于原点对称，
由x>0时，φ(x)=xlnx，可得φ′(x)=lnx+1，
当x∈(0,1e)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；
当x∈(1e,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，且φ(1)=0，所以A项符合题意．
故选：A.
根据y=x2ln|x|是偶函数，排除B项；由g(1e)<−1，排除C项，由当x∈(0,1)时，函数y=(x−1x)ln|x|>0，可排除D，由函数φ(x)=xln|x|为奇函数，且当x>0时，利用导数求得函数的单调性，结合φ(1)=0，得到A符合题意，即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性和单调性，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，由a>−b得a+b>0恒成立；
对于B，由|a|≥a>−b可知|a|+b>0恒成立；
对于C，由于1a+1b=a+bab，故当ab<0时，1a+1b>0不成立，所以C不恒成立；
对于D，由a>−b得a3>−b3，所以a3+b3>0恒成立．
故选：C.
根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．
本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=x2+3x+4=(x+32)2+74≥74，
∴f(x)>0恒成立，且最小值为74，无最大值，
当x=0时，y=4，即与y轴有交点，
故选：A.
直接根据二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∵f(1+x)=f(−x)，
∴f(2+x)=f[−(1+x)]=−f(1+x)=−f(−x)=f(x)，
∴f(x)是周期为2的周期函数，
∴f(73)=f(13)=−f(−13)=−13.
故选：A.
由f(1+x)=f(−x)结合函数的奇偶性可得，f(x)是周期为2的周期函数，再利用周期性和奇偶性即可求出结果．
本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为a>b>0，所以a−b>0，
则a2+b2ab−b2=a2+b2b(a−b)
=a+bb+2ba−b
=2+a−bb+2ba−b
≥2+2 a−bb×2ba−b
=2+2 2，当且仅当a=( 2+1)b时取等号．
故选：D.
根据式子结构，进行拆分，配凑，再用基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属基础题．
9.【答案】D
【解析】解：当x<0时，f(x)=−x2−(a+2)x+1，
所以Δ=(a+2)2+4>0，且f(0)=1>0，
所以二次函数开口向下且在(−∞,0)内抛物线与x轴只有一个交点，
所以f(x)在(−∞,0)内只有一个零点，
当x=0时，f(0)=1，
所以x=0不是f(x)的零点，
由已知得当x≥0时，f(x)有两个零点，
由f(x)=0，得a=exx，
令h(x)=exx，即h(x)=a，
由题意可得函数y=h(x)与y=a有两个交点，
又因为h′(x)=(x−1)exx2，
所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(1)=e，
又因为函数y=h(x)与y=a有两个交点，
所以a>e，
所以a的取值范围为(e,+∞).
故选：D.
先分析x<0时二次函数零点的情况，而x≥0时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可．
本题考查了二次函数的性质、指数函数的性质、导数的综合运用及转化思想，属于中档题．
10.【答案】4
【解析】解：∵集合M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N，
∴P={1,3}，
∴集合P的子集个数为：22=4.
故答案为：4.
先求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．
本题考查交集的子集的个数的求法，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】(14,32)
【解析】解：∵2又1则ab的取值范围是(14,32).
故答案为：(14,32).
将ab看作a×1b，利用不等式的性质可直接求解．
本题考查不等式的性质，属基础题．
12.【答案】(−∞,−2)
【解析】解：函数f(x)=lg12(x2−2x−8)的单调递增区间，即函数y=x2−2x−8=(x−4)(x+2)在y>0的条件下，y的减区间．
由二次函数的性质可得，在y>0的条件下，y的减区间为(−∞,−2)，
故答案为：(−∞,−2).
本题即即求函数y=x2−2x−8在y>0的条件下，y的减区间，由二次函数的性质可得结论．
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】解：f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x+1−1≥2 a−1=5，
所以a=9，经检验，3x=2时等号成立．
故答案为：9.
利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成f(x)=3x+1+a3x+1−1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．
14.【答案】(− 2, 2)
【解析】解：因f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，且f(− 2)=f( 2)，
由f(a)>f(− 2)，f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，故− 2由f(a)>f(− 2)=f( 2)，f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，故0≤a< 2，
综上，− 2故答案为：(− 2, 2).
