第25讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积-【同步精品】2024年九上数学同步精品讲义（人教版）

这是一份第25讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积-【同步精品】2024年九上数学同步精品讲义（人教版），文件包含第25讲正多边形与圆扇形的弧长与面积-教师版2024年九上数学同步精品讲义人教版docx、第25讲正多边形与圆扇形的弧长与面积-学生版2024年九上数学同步精品讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。

第25讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 知识点01 正多边形与圆 正多边形的概念： 各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。 圆的内接正多边形： 把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边形是这个圆 的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。 圆的内接正多边形的相关概念： （1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。 即O既是圆心也是正多边形的中心。 （2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。 即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。 （3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形 的中心角。正多边形的中心角度数为 。 即∠BOC是正多边形的一个中心角。 （4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。 即过O做边BC的垂线即为边心距。 题型考点：①概念的理解。②有关的计算。 【即学即练1】 1．下列说法不正确的是（　　） A．圆内正n边形的中心角为 B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【解答】解：A、B、C、正确； D、各边相等的，各角相等的多边形是正多边形，故不对． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　） A．60° B．36° C．76° D．72° 【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°， 故选：D 【即学即练3】 3．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　） A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米 【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°， ∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∴AG＝BG，BH＝CH， ∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°， ∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH， 连接OA，OB交AC于N， 则OB⊥AC，∠AOB＝60°， ∵OA＝15cm， ∴AN＝OA＝（cm）， ∴AC＝2AN＝15（cm）， ∴GH＝AC＝5（cm）， 故选：B． 【即学即练4】 4．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G， ∵⊙O的周长等于4πcm， ∴⊙O的半径为：＝2， ∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∵OG⊥AB， ∴AG＝BG＝AB＝1， ∴OG＝， ∴S△AOB＝AB•OG ＝2× ＝． ∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）． 故选：C． 【即学即练5】 5．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣2，0），则点F的坐标为 　（﹣1，）　． 【解答】解：连接OE，OF． ∵∠EOF＝＝60°，OE＝OF， ∴△EOF是等边三角形， ∵正六边形ABCDEF， ∴OE＝OF＝OA＝2． 设EF交y轴于G， 由正六边形是轴对称图形知，∠GOF＝30°． 在Rt△GOF中，∠GOF＝30°，OF＝2， ∴GF＝OF＝1，OG＝＝． ∴F（﹣1，）． 故答案为（﹣1，）． 知识点02 正多边形的画法 正多边形的画法： 利用等分圆的方法画等多边形。 题型考点：①根据要求作图。 【即学即练1】 6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形． 【解答】解：如图所示： 知识点03 扇形的弧长 扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。 扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧的长度为 。 题型考点：①弧长的计算。 【即学即练1】 7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　） A．6π B．2π C．π D．π 【解答】解：∵直径AB＝6， ∴半径OB＝3， ∵圆周角∠A＝30°， ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°， ∴的长是＝π， 故选：D． 【即学即练2】 8．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OD， ∵点D是点O关于AC的对称点， ∴AD＝OA， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°， ∴的长＝＝π， 故选：B． 知识点04 扇形的面积 扇形的面积计算公式： 方法1：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 题型考点：①扇形面积的计算。②面积公式的应用。 【即学即练1】 9．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 　15π　cm2． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得 S扇＝＝15π（cm2）． 故答案为：15π． 【即学即练2】 10．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为 　2　． 【解答】解：∵S＝lr，∴S＝×2×2＝2， 故答案为2． 【即学即练3】 11．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°， ∴∠C＝20°， 又∵D为BC的中点， ∴BD＝DC＝BC＝2， ∵DE＝DB， ∴DE＝DC＝2， ∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝40°， ∴扇形BDE的面积＝， 故答案为：． 【即学即练4】 12．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为　24　cm． 【解答】解：∵S扇形＝lr ∴240π＝•20π•r ∴r＝24 （cm） 题型01 正多边形与圆的相关计算 【典例1】 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 　72°　． 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOC＝×2＝144°， ∴∠APC＝∠AOC＝72°， 故答案为：72°． 【典例2】 如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　） A．18° B．30° C．36° D．40° 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝36°， ∴∠EAC＝72°， ∴∠AED+∠EAC＝180°， ∴DE∥AF， ∵AE＝AF＝DE， ∴四边形AEDF是菱形， ∴∠EDF＝∠EAF＝72°， ∵∠EDC＝108°， ∴∠FDC＝36°， 故选：C． 【典例3】 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为　6　． 【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示： 则AC＝2AG， ∵AB＝BC， ∴AG＝CG， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝2， ∴∠BAC＝30°， ∴AG＝AB•cos30°＝2×＝， ∴AC＝2×＝2， ∴△ACE的周长为3×2＝6． 故答案为6． 【典例4】 如图，正六边形内接于⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为　4π﹣6　． 【解答】解：已知圆的半径为2，则面积为4π，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形面积为，则正六边形面积为6，所以阴影面积为4π﹣6 题型02 扇形的弧长计算 【典例1】 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为　3π　． 【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π． 故答案为：3π． 【典例2】 如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为　：1　． 【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2， 则OC2+OD2＝CD2， ∴∠COD＝90°， ∴与的长度之比＝：＝：1， 故答案为：：1． 【典例3】 如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　） A．10cm B．4πcm C． D． 【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到， ∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm， ∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝+＝π（cm）． 故选：C． 【典例4】 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　cm． 【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+ ＝（cm）． 