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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 期中模拟02（二次根式、勾股定理、平行四边形）.zip
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一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．使有意义的的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零是解题的关键．
2．平行四边形的周长为，其中一边长为，则它的邻边长为
A．2 B．C．D．
【分析】根据平行四边形对边相等即可解决问题．
【解答】解：因为平行四边形的周长为，其中一边长为，
则它的邻边长为．
故选．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
3．下列二次根式中，不是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；故选：．
【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
4．在中，，则
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数．
【解答】解：根据平行四边形的性质可得：．
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，属于基础题，比较简单，关键是掌握平行四边形的邻角互补．
5．下列命题的逆命题是真命题的个数有
①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
②全等三角形的对应角相等；
③如果两个角是直角，那么它们相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
⑤对顶角相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据绝对值的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数们的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题；
②全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；
③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
⑤对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．在中，若，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．，，D．，【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
、，
，
，
，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
不是直角三角形，
故符合题意；
、，，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的混合运算法则即可得出答案．
【解答】解：，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；，故选项不符合题意；
不能合并，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．如图，一轮船从港口出发以16海里时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距
A．25海里B．30海里C．40海里D．60海里
【分析】求出海里，海里，，再由勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图，一轮船从港口出发以16海里时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，
由题意得：（海里），（海里），，
在中，由勾股定理得：（海里），
即航行2小时后，两船相距40海里，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题以及勾股定理，掌握方向角的概念，求出是解题的关键．
9．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．4B．C．9D．
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
10．如图，是内部一点，，且，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是
A．B．12C．24D．48
【分析】根据三角形中位线定理，可证明四边形为矩形，并求得长和宽，进而求出矩形的面积．
【解答】解：点、、、分别为，，，的中点，
，（三角形中位线定理），
同理可得，．
，并且，
四边形是平行四边形．
，，
，
．
为矩形．
又．
矩形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用三角形中位线定理求解矩形的面积，比较简单，但要细心，确保计算正确．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）11．化简： ．
【分析】先根据二次根式的乘法得到原式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式
．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了二次根式的乘法．
12．已知是整数，则正整数的最小值为 3 ．
【分析】根据是整数可知，一定是一个完全平方数，即可求解．
【解答】解：是整数，
则一定是一个完全平方数，
，
当时，一个完全平方数．
正整数的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
13．直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为 5或 ．
【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为
故直角三角形的第三边应该为5或
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
14．如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是 10 ．
【分析】连接，由平行线的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：连接，
，
，
的面积为5，
的面积为5，
四边形为平行四边形，
平行四边形的面积．
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为 ．
【分析】根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．
【解答】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
，
作，交于点，如图所示，
，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．如图，中，为斜边的中点，为斜边上的高，若，，则的面积是 ．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：中，
为斜边中点，，
，
边上的高，
的面积是．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积和直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则运算，再化简各二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．已知：，．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1），，
，，
，
；
（2）．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
19．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，，、的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，平行四边形的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【分析】证，得，再由平行四边形的性质得，则，然后由，即可得出结论．
【解答】证明：，
，，
又点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
21．如图，在中，，将沿着折叠以后点正好落在边上的点处．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求线段的长．
【分析】（1）在中，利用互余得到，再根据折叠的性质得，然后根据互余可计算出；
（2）中，利用勾股定理即可得到的长；设，则，依据勾股定理可得，中，再解方程即可得到的长．
【解答】解：（1）在中，，，
，
沿着折叠以后点正好落在点处，
；
（2）在中，，，
，
沿着折叠以后点正好落在点处，
，，
，
设，则，
中，，
，
解得．
即的长为3．
【点评】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，其中点、、均在网格的格点上．
（1）直接写出格点的面积为 4 ；
