吉林省吉林地区普通高中2024届高三第三次模拟考试数学试题

这是一份吉林省吉林地区普通高中2024届高三第三次模拟考试数学试题，共15页。试卷主要包含了已知为锐角，且，则的最大值为，已知集合，则，在的展开式中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知若，则实数的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．2
3．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
4．若互不相等的正数满足，则（ ）
A．成等差数列B．成等比数列
C．成等差数列D．成等比数列
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．的子集个数为2
10．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项D．常数项是第4项
11．如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三梭锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．已知向量，若，则_________。
13．“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有种_________不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则_________（结果用表示）。
14．已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分別为，直线与直线交于点，则与的面积比值为_________。
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知的三个内角的对边分别为，且．
（I）求；
（II）在方向上的投影向量是，求的面积。
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱䧾锥中，平面，
为中点，点在梭上（不包括端点）。
（I）证明：平面平面；
（II）若点为的中点，求直线到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．
（I）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（II）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围。
18．（本小题满分17分）
短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人。
（I）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：
单位：人
（II）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出。
（i）求经过次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望。
参考公式：，其中；
附表：
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设分别是的极小值点和极大值点，记．
（i）证明：直线与曲线交于除外另一点；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
11题D选项拓展说明：
平面截圆锥的侧面截口曲线形状总结：
设圆锥的轴与母线所成的角为，圆锥的轴与平面所成的角为
（1）当平面过点时，
①当时，截口曲线形状为一个点；（如图1）
②当时，截口曲线形状为一条母线；（如图2）
③当时，截口曲线形状为两条母线．（如图3）
（2）当平面不过点时，
图4 图5 图6 图7
①当时，截口曲线形状为圆；（如图4）
②当时，截口曲线形状为椭圆或椭圆的一部分；（如图5）
③当时，截口曲线形状为抛物线的一部分；（如图6）
④当时，截口曲线形状为双曲线的一部分．（如图7）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12． 13．8（2分）；（3分）
14．1（注：写1：1本次不扣分，但教学中注意区分“比”与“比值”）
13题说明：引导学生了解斐波那契数列，其相关性质可归纳得出即可．
14题提示：可证直线与直线的交点为，且
四、解答题
15．【解析】
（I）由正弦定理得
即，
又
即
得或（舍）
又。
（也可以利用，则得出）
（II）（方法一）
在方向上的投影向量为
即
由余弦定理
（方法二）
如图，过作，垂足为，则为在方向上的投影向量设，则在Rt中，
16．【解析】
（I）证明：平面
，即
又为中点，且
四边形为正方形
平面平面
平面
平面平面平面
（II）在中，分别为中点
平面平面平面．
点到平面的距离即为到平面的距离．
（方法一）
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
设是平面的法向量．
取，则是平面的一个法向量．
点到平面的距离为
即直线到平面的距离为
（注：（1）求线面距、面面距需先证平行，未证扣2分；
（2）图形中需画出坐标系，格式不对或未建系扣1分；
（3）若几何特征不明确时，答题中需体现建系说明．）
（II）（方法二）
连接
为等腰直角三角形
平面是三棱锥的高
连接，设到平面距离为，则
即到平面的距离为
17．【解析】
（I）设点，圆的半径为为到直线的距离，则．
根据题意，动点的轨迹就是点的集合
整理得
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线．
（注：描述曲线不完整本次不扣分，教学中注意规范要求．）
（II）设直线，
倾斜角大于
设
联立得
由得的取值范围是
18．【解析】
（I）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
零假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
（注：①结果无精确要求时，保留到0.001，但本次结果为不扣分；②未写“零假设”或未完整作答扣1分；③阅卷时注意“有关联”“无关联”是否写错．）
（II）（i）设经过次传递后回到甲的概率为
是首项为，公比为的等比数列
（ii）（方法一）
设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，
设前次传递中球传到甲的次数为
（方法二）
设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布，
由题可知
又
是首项为，公比为的等比数列
故
19．【解析】
（I）
令，则，令则或
在上单调递增，在上单调递减．
（注：单调区间书写不规范扣1分）
（II）（i）由（I）知且，
直线方程为
（方法一）
令，即①
或
设，则
令，则
令，则，令，则，
在上单调递减，在上单调递增
（或者）
存在唯一，使即②
故方程①的解有
综上，直线与曲线交于除点外另一点
（ii）由（i）知，
由（i）中的②可知，，即，设，设，令，则
令，则，令，则
在上单调递减，在上单调递增。
，使，此时
故存在定值，且，使，此时。
（方法二）
令，即①
或
设，则
令，则；令，则；令，则
在上单调递增，在上单调递减
，使得
故方程①的解有
综上，直线与曲线交于除点外另一点。
（ii）由（i）知，
故存在定值，且，使，此时。游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
9
7
8
A
B
D
D
C
D
B
A
9
10
11
BCD
AB
AC
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
200
100
300
北方游客
80
120
200
合计
280
220
500