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2023-2024学年山东省济南市天桥区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)
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这是一份2023-2024学年山东省济南市天桥区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数中，无理数是( )
A. −2B. 0C. 2D. 5
2.已知点A的坐标为(5,−1)，则点A在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角相等B. 同位角互补，两直线平行
C. 三角形的外角等于它的两个内角的和D. 对顶角相等
4.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=70∘，那么∠2的度数是( )
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 45∘
5.若点A(−3,y1)，B(1,y2)都在直线y=−2x+5上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y16.某铁工艺品商城某天销售了110件工艺品，其统计如表：
该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
7.如图，直线l1：y=3x−1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)，则关于x，y的方程组y=3x−1y=mx+n的解为( )
A. x=1y=2
B. x=2y=1
C. x=−1y=2
D. x=1y=4
8.如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44∘、68∘，于是他很快判断这个三角形是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
9.我国古代伟大的数学家刘微将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a=3，b=4，则该三角形的面积为( )
A. 10
B. 12
C. 998
D. 534
10.如图所示，在平面直角坐标，△ABC的三个顶点坐标别为A(1,0)，B(5,0)，C(1,4)，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转一定角度后，点C恰好与直线y=−x−1上的点D重合，此时点B恰好与点E重合，则点E的坐标为( )
A. ( 15−1, 15+1)B. ( 15, 15+1)
C. ( 7−1, 7+1)D. ( 7, 7+1)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若电影院中的3排4号记作(3,4)，则6排2号可以记作______.
12.写出一个比 2大且比 17小的整数______.
13.某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB的垂直平分线交BC于点D.若BD=6，则AC的长为______.
15.A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发______小时后和乙相遇．
16.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把P1(y−1,−x−1)叫做点P的友好点.已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点.若A2023的坐标为(1,2)，设A1(x,y)，则x+y的值是______.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 43+ 3)× 6.
18.(本小题6分)
解方程组：x−y=23x+2y=16.
19.(本小题6分)
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：∠1=∠2.
20.(本小题8分)
已知：如图，DE//BC，CD平分∠ACB，∠B=60∘，∠A=70∘，求∠EDC的度数.
21.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,4).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)在x轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是______.
22.(本小题8分)
阳光中学积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验，虚拟机器人竞赛，国际象棋大赛，趣味篮球训练，经典影视欣赏……”等课程供学生自由选择一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A.非常满意；B.比较满意；C.基本满意；D.不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校抽样调查的学生人数为______人，请补全条形统计图；
(2)样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为______，“众数”所在等级为______；(填“A，B，C或 D”)
(3)若该校共有学生2000人，估计全校学生对课后延时服务满意的(包含 A，B，C三个等级)有多少人？
23.(本小题10分)
为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元．
(1)求A，B两种品牌的足球的单价．
(2)该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花多少钱？
24.(本小题10分)
随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费.设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题.
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
(2)求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
25.(本小题12分)
如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称.
(1)请写出点A坐标______，点 B坐标______，直线 BC的函数解析式______；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q.
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP=∠BAC，直接写出P的坐标.
26.(本小题12分)
综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系.
问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE=90∘，且AE=AD，连接DE，CE.
实践探究：(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系：______，______；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
拓展应用：(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=5，CE=2，请直接写出线段CD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、−2是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是有理数，故此选项不符合题意；
C、 2是无理数，故此选项符合题意；
D、5是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C.
根据有理数、无理数的定义逐一判断即可．
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：∵点A的坐标为(5,−3)，
∴点A在第四象限．
故选：D.
根据第四象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的坐标特点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.两直线平行，同旁内角互补，所以A选项不符合题意；
B.同位角相等，两直线平行，所以B选项不符合题意；
C.三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，所以C选项不符合题意；
D.对顶角相等，所以D选项符合题意．
故选：D.
根据平行线的性质可对A选项进行判断；根据平行线的判定方法可对B选项进行判断；根据三角形外角性质可对C选项进行判断；根据对顶角的性质可对D选项想判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质、三角形外角性质是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵a//b，
∴∠3=∠1=70∘，
∴∠2=180∘−90∘−70∘=20∘，
故选：A.
