2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）段考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）段考数学试卷（一）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,−5)，B(0,−2,−2)，C(−2,t,1)，若A，B，C三点共线，则t的值为( )
A. −2B. −7C. 10D. 13
2.设函数f(x)在x=x0处存在导数为2，则Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx=( )
A. 2B. 1C. 23D. 6
3.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A. 35B. 40C. 50D. 70
4.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OP，则OP=( )
A. 14OA+14OB+14OC
B. 13OA+13OB+13OC
C. 14OA+13OB+13OC
D. 13OA+14OB+14OC
5.江苏海安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵.海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建.海中高二年级几名同学打算利用周末时间寻访“十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社，则东郊文社不是第一个游览的情况有( )
A. 2016种B. 1512种C. 1426种D. 1362种
6.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为( )
A. 23B. 53C. 2 1717D. 22117
7.2022年北京冬奥会结束了，有7名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左㙐，乙不站最右端，丙不站正中间，则理论上他们的排法有( )
A. 3864种B. 3216种C. 3144种D. 2952种
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体.若AA1⊥面ABCD，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )
A. 39921B. 27321C. 2 4221D. 4221
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量a=(1,0,1)，b=(0,1,−1)，则a在b上的投影向量为(0,−12,12)
B. 若对空间中任意一点O，有OP=23OA−16OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量a，b满足a⋅b>0，则a与b夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为m=(2,4,−2)，平面α的一个法向量为n=(−1,−2,1)，则l⊥α
10.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数和五位数，则( )
A. 可组成360个四位数
B. 可组成216个是5的倍数的五位数
C. 可组成270个比1325大的四位数
D. 若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为2301
11.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=1，PB=2，E是PC的中点.设棱锥P−ABCD与棱锥E−BCD的体积分别为V1，V2，PB，PC与平面BDE所成的角分别为α，β，则( )
A. PA//平面BDE
B. PC⊥平面BDE
C. V1：V2=4：1
D. sinα：sinβ=1：2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.空间四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=1，AD=3，且异面直线AD与BC成60°，则异面直线AB与CD所成角的大小为______．
13.若曲线y=lnx+ax2−2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是______．
14.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为T(n,k)，则T(5,4)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(m,2 3,6)，b=(1,0,2)，c=(1, 3,2)(m∈R)．
(1)求a⋅(b−c)的值；
(2)求cs〈b,c〉；
(3)求|a−b|的最小值．
16.(本小题15分)
若函数f(x)=x3+ax2+bx−1，在x=1处切线方程为：8x+y−1=0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−1,4]上的最大值、最小值．
17.(本小题15分)
在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=2π3，EF/​/平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点．
(1)证明：EM/​/平面BDF；
(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，AB是半球O的直径，AB=4，M，N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON=60°．
(1)证明：PB⊥平面PAM；
