人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计，共43页。







.1.对数函数的图像和性质








2.对数型复合函数的单调性


复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.


对于对数型复合函数y＝lgaf(x)来说，函数y＝lgaf(x)可看成是y＝lgau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．


3.数型复合函数的值域


对于形如y＝lgaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：


(1)分解成y＝lgau，u＝f(x)两个函数；


(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；


(3)求u的取值范围；


(4)利用y＝lgau的单调性求解．








例题解析














题型一 函数的定义域、值域


求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.


例1求下列函数的定义域：(1)； (2).


























[跟踪训练]1.求下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且).



































[跟踪训练]2.函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(lg2x)的定义域.























例2 求下列函数的值域：


(1)y＝lg2(x2＋4)；(2)y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
































[跟踪训练]3 函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )


A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)


C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)





题型二 解对数不等式


注意：两类对数不等式的解法


(1)形如lgaf(x)

①当0g(x)>0；②当a>1时，可转化为0

(2)形如lgaf(x)

①当0ab；②当a>1时，可转化为0

例3 已知lg0.3(3x)

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))





[跟踪训练]4 不等式lgeq \f(1,2)(2x＋3)

A.(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))








题型三 对数型复合函数的单调性


1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．


例4证明函数上是增函数.





























例5 求函数y＝lg0.3(3－2x)的单调区间；























例6 讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性．





























[跟踪训练]5 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )


A.(－∞，－2) B.(－∞，1)


C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)


（2）函数f(x)＝lgeq \f(1,3)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.





























题型四 对数型复合函数的奇偶性


注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．


例7 判断下列函数的奇偶性.


(1) (2).









































例8 已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)(a>0且a≠1)．


(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
































[跟踪训练]6 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )


A．奇函数，且在(0,1)上是增函数


B．奇函数，且在(0,1)上是减函数


C．偶函数，且在(0,1)上是增函数


D．偶函数，且在(0,1)上是减函数


题型五 对数函数的综合应用


例9已知函数，.


（1）若，求函数的单调递减区间；


（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.





























例10已知函数，（且）.


（1）求的定义域及的定义域.


（2）判断并证明的奇偶性.






































例11已知函数.


(1)当时,求；


(2)求解关于的不等式；


(3)若恒成立,求实数的取值范围.












































反思总结











复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).








随堂检测








1.思考辨析


函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是( )


A. B. (-∞,-1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)


若lga23<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )


A. (0,23)B. (1,+∞)


C. (0,23)⋃(1,+∞)D. (23,1)


设函数f(x)=lg2(2x−1)，则方程f(2x)=f−1(x)的解是( )


A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4


已知函数f(x)=lg2mx2+mx+1的值域是R，则实数m的取值范围为( )


A. 0

函数y=1−lgx1+lgx(x≥1)的值域是 ( )


A. [−1,1]B. [−1,1)C. (−1,1]D. (−1,1)


“m∈{1,2}”是“lnm<1”成立的( )


A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件


C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件


已知，则4a+b的最小值等于 ( )


A. 13B. 15C. 18D. 11


已知a=lg20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是( )


A. a

设a=213，b=lg32，c=csπ，则( )


A. c>b>aB. a>c>bC. c>a>bD. a>b>c


已知a=lg25，b=2−0.2，c=0.2−1.2，则( )


A. a

已知函数f(x)=(13)x和函数g(x)=lg13x，则函数f(x)与g(x)的图象关于( )


A. x轴对称B. y轴对称


C. 原点对称D. 直线y=x对称


已知a>1，函数y=a-x与y=lga(-x)的图象只可能是( )


A. B.


C. D.


不等式lg0.25(x−1)>1的解集是______．


给出下列命题：


①直线x=a与函数y=f(x)的图像至少有两个公共点;


②函数y=x−2在(0,+∞)上是单调递减函数;


③幂函数的图像一定经过坐标原点;


④函数f(x)=ax−2(a>0,a≠1)的图像恒过定点(2,1);


⑤设函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)的图像过点(1,2)，则函数y=f−1(x)−1的图像一定过点(2,0)．


其中，真命题的序号为 ．


设函数f(x)=lgx，则函数的定义域是__________，若f(2x)>f(2)，则实数x的取值范围是__________．


x1x2分别是方程x+lgx=3和方程x+10x=3的一个根，则x1+x2=______．


已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明；


(3)解不等式：lga(1-x)>lga(x+2)．




















已知函数f(x)=|lgax|(a>0,a≠1)．


(1)若f(2)=12，求实数a的值；


(2)若0

(3)若函数f(x)在[12,3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．

















已知函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)．


(1)若f(a)+f(2a)=3，求实数a的值；(2)若f(2)>f(3)+2，求实数a的取值范围．
































课后练习














1.设a＝20.3，b＝0.32，c＝lg20.3，则a、b、c的大小关系是( )


A．a

C．c




2.函数f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x2－3x－10)的单调递增区间为( )


A．(－∞，－2) B．(－∞，eq \f(3,2))


C．(－2，eq \f(3,2))D．(5，＋∞)


3.函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )


A.0 B.1


C.2 D.a


4.函数f(x)＝lga[(a－1)x＋1]在定义域上( )


A.是增函数 B.是减函数


C.先增后减 D.先减后增


5．已知函数f(x)＝ln(eq \r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．


6.讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性.




