5.【答案】A
【解析】解：∵一次函数解析式为y=−2x+5，−2<0，
∴y随x增大而减小，
∵−3<1，
∴y1>y2，
故选：A.
根据一次函数的增减性进行求解即可．
本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0)，当k>0时，y随x增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B.
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】A
【解析】解：∵y=3x−1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)，
∴b=2，
∴P(1,2)，
∴x=1y=2，
故选：A.
首先利用y=3x−1得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：
依题意得：∠A=44∘，∠B=68∘，
由三角形的内角和定理得：∠C=180∘−(∠A+∠C)=180∘−(44∘+68∘)=68∘，
∴∠B=∠C=68∘.
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B.
根据三角形的内角和定理求出被墨迹遮挡的角的度数即可判定该三角形的形状．
此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和顶你，理解有两个角相等的三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(3+x)2+(x+4)2=72，
整理得，x2+7x−12=0，
而长方形面积为x2+7x+12=12+12=24
∴该三角形的面积为12，
故选：B.
设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点D作DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，
由点D在直线y=−x−1上，设点D坐标为(m,−m−1)，
∵△ABC的三个顶点坐标别为A(1,0)，B(5,0)，C(1,4)，
∴CA=4，AB=4，
∴DA=4，
在Rt△ADM中，DM=|−m−1|，AM=|1−m|，
∴|−m−1|2+|1−m|2=42，
解得，m=± 7，
∵D在第二象限，
∴点D坐标为(− 7, 7−1)，
∵∠ADM+∠DAM=∠EAN+∠DAM=90∘，
在△ADM和△EAN中
∠ADM=∠EAN∠DMA=∠ENAAD=EA，
∴△ADM≌△EAN(AAS)，
∴EN=AM= 7+1，AN=DM= 7，
∴点E坐标为( 7, 7+1).
故选：D.
过点D作DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，由点D在直线y=−x−1上，设点D坐标为(m,−m−1)，在Rt△ADN中，DM=|−m−1|，AM=|1−m|，|−m−1|2+|1−m|2=42，解得，m=± 7，构造△ADM≌△EAN(AAS)，得EN=AM= 7+1，AN=DM= 7，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点是坐标特征，勾股定理，三角形全等的性质判定，解题关键是直角三角形的构建，化斜为直的解题策略．
11.【答案】(6,2)
【解析】解：由题知，
因为电影院中的3排4号记作(3,4)，
所以括号内数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数，
故6排2号可以记作(6,2).
故答案为(6,2).
根据题中3排4号的表示方式即可解决问题．
本题考查坐标确定位置，能根据题中所给示范得出括号内的数对所表示的项目是解题的关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 2<2<3<4< 17，
∴写出一个比 2大且比 17小的整数如3(答案不唯一)；
故答案为：3(答案不唯一).
先对 2和 17进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出 2<2<3<4< 17是解题的关键．
13.【答案】丙
【解析】解：∵甲，乙，丙三个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙三个人中丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
根据甲，乙，丙三个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙三个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最合适的人选．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】3
【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6，
∴AD=BD=6，
∴∠B=∠DAB=15∘，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30∘，
∵∠C=90∘，
∴AC=12AD=3，
故答案为：3.
根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB=6，从而可得∠B=∠DAB=15∘，然后利用三角形额外角性质可得∠ADC=30∘，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】165
【解析】解：由图象可得，甲的速度为20÷5=4(km/h)，则y甲=4t(0⩽t⩽5)；
乙出发后1个小时内的速度为2km/h，提高速度后，速度为(20−2)÷(4−1−1)=9(km/h)，
不难得到y乙={2(t−1)(1⩽t⩽2)9t−16(2联立y=4ty=9t−16，
解得t=165.
故答案为165.
由图象先求得甲和乙关于时间t的函数解析式，然后联立方程组，解答即可．
此题考查一次函数的应用，关键是由图象分析得出解析式解答．
16.【答案】−5
【解析】解：根据题意，点A1的坐标为A1(x,y)，
则A2(y−1,−x−1)，A3(−x−2,−y)，A4(−y−1,x+1)，A5(x,y)，
由此可知，每四次一循环，
因为2023÷4=504……3，
所以−x−2=1，−y=2，
解得：x=−3，y=−2，
x+y=−3−2=−5，
故答案为：−5.