(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程f(x)=0的其中一个根r在x=x0的附近，如图所示，然后在点(x0,f(x0))处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0，x1，x2，……，xn.从图形上我们可以看到x1较x0接近r，x2较x1接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求xn，若设精度为ε，则把首次满足|xn−xn−1|<ε的xn称为r的近似解．
已知函数f(x)=x3+(a−2)x+a，a∈R．
(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解(取x0=−1，且结果保留小数点后第二位)；
(2)若f(x)−x3+x2lnx≥0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A(2,3,−5)，B(0,−2,−2)，C(−2,t,1)，
所以AB=(−2,−5,3),AC=(−4,t−3,6)，且A，B，C三点共线，
所以存在实数λ，使得AB=λAC，则
−2=−4λ−5=λ(t−3)3=6λ，解得λ=12t=−7．
故选：B．
根据三点共线，可得空间向量AB、AC共线，即存在实数λ，使得AB=λAC，结合向量坐标运算即可求解．
本题考查空间向量共线的坐标运算，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：由已知有f′(x0)=2，
则Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)2Δx=12Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)Δx=12f(x0)=12×2=1．
故选：B．
由导数的概念求解．
本题主要考查导数的概念，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了排列组合，简单计数原理，分组分配，属于基础题．
六位学生分配到两个敬老院，每所敬老院至少两人，则对六名学生进行分组分配即可．
【解答】
解：六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组两人另一组4人，或每组3人，
所以不同的分配方案为：C62A22+C63=50，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：∵M是四面体OABC的棱BC的中点，MN=12ON，
∴OM=12(OB+OC)，ON=23OM=13(OB+OC)，
∵AP=34AN，
∴OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34(ON−OA)
=14OA+34×13(OB+OC)
=14OA+14OB+14OC，
故选：A．
利用空间向量基本定理，空间向量的线性运算求解即可．
本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：先排东郊文社，有A31种，
再从另外九景中选3景依次游览，有A93种，
所以共有A31A93=1512种游览的情况．
故选：B．
先把东郊文社排好，再从另外九景中选3景依次游览，进而可得答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)C(0,0,3)，
因为G是三角形ABC重心，所以G(13,23,1)，
所以PA=(1,0,0)，AG=(−23,23,1)，
所以PA在AG上的投影为PA⋅AG|AG|=−23 173=−2 1717，
所以点P到直线AG的距离为 |PA|2−(PA⋅AG|AG|)2= 1−(2 1717)2= 22117．
故选：D．
以P为坐标原点建立空间直角坐标系，确定所需各点坐标，由点P到直线AG的距离为 |PA|2−(PA⋅AG|AG|)2，即可得解．
本题考查空间中点到线距离的求法，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
①甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5A44=120种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，
再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5×4×A44=480种情况，
两种情况合并，共有(5+5×4)A44=600种情况；
②若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①共有(5+5×4)A44=600种情况；
③若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，
乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法，
最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有4×(5+4×4)A44=2016种情况；
综上，则共有(5+5×4)A44+(5+5×4)A44+4×(5+4×4)A44=3216种不同的站法．
故选：B．
根据题意，分3种情况讨论：①甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的中个人全排列；②若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①；③若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列，最后由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AA1⊥AB，
由题意可以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(0,3,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,3)，