利用函数的单调性和偶函数在对称区间单调性相反可得．
本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，比较基础．
15.【答案】−2{0,1}
【解析】解：当x<0时，f(x)=x2+4x+2=(x+2)2−2，由二次函数的性质可知，当x=−2时，f(x)取得最小值为−2；
当x≥0时，f(x)=2|x−1|≥20=1；
所以函数f(x)的最小值是−2；
作出函数f(x)的图象如下图所示，
由图可知，当a≤−1时，函数f(x)与函数y=x+a的图象无交点，
当a=0或a=1时，函数f(x)与函数y=x+a的图象有4个交点，
当a=2时，函数f(x)与函数y=x+a的图象有3个交点，当a>2时，函数f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点，
则符合题意的整数a为0或1，
故答案为：−2；{0,1}.
当x<0时，由二次函数的性质可得最小值，当x≥0时，由指数函数的性质可得最小值，综合即可得到答案；作出函数f(x)的图象，平移直线y=x，结合图象即可得到整数a的范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)∵2a=5，lg83=b，∴a=lg25，b=13lg23，
所以a−3b=lg25−lg23=lg253，4a−3b=22lg253=2lg2259=259.
(Ⅱ)由换底公式得：m+n=(lg53)ab=ln3ln5×ln5ln2×ln2ln3×3=3，
所以1m+2n=13(m+n)(1m+2n)=13×(3+nm+2mn)≥13×(3+2 nm⋅2mn)=1+2 23，
当且仅当nm=2mn，即n= 2m取等号，因此1m+2n的最小值为1+2 23.
【解析】(Ⅰ)将a，b表示出来，利用对数恒等式计算即可；(Ⅱ)利用换底公式，基本不等式可求最小值．
本题考查对数的运算，基本不等式求最值，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，函数f(x)=x2+2(a−1)x+2a+6，
则函数f(x)的对称轴为x=−(a−1)，
因为函数f(x)在[4,+∞)单调递增，
则有−(a−1)≤4，解得a≥−3，
故实数a的取值范围是[−3,+∞)；
(Ⅱ)根据题意，不等式f(x)≥0对任意x∈R恒成立，
即f(x)的图象全部在x轴上方，则有Δ=4(a−1)2−4(2a+6)≤0，
解得−1≤a≤5，实数a的取值范围是[−1,5]；
(Ⅲ)若方程f(x)=0有两个大于1的不等实数根，
即函数f(x)与x轴有两个交点，且交点都在x=1的右侧，
则有Δ>0−(a−1)>1f(1)>0，解可得−54实数a的取值范围是(−54,−1).
【解析】(Ⅰ)根据题意，分析f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，解可得答案；
(Ⅱ)根据题意，分析可得f(x)的图象全部在x轴上方，则有Δ=4(a−1)2−4(2a+6)≤0，解可得答案；
(Ⅲ)根据题意，结合二次函数的性质可得Δ>0−(a−1)>1f(1)>0，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及二次函数根的分布问题，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=aex(x+2)，g′(x)=2x+b，
∴f′(0)=2a，g′(0)=b，
∵由题意，两函数在x=0处有相同的切线，
∴2a=b，f(0)=a=g(0)=2，
∴a=2，b=4，
∴f(x)=2ex(x+1)，g(x)=x2+4x+2.
(Ⅱ)f′(x)=2ex(x+2)，由f′(x)>0得x>−2；由f′(x)<0得x<−2，
∴f(x)在(−2,+∞)上单调递增，在(−∞,−2)上单调递减，
∵t>−3，∴t+1>−2，
当−3∴f(x)min=f(−2)=−2e−2.
当t≥−2时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，
∴f(x)min=f(1)=2et(t+1)，
∴f(x)min=−2e−2,−3(Ⅲ)令F(x)=kf(x)−g(x)=2kex(x+1)−x2−4x−2，
由题意知当x≥−2时，F(x)min>0，
由题意知F(0)=2k−2>0，∴k>1.
F′(x)=2(x+2)(kex−1)，
∵x≥−2，∴F(x)在[−2,+∞)上只可能有一个极值点ln1k，
①当ln1k<−2，即k>e2时，F(x)在[−2,+∞)上单调递增，
F(x)min=F(−2)=−2ke−2+2=2e2(e2−k)<0，不满足题意；
②当ln1k=−2，即k=e2时，由①知，F(x)min=F(−2)=2e2(e2−k)=0，不满足题意；
③当ln1k>−2，即10，满足F(x)min>0.
综上所述，满足题意的实数k的取值范围为(1,e2).
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
(Ⅱ)通过讨论t的范围，结合函数的单调性求出f(x)的最小值即可；
(Ⅲ)令F(x)=2kex(x+1)−x2−4x−2，由题意x≥−2时，F(x)>0恒成立，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，从而确定k的范围即可．
本题考查了函数的函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．