求出A2、A3、A4、A5的坐标，找到规律，即可求出x+y的值．
本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．
17.【答案】解：原式= 43×6+ 3×6
=2 2+3 2
=5 2.
【解析】先根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：{x−y=2①3x+2y=16②，
①×2+②得：5x=20，
解得：x=4，
把x=4代入①得4−y=2，
解得，：y=2，
故原方程组的解是x=4y=2.
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90∘，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AB=ADAC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1=∠2.
【解析】证明Rt△ABC≌Rt△ADC，由全等三角形的性质进而得出角相等．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
20.【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=180∘−70∘−60∘=50∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12∠ACB=25∘，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=25∘.
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠DCB的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
21.【答案】5(−4,4)(45,0)
【解析】解：(1)过C作CW⊥y轴于W，CR⊥x轴于R，如图1，
∴△ABC的面积S=S矩形CWOR−S△AOB−S△BRC−S△CWA
=4×4−12×1×2−12×2×4−12×3×4=5，
故答案为：5；
(2)∵点D与点C关于y轴对称，C(4,4)，
∴点D的坐标为(−4,4)，
故答案为：(−4,4)；
(3)如图2，作A点关于x轴的对称点T，连接CT，交x轴于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，
∵A(0,1)，
∴T点的坐标是(0,−1)，
设直线TC的解析式是y=kx+b，
把点C和点T的坐标代入得：
b=−14k+b=4，
解得：k=54b=−1，
即直线TC的解析式是y=54x−1，
当y=0时，54x−1=0，
解得：x=45，
即点P的坐标是(45,0)，
故答案为：(45,0).
(1)过C作CW⊥y轴于W，CR⊥x轴于R，△ABC的面积=S矩形CWOR−S△AOB−S△BRC−S△CWA，根据面积公式求出即可；
(2)根据点C的坐标得出即可；
(3)先求出点P的位置，再求出直线TC的解析式，再求出此时点P的坐标即可．
本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
22.【答案】50 B A
【解析】解：(1)校抽样调查的学生人数为为2040%=50(人)，
则C等级的人数为50−20−15−5=10(人)，
补充统计图如图所示，
(2)解：根据题意，中位数为第25，26个数的平均数，在B等级，A等级人数最多，则众数在B等级
∴样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为B，
“众数”所在等级为A，
故答案为：B，A；
(3)2000×20+15+1050=1800(人)，
答：估计全校学生对课后延时服务满意的(包含 A，B，C三个等级)有1800人．
(1)用A等级的人数除以占比得出总人数，进而得出C等级的人数，并补充统计图；
(2)根据中位数与众数的定义即可求解；
(3)用样本估计总体，用2000乘以A，B，C等级的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：6a+4b=9605a+2b=640，
解得a=80b=120，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
(2)若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球(20−x)个，
由题意可得：w=80x+120(20−x)=−40x+2400，
∴w随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x=3时，w取得最大值，此时w=2280，
答：学校最多需要花费2280元．
【解析】(1)根据购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数关系式，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最多需要花多少钱．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24.【答案】解：(1)设y甲=k1x，
根据题意得4k1=80，解得k1=20，
∴y甲=20x；
设y乙=k2x+80，
根据题意得：12k2+80=200，
解得k2=10，
∴y乙=10x+80；
(2)解方程组y=20xy=10x+80
解得：x=8y=160，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
(3)当y=240时，y甲=20x=240，
∴x=12；
当y=240时，y乙=10x+80=240，
解得x=16；
∵12<16，
∴选择乙种更合算．
【解析】(1)运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
(2)根据(1)的结论联立方程组解答即可；
(3)分别令(1)中的y=240，求出对应的x的值，再比较即可．
本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．
25.【答案】(−6,0)(0,3)y=−12x+3；
【解析】解：(1)对于y=12x+3，
由x=0得：y=3，
∴B(0,3).