B1(0,4,3)，C1(0,3,3)，D1(0,1,3)，
又因为E为A1−B1的中点，则E(2,2,3)，
则B1E=(2,−2,0)，B1D=(0,−3,−3)，CE=(2,−1,3)，
设平面DEB1的法向量n=(x,y,z)，则B1E⋅n=2x−2y=0B1D⋅n=−3y−3z=0，
令x=1，则y=1，z=−1，则n=(1,1,−1)，
设直线CE与平面DEB1所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|CE⋅n||CE||n|=2 14× 3= 4221．
故选：D．
以点A为原点，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，平面ABCD内垂直于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线CE与平面DEB1所成角的正弦值即可．
本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系和直线与平面所成的角，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A：a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−12b=(0,−12,12)，对；
B：在OP=23OA−16OB+12OC中23−16+12=1，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当a，b同向共线时a⋅b>0也成立，但a与b夹角不为锐角，错；
D：由m=−2n，即m//n，故l⊥α，对．
故选：ABD．
A，投影向量定义求a在b上的投影向量；B，由空间向量共面的推论判断；C，由a，b同向共线即可判断；D，由m=−2n即可判断．
本题主要考查空间向量的相关知识，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：当组成四位数时，我们要做的是从这6个数中取4个．
选取以后，不包含0的取法有C54=5种，此时有4!=24种排列方式；
包含0的取法有C53=10种，此时要保证首位不为0，故只有4!−3!=24−6=18种排列方式．
所以总共能组成的四位数有5⋅24+10⋅18=300个，A错误；
当组成5的倍数的五位数时，我们需要组成末位是0或5的五位数．
如果末位数是0，则剩下四位可以任意从1，2，3，4，5中选择并任意排列，此时有C54⋅4!=5⋅24=120个；
如果末位数是5，则剩下四位可以任意从0，1，2，3，4中选择，但排列时0不能排在首位．
而不包含0和包含0的选择方式各有C44=1种和C43=4种，故此时有1⋅4!+4⋅(4!−3!)=24+4⋅18=96个．
所以总共能组成5的倍数的五位数有120+96=216个，B正确；
当组成比1325大的四位数时，以2，3，4，5开头的有4⋅C53⋅3!=4⋅10⋅6=240个，
以14，15开头的有2⋅C42⋅2!=2⋅6⋅2=24个，
以134，135开头的有2⋅C31⋅1!=2⋅3⋅1=6个，
所以总共能组成比1325大的四位数有240+24+6=270个，C正确；
当组成比2301小的四位数时，以1开头的有1⋅C53⋅3!=1⋅10⋅6=60个，以20，21开头的有2⋅C42⋅2!=2⋅6⋅2=24个，
所以总共能组成比2301小的四位数有60+24=84个，从而2301是从小到大排列的第85个数，D正确．
故选：BCD．
对是否包含0进行分类讨论即可求解A，B选项；而对于C，D选项，我们需要对四位数的开头若干位进行分类讨论，从而得到比某个特定数大或比某个特定数小的选取方式个数．
本题考查分类计数原理的运用，排列组合的简单应用，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O为AC的中点，
连接OE，∵E为PC的中点，则OE为△PAC的中位线，得PA/​/OE，
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA/​/平面BDE，故A正确；
若PC⊥平面BDE，则PC⊥OE，
又PA/​/OE，∴PC⊥PA，可得PA2+PC2=AC2，
而PA=PC=2，AC= AB2+BC2= 2，不满足PA2+PC2=AC2，
∴PC⊥平面BDE错误，故B错误；
由已知求得PO= 22−( 22)2= 142，则V1=13×1×1× 142= 146，
V2=13×12×1×1× 144= 1424，∴V1：V2=4：1，故C正确；
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则O(0,0,0)，B(0, 22,0)，E(− 24,0, 144)，
P(0,0, 142)，C(− 22,0,0)．
OE=(− 24,0, 144)，OB=(0, 22,0)，PB=(0, 22,− 142)，
PC=(− 22,0,− 142)，
设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)．
由n⋅OE=− 24x+ 144z=0n⋅OB= 22y=0，取x= 7，得n=( 7,0,1)，
则sinα=|n⋅PB||n|⋅|PB|= 1422 2×2= 78，sinβ=|n⋅PC||n|⋅|PC|= 142 2×2= 74，
∴sinα：sinβ=1：2，故D正确．
故选：ACD．
证明直线与平面平行判断A；利用反证法说明B错误；分别求出多面体的体积判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角判断D．
本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属中档题．
12.【答案】60°
【解析】解：因为异面直线AD与BC成60°角，则AD与BC夹角为60°或120°，
又∵AB+BC+CD+DA=0，∴AB+CD=−(BC+DA)．
两边平方，得AB2+CD2+2⋅AB⋅CD=BC2+DA2+2⋅BC⋅DA，
即4+1+2×2×1×cs〈AB,CD〉=1+9+2×1×3×12，
或4+1+2×2×1×cs〈AB,CD〉=1+9+2×1×3×(−12)，