7.已知函数f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)(a>0，且a≠1).


(1)求f(x)的定义域；


(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.





























8.若函数y＝lga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )


A．(0,1)B．(1,2)


C．(0,2)D．(1，＋∞)


9.函数f(x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)＋x))是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数


10.设a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则( )


A.c>b>a B.b>c>a


C.a>c>b D.a>b>c


11.若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝lg(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是________.


12.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－2）x－1，x≤1，,lgax，x＞1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.


13..已知f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.


14. 已知f(x)＝lneq \f(1－mx,x－1)是奇函数．


(1)求m；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．


























15.已知函数f(x－1)＝lgeq \f(x,2－x).


(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．











题型一 函数的定义域、值域


求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.


例1求下列函数的定义域：


(1)； (2).


思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.


解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；


(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.





[跟踪训练]1.求下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且).


解：(1)因为， 所以，


所以函数的定义域为(1，)(，2).


(2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k.


[1]当k≤0时，定义域为R；


[2]当k>0时，


(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；


(ii)若0

(iii)若a=2，则当0

为.





[跟踪训练]2.函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(lg2x)的定义域.


思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤lg2x≤2得y=f(lg2x)的定义域为[，4].


例2 求下列函数的值域：


(1)y＝lg2(x2＋4)；


(2)y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．


(1)y＝lg2(x2＋4)的定义域为R.


∵x2＋4≥4，∴lg2(x2＋4)≥lg24＝2.∴y＝lg2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．


(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.


∵u>0，∴0

∴y＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．





[跟踪训练]3 函数f(x)＝lg2(3x＋1)的值域为( )


A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)


C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)


A [解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，


∴lg2(3x＋1)>lg21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．





题型二 解对数不等式


注意：两类对数不等式的解法


(1)形如lgaf(x)

①当0g(x)>0；


②当a>1时，可转化为0

(2)形如lgaf(x)

①当0ab；


②当a>1时，可转化为0

例3 已知lg0.3(3x)

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


A 解析 因为函数y＝lg0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x>0，,x＋1>0，,3x>x＋1，))解得x>eq \f(1,2).





[跟踪训练]4 不等式lgeq \f(1,2)(2x＋3)

A.(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))





D 解析 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))解得eq \f(6,5)







题型三 对数型复合函数的单调性


1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．


2．


例4证明函数上是增函数.


思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.


证明：设，且x1

则





又∵y=lg2x在上是增函数





即f(x1)

∴函数f(x)=lg2(x2+1)在上是增函数.


例5 求函数y＝lg0.3(3－2x)的单调区间；


解 (1)由3－2x>0，解得x







例6 讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性．


注意：求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．





[解析] 由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－eq \f(1,3)}．


当a>1时，若x>1，∵y＝lgau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，


∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数．


若x<－eq \f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1为减函数，


∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数．


当01，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数，


若x<－eq \f(1,3)，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数．





[跟踪训练]5 (1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )


A.(－∞，－2) B.(－∞，1)


C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)


（2）函数f(x)＝lgeq \f(1,3)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.


（1）D 解析 要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.


(2)解 令t＝3x2－ax＋7，则y＝lgeq \f(1,3)t单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝eq \f(a,6)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)≤－1，,10＋a>0，))


解得－10




题型四 对数型复合函数的奇偶性


注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．


例7 判断下列函数的奇偶性.


(1) (2).


(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.


解：由


所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称


又


所以函数是奇函数；


总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.





(2)解：由


所以函数的定义域为R关于原点对称


又


即f(-x)=-f(x)；所以函数.


总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.





例8 已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)(a>0且a≠1)．


(1)求f(x)的定义域；


(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．





(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．


(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．∴f(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)


＝－[lga(1＋x)－lga(1－x)]＝－f(x)，


∴函数f(x)为奇函数．





[跟踪训练]6 设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )


A．奇函数，且在(0,1)上是增函数


B．奇函数，且在(0,1)上是减函数


C．偶函数，且在(0,1)上是增函数


D．偶函数，且在(0,1)上是减函数


[解析] 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝ln(eq \f(2,1－x)－1)，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．





题型五 对数函数的综合应用


例9已知函数，.


（1）若，求函数的单调递减区间；


（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.


