2021年湖北省荆门市中考数学真题试卷及答案解析（word版）

这是一份2021年湖北省荆门市中考数学真题试卷及答案解析（word版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2021的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣D．
2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）
A．传B．国C．承D．基
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．55°
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)
11．计算：|1﹣|+（）﹣1+2cs45°+（﹣1）0＝ ．
12．把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
15．关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 ．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列．
三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)
17．（8分）先化简，再求值：•（﹣），其中x＝3﹣．
18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．
20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
2021年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)
1．2021的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣D．
【分析】先求出2021的相反数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021，
﹣2021的倒数是﹣，
故选：C．
2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿
【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【解答】解：数据1.102×108用科学记数法可表示为：1.102×108＝110200000＝1.012亿，
故选：B．
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）
A．传B．国C．承D．基
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“传”与“因”是相对面，
“承”与“色”是相对面，
“红”与“基”是相对面．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．
故选：A．
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．55°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，
故选：B．
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的坐标公即可得出答案．
【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正确，
由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，
∴2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，
∴①正确，
由a（m+1）﹣b+c＞0得a﹣b+c＞﹣am，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，而a＜0，m＜0，
∴﹣am＜0＜a﹣b+c，
∴③正确，
若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴④正确，
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)
11．计算：|1﹣|+（）﹣1+2cs45°+（﹣1）0＝ 2+2 ．
【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2+2×+1
＝﹣1+2++1
＝2+2．
12．把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 x（x+3）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），
故答案为：x（x+3）（x﹣1）．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （，1） ．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 2﹣ ．
【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cs60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
15．关于x的不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是 5≤a＜6 ．
【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式﹣（x+a）＜3，得：x＞a﹣3，
解不等式≥x﹣1，得：x≤4，
∵不等式组有2个整数解，
∴2＜a﹣3≤3，
解得5≤a＜6．
故答案为：5≤a＜6．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 64 行第 5 列．
【分析】根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可以得到2021在图中的位置．
【解答】解：由图可知，
第一行1个数字，
第二行2个数字，
第三行3个数字，
…，
则第n行n个数字，
前n行一共有个数字，
∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，
∴2021是表中第64行第5个列，
故答案为：64，5．
三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)
17．（8分）先化简，再求值：•（﹣），其中x＝3﹣．
【分析】先将括号内通分化简，然后约分代入x的值求解．
【解答】解：（﹣）
＝[﹣]
＝[﹣]
＝•
＝，
把x＝3﹣代入原式得：
＝＝＝3+2．
18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
【分析】（1）由条形图得出一班比赛的人数为20人，则二班参赛人数为20人，即可解决问题；
（2）由加权平均数定义和中位数定义分别求解即可；
（3）画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由条形图可知，一班比赛的人数为：4+9+5+2＝20（人），
∵两个班参加比赛的人数相同，
∴二班参赛人数为20人，
∴这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数为：20×10%+20×35%＝9（人）；
（2）一班成绩的平均数为：（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），
由题意得：二班成绩的中位数为80分；
（3）∵二班成绩A等的都是女生，
∴二班成绩A等的人数为：20×10%＝2（人），
把一班成绩A等的2个男生分别记为A、B，其他成绩A等的4个女生分别记为C、D、E、F，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，
∴抽取的2人中至少有1个男生的概率为＝．
19．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．
【分析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，FH⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝∠F，从而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可证明CH＝BE；
（2）连接DF，过F作FP⊥CD于P，证明四边形PCHF是正方形，可得PF＝CP＝BE＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF中，得DF＝．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）连接DF，过F作FP⊥CD于P，如图：
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四边形PCHF是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四边形PCHF是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF中，DF＝，
∴DF＝＝．
20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
23．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
（3）根据根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+＞60，0＜x≤55时，函数单调递增，只有x＝55时周销售利润最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+＞60，
∴0＜x≤55时，函数单调递增，
∴只有x＝55时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
【分析】（1）运用待定系数法设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，即可求得答案；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，得出答案；
（3）运用待定系数法求出直线BC、AC、PQ的解析式，设P（m，m2﹣2m﹣3），联立方程组，得：，求得Q（，），再运用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，
得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（3，﹣3），
在Rt△ABO′中，|AO′|＝＝＝5，
∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，
∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q位于直线AD与直线BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的解析式可设为y＝﹣3x+b，
由（1）可设P（m，m2﹣2m﹣3），代入直线PQ的解析式，
得：m2﹣2m﹣3＝﹣3m+b，
解得：b＝m2+m﹣3，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+m2+m﹣3，
联立方程组，得：，
解得：，
∴Q（，），
由题意：S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PAB﹣S△QAB，
∵P，Q都在第四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴S＝|AB|•（﹣m2+2m+3）﹣|AB|•（﹣）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
由题意，得0＜m＜3，
∴m＝时，S最大，
即P（，﹣）时，S有最大值．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100