∴cs〈AB,CD〉=12(或cs〈AB,CD〉=2舍去)．
即AB与CD夹角为60°，所以异面直线AB与CD所成角为60°．
故答案为：60°．
由异面直线AD与BC成60°角，可知AD与BC夹角为60°或120°，由AB+BC+CD+DA=0，得出AB+CD=−(BC+DA)，可得出(AB+CD)2=(BC+DA)2，化简后可求得AB⋅CD的值，利用空间向量的数量积可计算出cs的值，进而可得出异面直线AB与CD所成角的大小．
本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】[12,+∞)
【解析】解：y′=1x+2ax−2，x∈(0,+∞)，
∵曲线y=lnx+ax2−2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，
∴y′=1x+2ax−2≥0在(0,+∞)上恒成立，
∴a≥1x−12x2=2x−12x2恒成立，x∈(0,+∞)．
令f(x)=2x−12x2，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−xx3，
∴当00，当x>1时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴当x=1时，f(x)=2x−12x2取得最大值f(1)=12，
∴a≥12．
故答案为[12,+∞)．
由题意可知y′≥0在(0,+∞)上恒成立，分离参数得a≥1x−12x2=2x−12x2，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．
本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．
14.【答案】125
【解析】解：T(5,4)，即n=5，k=4，如图，
在单位圆上有5个颜色不同的点，由4条边连接起来，每条边有2个端点，
∴4条边一共有8个端点，
∵从任意一点出发，沿着这边可以达到任意一点，
∴每一点必定会作边，至少一条边的端点，
∴可能出现的情形有三种情形，按照5个点可能同时做几条边的公共端点来分情况讨论，
情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有A552=60种，
情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，有A552=60种；
情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有5种．
综上，T(5,4)=60+60+5=125．
故答案为：125．
利用新定义，结合排列组合，分情况讨论能求出结果．
本题考查简单的合情推理、根据问题的特征将其转化等价的排列问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)因为b=(1,0,2)，c=(1, 3,2)，
所以b−c=(0,− 3,0)，
又因为a=(m,2 3,6)，
所以a⋅(b−c)=2 3×(− 3)=−6．
(2)因为b=(1,0,2)，c=(1, 3,2)，
所以cs〈b,c〉=b⋅c|b||c|=1+4 1+4× 1+3+4= 104．
(3)因为a=(m,2 3,6)，b=(1,0,2)，
所以a−b=(m−1,2 3,4)，
所以|a−b|2=(m−1)2+(2 3)2+42=(m−1)2+28，
当m=1时，|a−b|2取得最小值28，则|a−b|最小值为2 7．
【解析】(1)根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；
(2)根据空间向量夹角公式直接计算即可；
(3)根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，
因为函数f(x)=x3+ax2+bx−1在x=1处切线方程为：8x+y−1=0，
所以f(1)=1+a+b−1=−7f′(1)=3+2a+b=−8，解得a=−4b=−3，
所以f(x)=x3−4x2−3x−1；
(2)f′(x)=3x2−8x−3=(3x+1)(x−3)，
当−1≤x<−13或30，当−13所以函数f(x)在[−1,−13),(3,4]上递增，在(−13,3)上递减，
又f(−1)=−3,f(−13)=−1327,f(3)=−19,f(4)=−13，
所以f(x)max=f(−13)=−1327,f(x)min=f(3)=−19．
【解析】(1)先对函数求导，根据切线方程可得f(1)=−7f′(1)=−8，即可得解；
(2)利用导数求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，从而可得答案．
本题主要考查了导数的几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OM，OF，

由于EF/​/平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以EF/​/AB，又O为AC的中点，点M为BC中点，
所以OM//AB//EF，OM=12AB=EF，
所以四边形OMEF为平行四边形，
所以EM//OF，而EM⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，
所以EM/​/平面BDF；
(2)解：由(1)知OF=EM=2，取AD中点为N，连接FN，ON，BN，
由题意知△ADF是边长为2的正三角形，在△ONF中，FN= 3,ON=1,OF=2，
则FN2+ON2=OF2，故ON⊥FN，
又△ADF是边长为2的正三角形，
所以AD⊥FN，又AD∩ON=N，AD，ON⊂平面ABCD，
所以FN⊥平面ABCD，BN⊂平面ABCD，
所以FN⊥BN，又∠ABC=2π3，
所以∠BAD=π3，则△ABD为正三角形，
所以BN⊥AD，又AD∩FN=N，AD，FN⊂平面ADF，
所以BN⊥平面ADF，
以N为坐标原点，分别以NA，NB，NF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(0, 3,0),C(−2, 3,0),E(−12, 32, 3),F(0,0, 3),D(−1,0,0)，