（2）在网格中画出使、、、四点构成平行四边形的所有点；
（3）直接写出线段的长为 ．
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（3）利用勾股定理求解．
【解答】解：（1），
故答案为：4；
（2）如图，点，，即为所求；
（3），．
故答案为：或．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会用割补法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题．23．已知正方形的边长为4．．
（1）如图1，点在直线上运动，连接，将线段绕点按顺时针旋转得到，连接．
①若点与重合，则 ．
②若，求的长．
（2）如图2，点在边上不与，重合）运动，且，连接、．将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，设，，求关于的函数表达式．
【分析】（1）①当点与点重合时，由旋转的性质得：，，过点作的垂线交的延长线于，证和全等得，，进而在中由勾股定理可求出的长；
②由于点在直线上运动，因此需要分两种情况进行讨论：
当点在的延长线上时，设，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和全等得，，进而在中由勾股定理求出的值即可得出的长；
当点在的延长线上时，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和得，，进而在中由勾股定理求出即可得出的长；
（2）过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，先证四边形为矩形得，，再证和全等得，，然后证和全等得，，进而得，，最后在由勾股定理即可得出关于的函数表达式．
【解答】解：（1）①当点与点重合时，由旋转的性质得：，，
过点作的垂线交的延长线于，则，
四边形为正方形，且边长为4，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
②点在直线上运动，
有以下两种情况：
当点在的延长线上时，设，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
或（不合题意，舍去），
．
当点在的延长线上时，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，
，
在和中
，，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
综上所述：的长度为或．
（2），，其中，
过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，
则，
四边形为矩形，
，，
由旋转的性质得：，，，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，其中．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；正方形的四个角都是直角、四条边都相等．
24．（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）先计算出，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）设，，所以，，再利用得到，所以，则，然后利用得到．
【解答】解：（1），，
，，
；（2）设，，则，
，
，
即，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用运用完全平方公式是解决问题的关键．
25．如图，在中，，以为边在外作菱形，对角线交于点，连接，．
（1）如图（1），若，，，请直接写出的长；
（2）如图（2），若，求证；
（3）如图（3），若，请直接写出的值．
【分析】（1）证得，从而得出，可证得四边形是矩形，从而，设，，可得出，进而得出；（2）延长至，使，连接，可证得，从而，，进而得出，进一步得出结论；（3）设与交于点，可证得，从而，，进而得出，可得出，，
从而得出，根据表示出，从而得出，进一步得出结果．
【解答】（1）解：四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，
，
设，，
，
，
；
（2）证明：如图1，
证明：延长至，使，连接，由（1）知：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）解：如图2，
设与交于点，
，，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．使有意义的的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零是解题的关键．
2．平行四边形的周长为，其中一边长为，则它的邻边长为
A．2 B．C．D．
【分析】根据平行四边形对边相等即可解决问题．
【解答】解：因为平行四边形的周长为，其中一边长为，
则它的邻边长为．
故选．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
3．下列二次根式中，不是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，符合题意；
、是最简二次根式，不符合题意；故选：．
【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
4．在中，，则
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数．
【解答】解：根据平行四边形的性质可得：．
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，属于基础题，比较简单，关键是掌握平行四边形的邻角互补．
5．下列命题的逆命题是真命题的个数有
①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
②全等三角形的对应角相等；
③如果两个角是直角，那么它们相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
⑤对顶角相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据绝对值的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数们的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题；
②全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；
③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题；
④平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
⑤对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．在中，若，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．，，D．，【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
、，
，
，
，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
不是直角三角形，
故符合题意；
、，，
，
是直角三角形，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的混合运算法则即可得出答案．
【解答】解：，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；，故选项不符合题意；
不能合并，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．如图，一轮船从港口出发以16海里时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距
A．25海里B．30海里C．40海里D．60海里
【分析】求出海里，海里，，再由勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图，一轮船从港口出发以16海里时的速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，
由题意得：（海里），（海里），，
在中，由勾股定理得：（海里），
即航行2小时后，两船相距40海里，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题以及勾股定理，掌握方向角的概念，求出是解题的关键．
9．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为
A．4B．C．9D．
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
重叠部分也为正方形，
空白部分的面积为，
一个空白长方形面积，
大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
大正方形边长，重叠部分边长，
空白部分的长，
设空白部分宽为，可得：，
解得：，小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长，
小正方形面积，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
10．如图，是内部一点，，且，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是
A．B．12C．24D．48