由y=0得：12x+3=0，解得x=−6，
∴A(−6,0)，
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C(6,0)
设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
∴b=36k+b=0，解得k=−12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+3；
故答案为：A(−6,0)，B(0,3)，y=−12x+3；
(2)①设点M(m,0)，则点P(m,12m+3)，点Q(m,−12m+3)，
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ=|−12m+3−(12m+3)|=|m|，BD=|m|，
则△PQB的面积=12PQ⋅BD=12m2=72，解得m=± 7，
故点Q的坐标为( 7,3− 72)或(− 7,3+ 72)；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BMP=∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC=90∘，
∴∠BMC+∠BCA=90∘，
∴∠MBC=180∘−(∠BMC+∠BCA)=90∘，
∴BM2+BC2=MC2，
设M(x,0)，则P(x,12x+3)，
∴BM2=OM2+OB2=x2+9，MC2=(6−x)2，BC2=OC2+OB2=62+32=45，
∴x2+9+45=(6−x)2，解得x=−32，
∴P(−32,94)，
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P(32,154)，
综上，点P的坐标为(−32,94)或(32,154).
(1)先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
(2)①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC=∠ACB，∠BMP+∠BMC=90∘，当∠MBC=90∘利用勾股定理建立方程x2+9+45=(6−x)2即可求解．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
26.【答案】BD=CEBD⊥CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45∘，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
(2)∵∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45∘，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴BD⊥CE，
∴BD=CE，BD⊥CE；
(3)①当点D在BC上时，如图所示：
由(1)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC−BD=5−2=3，
②当点D在CB延长线上时，如图所示：
由(2)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=5+2=7，
综上所述，CD=3或7.
(1)由SAS证明△ABD≌△ACE可得出BD与CE的数量和位置关系；
(2)同(1)中证明方法一样，可得出结论；
(3)分两种情况可以求出CD的长．
本题考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，掌握这些知识点是解题的关键．货种
A
B
C
D
E
销售量(件)
10
40
30
10
20
甲
乙
丙
x−/环
9.7
9.6
9.7
s2
0.095
0.032
0.023
1.下列实数中，无理数是( )
A. −2B. 0C. 2D. 5
2.已知点A的坐标为(5,−1)，则点A在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角相等B. 同位角互补，两直线平行
C. 三角形的外角等于它的两个内角的和D. 对顶角相等
4.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=70∘，那么∠2的度数是( )
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 45∘
5.若点A(−3,y1)，B(1,y2)都在直线y=−2x+5上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1
该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
7.如图，直线l1：y=3x−1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)，则关于x，y的方程组y=3x−1y=mx+n的解为( )
A. x=1y=2
B. x=2y=1
C. x=−1y=2
D. x=1y=4
8.如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44∘、68∘，于是他很快判断这个三角形是( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
9.我国古代伟大的数学家刘微将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a=3，b=4，则该三角形的面积为( )
A. 10
B. 12
C. 998
D. 534
10.如图所示，在平面直角坐标，△ABC的三个顶点坐标别为A(1,0)，B(5,0)，C(1,4)，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转一定角度后，点C恰好与直线y=−x−1上的点D重合，此时点B恰好与点E重合，则点E的坐标为( )
A. ( 15−1, 15+1)B. ( 15, 15+1)
C. ( 7−1, 7+1)D. ( 7, 7+1)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若电影院中的3排4号记作(3,4)，则6排2号可以记作______.
12.写出一个比 2大且比 17小的整数______.
13.某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB的垂直平分线交BC于点D.若BD=6，则AC的长为______.
15.A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发______小时后和乙相遇．
16.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把P1(y−1,−x−1)叫做点P的友好点.已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点.若A2023的坐标为(1,2)，设A1(x,y)，则x+y的值是______.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 43+ 3)× 6.
18.(本小题6分)
解方程组：x−y=23x+2y=16.
19.(本小题6分)
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，求证：∠1=∠2.
20.(本小题8分)
已知：如图，DE//BC，CD平分∠ACB，∠B=60∘，∠A=70∘，求∠EDC的度数.
21.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,4).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)在x轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是______.