故答案为：（）． 题型03 阴影部分的面积计算 【典例1】 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 【解答】解：连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°， Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2， ∴ED＝＝2，∠CED＝30°， ∴∠ECD＝60°， S阴影＝﹣＝﹣2． 故选：D． 【典例2】 如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．4+π C．6﹣π D．3+π 【解答】解：∵正方形ABCD边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴阴影部分的面积是：×42﹣[﹣×42]＝6﹣π， 故选：C． 【典例3】 如图，以矩形ABCD的对角线AC为直径画圆，点D、B在该圆上，再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E．若AC＝2，∠BAC＝30°．则图中影部分的面积和为 　π﹣　（结果保留根号和π）． 【解答】解：设AC的中点为O，连接OB， ∵AC＝2， ∴OA＝OC＝OB＝1， ∴S△AOB＝×＝， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴S△BOC＝＝， ∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝30°．AC＝2， ∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝， ∴S△ADC＝＝， ∵S阴＝S半圆﹣S△ADC+S△AOB+S扇形BOC﹣S扇形ABE＝π﹣++﹣＝π﹣++﹣＝π﹣． 故答案为：π﹣． 【典例4】 如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是　4　（结果保留π）． 【解答】解：连接AD，则AD⊥BC； △ABC中，BC＝4，AD＝2； ∴S△ABC＝BC•AD＝4． ∵∠EAF＝2∠EPF＝80°，AE＝AF＝2； ∴S扇形EAF＝＝； ∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形EAF＝4﹣． 1．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等， ∴这个多边形的中心角＝60°， ∴＝60°， ∴n＝6， 故选：C． 2．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2， ∴AM＝1， 根据勾股定理可得， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（　　） A．π B．π C．2π D．π 【解答】解：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° 在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得AB＝5， ∴AO＝2.5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， 由圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∴劣弧AD的长为＝π． 故选：A． 4．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m）， 故选：B． 5．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（　　） A． B． C．3π D．4π 【解答】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4， ∴扇形乙的圆心角360°×＝120°， ∴扇形乙的面积＝＝3π， 故选：C． 6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4， ∴△ABC为直角三角形， 由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积， 由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝， 故选：D． 7．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接ⅠK，JL， ∵正八边形，IA＝JC＝KE＝LG， ∴IJ＝JK＝KL＝LI，IK＝JL， ∴四边形IJKL为正方形， ∴四边形IJKL的面积为IJ2， 当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大， ∴IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大， 如图，连接AE，CG交于点O，连接OB，交AC于点M， 则△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心， ∴OC＝OB＝OA，OB垂直平分AC， ∴， 设OM＝AM＝x， 则， ∴， 在Rt△AMB 中，AB2＝BM2+AM2， 即 ， 解得： （负值不合题意，舍去）， ∴， ∴四边形IJKL的最大面积为， 故选：A． 8．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【解答】解：∵点A是劣弧的中点， ∴OA⊥BC，所以①正确； ∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∴BC＝2×6×＝6，所以②错误； 同理可得△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴扇形OCAB的面积为＝12π，所以③正确； ∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB， ∴四边形ABOC是菱形，所以④正确． 故选：D． 9．如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为　 　． 【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OE，OD． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∵OA＝OE＝OB＝OD， ∴△AOE，△BOD都是等边三角形， ∴∠AOE＝∠BOD＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°， ∴的长＝＝， 故答案为：． 10．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB； ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝30°，AB＝12， ∴， ∵BC＝CD，为半圆， ∴， ∵OD＝OC＝OB， ∴，△COD为等边三角形， ∴OE⊥BD，BD＝2BE，， ∴，，， ∴， ∴S阴影＝S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD ＝ ＝6π． 故答案为：6π． 11．如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【解答】解：在正五边形ABCDE中，， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠FAB＝60°， ∴∠EAF＝48°， ∴， 故答案为：． 12．以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 　 　°． 【解答】解：∵正五边形的每一个外角都是72°， ∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′第一次落在直线BC上， ∴正五边形ABCDE旋转的度数至少为72°， 故答案为：72． 13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 　． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AC＝CCD， ∴∠OAC＝∠ODC＝30°， ∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BOC＝60°， ∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∴BC＝AB＝3， ∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18． 故答案为：18． 14．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AB＝4cm，求劣弧的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥AB，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴四边形ADOE是矩形，，， 又∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∴四边形ADOE是正方形． （2）解：如图，连接OA，OB， ∵四边形ADOE是正方形， ∴cm， 在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm， ∴OA＝OB＝2cm． 由（1）得四边形ADOE是正方形， 则∠AOD＝∠BOD＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴． 15．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC， 以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图， ∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ， ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积， ∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE＝﹣ ＝12π； （2）连PE， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴∠BEP＝45°，PE＝4， ∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°， ∴PC＝＝＝9． 课程标准学习目标①正多边形与圆的相关概念及其关系 ②正多边形的画法 ③扇形的弧长与面积的计算公式理解正多边形与圆的相关概念。 理解并掌握正多边形的半径与边长，边心距，中心角之间关系。 学会利用等分圆的方法画正多边形。 掌握并利用扇形的周长与面积计算公式进行相应的计算。