高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数4.2 对数导学案

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1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；
2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；
3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.
1.数学抽象：对数函数的图像与性质；
2.逻辑推理：图像平移问题；
3.数学运算：求函数的定义域与值域；
4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；
5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.
重点：对数函数的图象和性质；
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．
预习导入
阅读课本132-133页，填写。
1．对数函数的图象及性质
[点睛] 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
2．反函数
指数函数__________和对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)互为反函数．
1.若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值可能是 ( )
A.0.5B.2C.eD.π
2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是( )
A.y=5xB.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y=
3.函数的f(x)=lga(x-2)-2x的图象必经过定点 ..
4.(1)函数f(x)= 的反函数是 .
(2)函数g(x)=lg8x的反函数是 .
题型一 对数函数的图象
例1 函数y=lg2x,y=lg5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lg12x,y=lg15x,y=lg110x的图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
跟踪训练一
1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
题型二 比较对数值的大小
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)lg23.4，lg28.5；
(2)lg0.31.8，lg0.32.7；
(3)lga5.1，lga5.9(a＞0，且a≠1)．
跟踪训练二
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8； (2)lg0.56，lg0.54；
(3)lg2与lg2; (4)lg23与lg54.
题型三 比较对数值的大小
例3 (1)已知lgaeq \f(1,2)＞1，求a的取值范围；
(2)已知lg0.7(2x)＜lg0.7(x－1)，求x的取值范围．
跟踪训练三
1．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
题型四 有关对数型函数的值域与最值问题
例4 求下列函数的值域．
(1)y＝lg2(x2＋4)；(2)y＝lg (3＋2x－x2)．
跟踪训练四
1．已知f(x)＝2＋lg3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
2．已知lgm＜lgn＜0，则( )
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
3．函数f(x)＝|lgx|的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
4．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
6．比较大小：
(1)lg22______lg2eq \r(3)；
(2)lg3π______lgπ3.
7．不等式lg (5＋x)8．求函数y＝lg (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
答案
小试牛刀
1-2.AD
3.(3,-6)
4.(1)f(x)=lg23x (2)g(x)=8x
自主探究
例1 【答案】见解析
【解析】(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=lg5x,③对应函数y=lg2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=lg12x,y=lg15x,y=lg110x的图象如图所示.
(3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=lg110x,y=lg5x与y=lg15x,y=lg2x与y=lg12x的图象分别关于x轴对称.
跟踪训练一
1、【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
【解析】先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
图① 图② 图③
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
例2 【答案】(1) lg23.4＜lg28.5 (2) lg0.31.8＞lg0.32.7 （3）当a＞1时，lga5.1＜lga5.9；当0＜a＜1时，lga5.1＞lga5.9.
【解析】(1)考察对数函数y＝lg2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是lg23.4＜lg28.5.
(2)考察对数函数y＝lg0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是lg0.31.8＞
(3)当a＞1时，y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，于是lga5.1＜lga5.9；
当0＜a＜1时，y＝lgax在(0，＋∞)上是减函数，于是lga5.1＞lga5.9.
跟踪训练二
1.【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）lg0.56＜lg 0.54（3）lg2【解析】(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.
(2)因为函数y＝lg0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以lg0.56＜lg 0.54.
(3)由于lg2＝eq \f(1,lg2\f(1,3))，lg2＝eq \f(1,lg2\f(1,5)).
又∵对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(1,3)＞eq \f(1,5)，
∴0＞lg2 eq \f(1,3)＞lg2 eq \f(1,5)，∴eq \f(1,lg2\f(1,3))＜eq \f(1,lg2\f(1,5)).
∴lg2(4)取中间值1，
∵lg23＞lg22＝1＝lg55＞lg54，∴lg23＞lg54.
例3【答案】(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))； (2) (1，＋∞).
【解析】(1)由lgaeq \f(1,2)＞1得lgaeq \f(1,2)＞lgaa.
①当a＞1时，有a＜eq \f(1,2)，此时无解．
②当0＜a＜1时，有eq \f(1,2)＜a，从而eq \f(1,2)＜a＜1.
∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)∵函数y＝lg 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由lg0.72x＜lg0.7(x－1)
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
跟踪训练三
1．【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)
【解析】由题意知lga(3a－1)＞0＝lga1.
当a＞1时，y＝lgax是增函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1＞1，,3a－1＞0，))解得a＞eq \f(2,3)，∴a＞1；
当0＜a＜1时，y＝lgax是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1＜1，,3a－1＞0，))解得eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3).∴eq \f(1,3)＜a＜eq \f(2,3).
综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).
例4 【答案】(1) [2，＋∞)； (2)[－2，＋∞)．
【解析】(1)y＝lg2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2，
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u＞0，所以0＜u≤4.
又y＝lgu在(0，＋∞)上为减函数，
所以lgu≥lg4＝－2，
所以y＝lg (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
跟踪训练四
1．【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.
【解析】y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋lg3x)2＋lg3x2＋2＝(lg3x)2＋6lg3x＋6＝(lg3x＋3)2－3.
∵f(x)的定义域为[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))
∴1≤x≤3，∴0≤lg3x≤1，∴6≤y≤13.
∴当x＝3时，y取得最大值，为13.
当堂检测
1-5．BDDDA
6．(1)＞ (2)＞
7．{x|－28．【答案】函数y＝lg (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝0.
【解析】要使y＝lg (1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．
令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝lgt减小，
∴x∈(－1,0]时，y＝lg (1－x2)是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝lg (1－x2)是增函数．
故函数y＝lg (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝lg (1－02)＝0.
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图 象
a的范围
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域
__________
值域
R
定点
__________，即x＝_______时，y＝_________
单调性
在(0，＋∞)上是__________
在(0，＋∞)上是__________