（1）若，,


函数的定义域为或，


由于函数是定义域上的增函数，


所以的单调递减区间等价于函数或的减区间，


或的减区间为，


所以函数的单调递减区间.


（2）由题得在R上恒成立，


当时，2＞0恒成立，所以满足题意；


当时，，所以.


综合得





例10已知函数，（且）.


（1）求的定义域及的定义域.


（2）判断并证明的奇偶性.





（1）函数>0


函数的定义域为


函数的定义域是


（2）是奇函数


证明：函数的定义域为，定义域关于原点对称





（或证明），是奇函数











例11已知函数.


(1)当时,求；


(2)求解关于的不等式；


(3)若恒成立,求实数的取值范围.


【解析】


（1）当时，


（2）由得：


或


当时，解不等式可得：或


当时，解不等式可得：或


综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为


（3）由得：


或


①当时，，


或，解得：


②当时，，


或，解得：


综上所述：的取值范围为








反思总结











复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).








随堂检测








1.思考辨析





函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是( )


A. B. (-∞,-1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)


若lga23<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )


A. (0,23)B. (1,+∞)


C. (0,23)⋃(1,+∞)D. (23,1)


设函数f(x)=lg2(2x−1)，则方程f(2x)=f−1(x)的解是( )


A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4


已知函数f(x)=lg2mx2+mx+1的值域是R，则实数m的取值范围为( )


A. 0

函数y=1−lgx1+lgx(x≥1)的值域是 ( )


A. [−1,1]B. [−1,1)C. (−1,1]D. (−1,1)


“m∈{1,2}”是“lnm<1”成立的( )


A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件


C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件


已知，则4a+b的最小值等于 ( )


A. 13B. 15C. 18D. 11


已知a=lg20.3，b=0.31.3，c=21.3，则a，b，c的大小关系是( )


A. a

设a=213，b=lg32，c=csπ，则( )


A. c>b>aB. a>c>bC. c>a>bD. a>b>c


已知a=lg25，b=2−0.2，c=0.2−1.2，则( )


A. a

已知函数f(x)=(13)x和函数g(x)=lg13x，则函数f(x)与g(x)的图象关于( )


A. x轴对称B. y轴对称


C. 原点对称D. 直线y=x对称


已知a>1，函数y=a-x与y=lga(-x)的图象只可能是( )


A. B.


C. D.


不等式lg0.25(x−1)>1的解集是______．


给出下列命题：


①直线x=a与函数y=f(x)的图像至少有两个公共点;


②函数y=x−2在(0,+∞)上是单调递减函数;


③幂函数的图像一定经过坐标原点;


④函数f(x)=ax−2(a>0,a≠1)的图像恒过定点(2,1);


⑤设函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)的图像过点(1,2)，则函数y=f−1(x)−1的图像一定过点(2,0)．


