2022-2023学年江苏省南通市高一下学期4月期中数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数虚部为（ ）
A. －2iB. －2C. 4iD. 4
2. 已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（ ）
A. －2B. C. 2D.
3. 已知点，若直线AB上的点D满足，则D点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则sin（α＋β）=（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. 2C. D. 1
6. 已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
7. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A. B. ，，
C. ，∠B=30°，∠C=60°D. ，，∠B=60°
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 对于复数z，则B. 对于向量，则
C. 若，为复数，则D. 若，为向量，则
11. 下列等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
12. 剪纸艺术是一种中国传统民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）

A. B.
C. 若，则λ＋μ最大值为D. 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个满足的复数____________.
14. 已知单位向量，满足，若向量，则向量，的夹角为______．
15. 已知，则______．
16. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，且，______，的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数：，．
（1）若复数z满足，求z；
（2）在复平面内，O为原点，向量，，分别对应复数，，，且与同向，，求．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）已知，______，且为中点，求线段的长．
在①周长为6；②面积为这两个条件中任选一个填在上面横线上，作为条件，并解决该问题．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
19. 已知，，设．
（1）求当取最大值时，对应的x的取值；
（2）若，且，求的值．
20. 如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．

（1）求圆形水域面积；
（2）为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值．
21. 平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AD，AB上，且，，线段AC交MN于点H．
（1）若，求x＋y的值；
（2）若AB=6，，，求的值．
22. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求角B；
（2）若D为AC上一点，，且，求角C．