22.(本小题8分)
阳光中学积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验，虚拟机器人竞赛，国际象棋大赛，趣味篮球训练，经典影视欣赏……”等课程供学生自由选择一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A.非常满意；B.比较满意；C.基本满意；D.不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校抽样调查的学生人数为______人，请补全条形统计图；
(2)样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为______，“众数”所在等级为______；(填“A，B，C或 D”)
(3)若该校共有学生2000人，估计全校学生对课后延时服务满意的(包含 A，B，C三个等级)有多少人？
23.(本小题10分)
为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元．
(1)求A，B两种品牌的足球的单价．
(2)该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花多少钱？
24.(本小题10分)
随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费.设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题.
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
(2)求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
25.(本小题12分)
如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称.
(1)请写出点A坐标______，点 B坐标______，直线 BC的函数解析式______；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q.
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP=∠BAC，直接写出P的坐标.
26.(本小题12分)
综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系.
问题情境：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE=90∘，且AE=AD，连接DE，CE.
实践探究：(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的数量关系与位置关系：______，______；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
拓展应用：(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=5，CE=2，请直接写出线段CD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、−2是有理数，故此选项不符合题意；
B、0是有理数，故此选项不符合题意；
C、 2是无理数，故此选项符合题意；
D、5是有理数，故此选项不符合题意；
故选：C.
根据有理数、无理数的定义逐一判断即可．
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：∵点A的坐标为(5,−3)，
∴点A在第四象限．
故选：D.
根据第四象限内点的坐标特点解答即可．
本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的坐标特点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.两直线平行，同旁内角互补，所以A选项不符合题意；
B.同位角相等，两直线平行，所以B选项不符合题意；
C.三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，所以C选项不符合题意；
D.对顶角相等，所以D选项符合题意．
故选：D.
根据平行线的性质可对A选项进行判断；根据平行线的判定方法可对B选项进行判断；根据三角形外角性质可对C选项进行判断；根据对顶角的性质可对D选项想判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质、三角形外角性质是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵a//b，
∴∠3=∠1=70∘，
∴∠2=180∘−90∘−70∘=20∘，
故选：A.
5.【答案】A
【解析】解：∵一次函数解析式为y=−2x+5，−2<0，
∴y随x增大而减小，
∵−3<1，
∴y1>y2，
故选：A.
根据一次函数的增减性进行求解即可．
本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数y=kx+b(k为常数，k≠0)，当k>0时，y随x增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：B.
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】A
【解析】解：∵y=3x−1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)，
∴b=2，
∴P(1,2)，
∴x=1y=2，
故选：A.
首先利用y=3x−1得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：
依题意得：∠A=44∘，∠B=68∘，
由三角形的内角和定理得：∠C=180∘−(∠A+∠C)=180∘−(44∘+68∘)=68∘，
∴∠B=∠C=68∘.
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B.
根据三角形的内角和定理求出被墨迹遮挡的角的度数即可判定该三角形的形状．
此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和顶你，理解有两个角相等的三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(3+x)2+(x+4)2=72，
整理得，x2+7x−12=0，
而长方形面积为x2+7x+12=12+12=24
∴该三角形的面积为12，
故选：B.
设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点D作DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，
由点D在直线y=−x−1上，设点D坐标为(m,−m−1)，
∵△ABC的三个顶点坐标别为A(1,0)，B(5,0)，C(1,4)，
∴CA=4，AB=4，
∴DA=4，
在Rt△ADM中，DM=|−m−1|，AM=|1−m|，
∴|−m−1|2+|1−m|2=42，
解得，m=± 7，
∵D在第二象限，
∴点D坐标为(− 7, 7−1)，
∵∠ADM+∠DAM=∠EAN+∠DAM=90∘，
在△ADM和△EAN中
∠ADM=∠EAN∠DMA=∠ENAAD=EA，
∴△ADM≌△EAN(AAS)，
∴EN=AM= 7+1，AN=DM= 7，
∴点E坐标为( 7, 7+1).
故选：D.