【分析】根据三角形中位线定理，可证明四边形为矩形，并求得长和宽，进而求出矩形的面积．
【解答】解：点、、、分别为，，，的中点，
，（三角形中位线定理），
同理可得，．
，并且，
四边形是平行四边形．
，，
，
．
为矩形．
又．
矩形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用三角形中位线定理求解矩形的面积，比较简单，但要细心，确保计算正确．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）11．化简： ．
【分析】先根据二次根式的乘法得到原式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式
．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了二次根式的乘法．
12．已知是整数，则正整数的最小值为 3 ．
【分析】根据是整数可知，一定是一个完全平方数，即可求解．
【解答】解：是整数，
则一定是一个完全平方数，
，
当时，一个完全平方数．
正整数的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．
13．直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为 5或 ．
【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为
故直角三角形的第三边应该为5或
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
14．如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若的面积为5，则平行四边形的面积是 10 ．
【分析】连接，由平行线的性质得出，由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：连接，
，
，
的面积为5，
的面积为5，
四边形为平行四边形，
平行四边形的面积．
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为 ．
【分析】根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．
【解答】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
，
作，交于点，如图所示，
，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．如图，中，为斜边的中点，为斜边上的高，若，，则的面积是 ．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：中，
为斜边中点，，
，
边上的高，
的面积是．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积和直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后把化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则运算，再化简各二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．已知：，．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1），，
，，
，
；
（2）．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
19．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，，、的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，平行四边形的对角线与相交于点，点为的中点，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．
【分析】证，得，再由平行四边形的性质得，则，然后由，即可得出结论．
【解答】证明：，
，，
又点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
21．如图，在中，，将沿着折叠以后点正好落在边上的点处．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求线段的长．
【分析】（1）在中，利用互余得到，再根据折叠的性质得，然后根据互余可计算出；
（2）中，利用勾股定理即可得到的长；设，则，依据勾股定理可得，中，再解方程即可得到的长．
【解答】解：（1）在中，，，
，
沿着折叠以后点正好落在点处，
；
（2）在中，，，
，
沿着折叠以后点正好落在点处，
，，
，
设，则，
中，，
，
解得．
即的长为3．
【点评】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，其中点、、均在网格的格点上．
（1）直接写出格点的面积为 4 ；
（2）在网格中画出使、、、四点构成平行四边形的所有点；
（3）直接写出线段的长为 ．
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（3）利用勾股定理求解．
【解答】解：（1），
故答案为：4；
（2）如图，点，，即为所求；
（3），．
故答案为：或．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会用割补法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题．23．已知正方形的边长为4．．
（1）如图1，点在直线上运动，连接，将线段绕点按顺时针旋转得到，连接．
①若点与重合，则 ．
②若，求的长．
（2）如图2，点在边上不与，重合）运动，且，连接、．将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，设，，求关于的函数表达式．
【分析】（1）①当点与点重合时，由旋转的性质得：，，过点作的垂线交的延长线于，证和全等得，，进而在中由勾股定理可求出的长；
②由于点在直线上运动，因此需要分两种情况进行讨论：
当点在的延长线上时，设，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和全等得，，进而在中由勾股定理求出的值即可得出的长；
当点在的延长线上时，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和得，，进而在中由勾股定理求出即可得出的长；
（2）过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，先证四边形为矩形得，，再证和全等得，，然后证和全等得，，进而得，，最后在由勾股定理即可得出关于的函数表达式．
【解答】解：（1）①当点与点重合时，由旋转的性质得：，，
过点作的垂线交的延长线于，则，
四边形为正方形，且边长为4，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
②点在直线上运动，
有以下两种情况：
当点在的延长线上时，设，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
或（不合题意，舍去），
．
当点在的延长线上时，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，
，
在和中
，，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
综上所述：的长度为或．
（2），，其中，
过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，
则，
四边形为矩形，
，，
由旋转的性质得：，，，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，其中．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；正方形的四个角都是直角、四条边都相等．
24．（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）先计算出，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）设，，所以，，再利用得到，所以，则，然后利用得到．
【解答】解：（1），，
，，
；（2）设，，则，
，
，
即，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用运用完全平方公式是解决问题的关键．
25．如图，在中，，以为边在外作菱形，对角线交于点，连接，．
（1）如图（1），若，，，请直接写出的长；
（2）如图（2），若，求证；
（3）如图（3），若，请直接写出的值．
【分析】（1）证得，从而得出，可证得四边形是矩形，从而，设，，可得出，进而得出；（2）延长至，使，连接，可证得，从而，，进而得出，进一步得出结论；（3）设与交于点，可证得，从而，，进而得出，可得出，，
从而得出，根据表示出，从而得出，进一步得出结果．
【解答】（1）解：四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，
，
设，，
，
，
；
（2）证明：如图1，
证明：延长至，使，连接，由（1）知：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）解：如图2，
设与交于点，
，，，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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