则CB=(2,0,0),CE=(32,− 32, 3),AB=(−1, 3,0)，BD=(−1,− 3,0),DF=(1,0, 3)，
设平面BEC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CB=0m⋅CE=0，即2x=032x− 32y+ 3z=0，令z=1，则m=(0,2,1)，
设平面BDF的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅BD=0n⋅DF=0，即−a− 3b=0a+ 3c=0，令a= 3，则n=( 3,−1,−1)，
故cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=−2−1 5⋅ 5=−35，
设平面BDF与平面BEC所成二面角为θ，则θ∈[0,π]，
所以|csθ|=35，则sinθ= 1−cs2θ=45，
故平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值为45．
【解析】(1)连接AC交BD于点O，证明四边形OMEF为平行四边形，推出EM//OF，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
(2)取AD中点为N，连接FN，ON，BN，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面BDF和平面BEC的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解．
本题考查了空间几何体中线面位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)连接OM，MN，BM，因为M，N是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有∠MON=∠NOB=60°，又因为OM=ON=OB=2，
所以△MON，△NOB都为正三角形，
所以MN=NB=BO=OM，即四边形OMNB是菱形，
记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，
因为∠PON=60°，OP=ON，
所以三角形OPN为正三角形，
所以PQ= 3=12BM，所以PB⊥PM，
因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥PA，
因为PM∩PA=P，PM，PA⊂平面PAM，
所以PB⊥平面PAM；
解：(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，
由(1)知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，
所以PQ⊥底面ABM，
因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，
即MB、ON、PQ两两互相垂直，
以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则O(0,−1,0),M( 3,0,0),B(− 3,0,0),N(0,1,0)，A( 3,−2,0),P(0,0, 3)，
所以PM=( 3,0,− 3)，OP=(0,1, 3)，OB=(− 3,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅OP=0m⋅OB=0，所以y+ 3z=0− 3x+y=0，
令x=1，则y= 3，z=−1，所以m=(1, 3,−1)，
设直线PM与平面PAB的所成角为θ，
所以sinθ=|cs〈PM,m〉|=| 3+ 3 6× 5|= 105，
故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为 105．
【解析】(1)连接OM，MN，BM，可证Q为BM的中点且PQ=12BM，可得PB⊥PM，又PB⊥PA，由线面垂直的判定可证；
(2)以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用向量法可求解．
本题考查线面垂直的证明和直线与平面所成角，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x3−x+1，则f′(x)=3x2−1，
曲线f(x)在x0=−1处的切线为y−1=2(x+1)⇒x1=−1.5，且|x1−x0|≥0.5，
曲线f(x)在x1=−1.5处的切线为y+78=234(x+32)⇒x2=−3123，
且|x2−x1|<0.5，故用牛顿迭代法求方程f(x)=0满足精度ɛ=0.5的近似解为−1.35．
(2)由x>0，得f(x)−x3+x2lnx≥0⇒lnx+(a−2)x+ax2≥0，
设g(x)=lnx+(a−2)x+ax2，
则g′(x)=1x−(a−2)x2−2ax3=x2+(2−a)x−2ax3=(x+2)(x−a)x3，
∴当a≤0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
由于x→0时，g(x)→−∞，不合题意；
当a>0时，则有x∈(0,a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，
x∈(a,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
即g(x)≥g(a)=lna+(a−2)a+aa2=lna+a−1a，即f(x)≥0⇒lna+1−1a≥0．
易知g(a)单调递增，且g(1)=0，故f(x)≥0，g(a)≥g(1)，
∴a≥1，
∴a的取值范围[1,+∞)．
【解析】(1)利用牛顿迭代法计算可求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解；
(2)f(x)−x3+x2lnx≥0⇒lnx+(a−2)x+ax2≥0，设g(x)=lnx+(a−2)x+ax2，求导判断g(x)的单调性，可求a的取值范围．
本题考查阅读理解能力，考查导数的综合运用，属中档题．