过点D作DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，由点D在直线y=−x−1上，设点D坐标为(m,−m−1)，在Rt△ADN中，DM=|−m−1|，AM=|1−m|，|−m−1|2+|1−m|2=42，解得，m=± 7，构造△ADM≌△EAN(AAS)，得EN=AM= 7+1，AN=DM= 7，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点是坐标特征，勾股定理，三角形全等的性质判定，解题关键是直角三角形的构建，化斜为直的解题策略．
11.【答案】(6,2)
【解析】解：由题知，
因为电影院中的3排4号记作(3,4)，
所以括号内数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数，
故6排2号可以记作(6,2).
故答案为(6,2).
根据题中3排4号的表示方式即可解决问题．
本题考查坐标确定位置，能根据题中所给示范得出括号内的数对所表示的项目是解题的关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 2<2<3<4< 17，
∴写出一个比 2大且比 17小的整数如3(答案不唯一)；
故答案为：3(答案不唯一).
先对 2和 17进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出 2<2<3<4< 17是解题的关键．
13.【答案】丙
【解析】解：∵甲，乙，丙三个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙三个人中丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
根据甲，乙，丙三个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙三个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最合适的人选．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】3
【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6，
∴AD=BD=6，
∴∠B=∠DAB=15∘，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30∘，
∵∠C=90∘，
∴AC=12AD=3，
故答案为：3.
根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB=6，从而可得∠B=∠DAB=15∘，然后利用三角形额外角性质可得∠ADC=30∘，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】165
【解析】解：由图象可得，甲的速度为20÷5=4(km/h)，则y甲=4t(0⩽t⩽5)；
乙出发后1个小时内的速度为2km/h，提高速度后，速度为(20−2)÷(4−1−1)=9(km/h)，
不难得到y乙={2(t−1)(1⩽t⩽2)9t−16(2
解得t=165.
故答案为165.
由图象先求得甲和乙关于时间t的函数解析式，然后联立方程组，解答即可．
此题考查一次函数的应用，关键是由图象分析得出解析式解答．
16.【答案】−5
【解析】解：根据题意，点A1的坐标为A1(x,y)，
则A2(y−1,−x−1)，A3(−x−2,−y)，A4(−y−1,x+1)，A5(x,y)，
由此可知，每四次一循环，
因为2023÷4=504……3，
所以−x−2=1，−y=2，
解得：x=−3，y=−2，
x+y=−3−2=−5，
故答案为：−5.
求出A2、A3、A4、A5的坐标，找到规律，即可求出x+y的值．
本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．
17.【答案】解：原式= 43×6+ 3×6
=2 2+3 2
=5 2.
【解析】先根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：{x−y=2①3x+2y=16②，
①×2+②得：5x=20，
解得：x=4，
把x=4代入①得4−y=2，
解得，：y=2，
故原方程组的解是x=4y=2.
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90∘，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AB=ADAC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1=∠2.
【解析】证明Rt△ABC≌Rt△ADC，由全等三角形的性质进而得出角相等．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
20.【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=180∘−70∘−60∘=50∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12∠ACB=25∘，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠DCB=25∘.
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠DCB的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
21.【答案】5(−4,4)(45,0)
【解析】解：(1)过C作CW⊥y轴于W，CR⊥x轴于R，如图1，
∴△ABC的面积S=S矩形CWOR−S△AOB−S△BRC−S△CWA
=4×4−12×1×2−12×2×4−12×3×4=5，
故答案为：5；
(2)∵点D与点C关于y轴对称，C(4,4)，
∴点D的坐标为(−4,4)，
故答案为：(−4,4)；
(3)如图2，作A点关于x轴的对称点T，连接CT，交x轴于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，
∵A(0,1)，
∴T点的坐标是(0,−1)，
设直线TC的解析式是y=kx+b，
把点C和点T的坐标代入得：
b=−14k+b=4，
解得：k=54b=−1，
即直线TC的解析式是y=54x−1，
当y=0时，54x−1=0，
解得：x=45，
即点P的坐标是(45,0)，
故答案为：(45,0).
(1)过C作CW⊥y轴于W，CR⊥x轴于R，△ABC的面积=S矩形CWOR−S△AOB−S△BRC−S△CWA，根据面积公式求出即可；
(2)根据点C的坐标得出即可；
(3)先求出点P的位置，再求出直线TC的解析式，再求出此时点P的坐标即可．
本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
22.【答案】50 B A
【解析】解：(1)校抽样调查的学生人数为为2040%=50(人)，
则C等级的人数为50−20−15−5=10(人)，
补充统计图如图所示，
(2)解：根据题意，中位数为第25，26个数的平均数，在B等级，A等级人数最多，则众数在B等级
∴样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为B，
“众数”所在等级为A，
故答案为：B，A；
(3)2000×20+15+1050=1800(人)，
答：估计全校学生对课后延时服务满意的(包含 A，B，C三个等级)有1800人．
(1)用A等级的人数除以占比得出总人数，进而得出C等级的人数，并补充统计图；
(2)根据中位数与众数的定义即可求解；
(3)用样本估计总体，用2000乘以A，B，C等级的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：6a+4b=9605a+2b=640，
解得a=80b=120，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
(2)若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球(20−x)个，
由题意可得：w=80x+120(20−x)=−40x+2400，
∴w随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x=3时，w取得最大值，此时w=2280，
答：学校最多需要花费2280元．
【解析】(1)根据购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数关系式，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最多需要花多少钱．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24.【答案】解：(1)设y甲=k1x，
根据题意得4k1=80，解得k1=20，
∴y甲=20x；
设y乙=k2x+80，
根据题意得：12k2+80=200，
解得k2=10，
∴y乙=10x+80；
(2)解方程组y=20xy=10x+80
解得：x=8y=160，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
(3)当y=240时，y甲=20x=240，
∴x=12；
当y=240时，y乙=10x+80=240，
解得x=16；
∵12<16，
∴选择乙种更合算．
【解析】(1)运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
(2)根据(1)的结论联立方程组解答即可；
(3)分别令(1)中的y=240，求出对应的x的值，再比较即可．
本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．
25.【答案】(−6,0)(0,3)y=−12x+3；
【解析】解：(1)对于y=12x+3，
由x=0得：y=3，
∴B(0,3).
由y=0得：12x+3=0，解得x=−6，
∴A(−6,0)，
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C(6,0)
设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
∴b=36k+b=0，解得k=−12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+3；
故答案为：A(−6,0)，B(0,3)，y=−12x+3；
(2)①设点M(m,0)，则点P(m,12m+3)，点Q(m,−12m+3)，
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ=|−12m+3−(12m+3)|=|m|，BD=|m|，
则△PQB的面积=12PQ⋅BD=12m2=72，解得m=± 7，
故点Q的坐标为( 7,3− 72)或(− 7,3+ 72)；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BMP=∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC=90∘，
∴∠BMC+∠BCA=90∘，
∴∠MBC=180∘−(∠BMC+∠BCA)=90∘，
∴BM2+BC2=MC2，
设M(x,0)，则P(x,12x+3)，
∴BM2=OM2+OB2=x2+9，MC2=(6−x)2，BC2=OC2+OB2=62+32=45，
∴x2+9+45=(6−x)2，解得x=−32，
∴P(−32,94)，
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P(32,154)，
综上，点P的坐标为(−32,94)或(32,154).
(1)先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
(2)①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC=∠ACB，∠BMP+∠BMC=90∘，当∠MBC=90∘利用勾股定理建立方程x2+9+45=(6−x)2即可求解．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
26.【答案】BD=CEBD⊥CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45∘，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
(2)∵∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45∘，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴BD⊥CE，
∴BD=CE，BD⊥CE；
(3)①当点D在BC上时，如图所示：
由(1)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC−BD=5−2=3，
②当点D在CB延长线上时，如图所示：
由(2)证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=5+2=7，
综上所述，CD=3或7.
(1)由SAS证明△ABD≌△ACE可得出BD与CE的数量和位置关系；
(2)同(1)中证明方法一样，可得出结论；
(3)分两种情况可以求出CD的长．
本题考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，掌握这些知识点是解题的关键．货种
A
B
C
D
E
销售量(件)
10
40
30
10
20
甲
乙
丙
x−/环
9.7
9.6
9.7
s2
0.095
0.032
0.023
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