其中，真命题的序号为 ．


设函数f(x)=lgx，则函数的定义域是__________，若f(2x)>f(2)，则实数x的取值范围是__________．


x1x2分别是方程x+lgx=3和方程x+10x=3的一个根，则x1+x2=______．


已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明；


(3)解不等式：lga(1-x)>lga(x+2)．

















已知函数f(x)=|lgax|(a>0,a≠1)．


(1)若f(2)=12，求实数a的值；


(2)若0

(3)若函数f(x)在[12,3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．

















已知函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)．


(1)若f(a)+f(2a)=3，求实数a的值；


(2)若f(2)>f(3)+2，求实数a的取值范围．




















1.D


解：由x2−2x−8>0，得x<−2或x>4，


故f(x)的定义域为−∞,−2∪4,+∞，


令t=x2−2x−8，则，


内函数t=x2−2x−8在区间(4,+∞)上为增函数，在区间上为减函数，


外函数在t∈(0,+∞)内单调递增，


∴函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)．


2.C


解：∵lga23<1=lgaa，


或


得01．


3.A


解：由y=fx=lg22x−1得2x−1=2y，


所以2x=2y+1，


所以x=lg22y+1，


所以f−1x=lg22x+1，


因为f(2x)=f−1(x)，


所以lg222x−1=lg22x+1，


所以22x−1=2x+1，


即2x2−2x−2=0，


解得2x=2或2x=−1(舍去)，


解得x=1．


4.C


解：∵函数f(x)=lg2mx2+mx+1的值就是R，


∴t=mx2+mx+1可以取遍所有正数，


①m=0时，不满足值域为R，


②m≠0时，需m>0Δ=m2−4m≥0


解得m≥4，


综上所述m≥4．





5.C


解：由题意：函数y=1−lgx1+lgx=2−(1+lgx)1+lgx=−1+2lgx+1


∵2lgx+1≠0


∴y≠−1


又∵x≥1，


∴0<2lgx+1≤2．


则：y=−1+2lgx+1∈(−1,1]，


所以得函数y的值域为(−1,1]，


6.A


解：对数函数的性质知ln1=0，ln2

反过来由lnm<0得到0

“m∈{1,2}”是“lnm<1”成立的充分不必要条件，


故选A．


7.C


解：由lg3(a−1)+lg3(b−2)=2，得a−1>0，b−2>0，且(a−1)(b−2)=9，


所以4a+b=4(a−1)+(b−2)+6


⩾24(a−1)(b−2)+6=24×9+6=18，


当且仅当4(a−1)=b−2且(a−1)(b−2)=9，即a=52，b=8时等号成立


8.A


解：∵lg20.32，


∴a

故选：A．


由lg20.3<0,0<0．31.3<1,21.3>2，即可得出a，b，c的大小关系．


9.D


解：a=213>1，b=lg32∈(0,1)，c=csπ=−1，


故a>b>c．


10.C








11.D


解：因为函数f(x)=(13)x和函数g(x)=lg13x互为反函数，


所以其图象关于直线y=x对称．


12.C


解：∵a>1，


∴函数y=a−x=1ax是减函数，


∵函数y=lga(−x)的定义域为(−∞,0)，且在定义域内为减函数，


∴结合四个选项的函数图象，得到选项C的图象符合要求．


13.(1,1.25)


解：不等式lg0.25(x−1)>1，即lg0.25(x−1)>，


∴0

14.②④⑤


解：对于①，由函数的概念知，直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个公共点，所以①错误;


对于②，因为−2<0，所以由幂函数的性质知，函数y=x−2在(0,+∞)上是单调递减函数，所以②正确;


对于③，y=x−1是幂函数，定义域为{x|x≠0}，所以图象不过原点，所以③错误;


对于④，当x=2时，f(x)=1，所以函数f(x)=ax−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1)，所以④正确;


对于⑤，因为原函数和反函数的图象关于直线y=x对称，函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)的图象过点(1,2)，则函数y=f−1(x)的图象过点(2,1)，将函数y=f−1(x)的图象向下平移1个单位得函数y=f−1(x)−1的图象，所以函数y=f−1(x)−1的图象一定过点(2,0)，所以⑤正确．


故答案为②④⑤．


15.(0,+∞); (1,+∞)


解：函数f(x)=lgx的定义域为(0,+∞)；


由f(2x)>f(2)，得lg(2x)>lg2，得2x>2，即x>1．


∴实数x的取值范围是(1,+∞)．


故答案为：(0,+∞)；(1,+∞)．


由对数式的真数大于0可得函数定义域，求解对数不等式可得满足f(2x)>f(2)的实数x的取值范围．


16.3


解：方程方程x+lgx=3和方程x+10x=3的可化为方程lgx=3−x和方程10x=3−x的，令f(x)=lgx，g(x)=10x，y=3−x，画图：





显然x1是函数f(x)=lgx与y=3−x图象的交点的横坐标，x2是函数g(x)=10x与y=3−x的图象的交点的横坐标，由于函数f(x)=lgx，与g(x)=10x的图象关于y=x对称，直线 y=3−x也关于y=x对称，且直线y=3−x与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y=x对称．又因为两个交点的中点是 y=3−x与y=x的交点，即(32,32)，所以x1+x2=3．


故填3．


设f(x)=lgx，g(x)=10x，y=3−x，方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根的问题用图象的交点来解释，


利用图象研究方程的根一般都是针对不需要或不能将根求出的题型，其基本思想是将判断方程根的个数问题转化为判断两个函数图象的交点个数问题．本题利用对数函数与指数函数互为反函数，而互为反函数的图象关于直线y=x对称，数形结合，富有创意．


17.解：(1)∵函数f(x)=(a2−3a+3)ax是指数函数，a>0且a≠1，


∴a2−3a+3=1，可得a=2或a=1(舍去)，


∴f(x)=2x；


(2)F(x)是奇函数，


证明如下：


由(1)得F(x)=2x−2−x，定义域为R，


∴F(−x)=2−x−2x，


∴F(−x)=−F(x)，


∴F(x)是奇函数；


(3)由(1)得a=2，不等式lga(1−x)>lga(x+2)，


即：lg2(1−x)>lg2(x+2)，


以2为底的对数函数在定义域上单调递增，


所以1−x>x+2>0，


∴−2

∴解集为{x|−2

18.解：(1)依题意，|lga2|=12，即lga2=12或lga2=−12，


解得a=4或a=14；


(2)依题意，|lgax1|=|lgax2|，又0

(3)显然当x=1时，函数f(x)=|lgax|取得最小值为0，则函数f(x)在[12,3]的最大值为2，


若f(12)=|lga12|=2，解得a=22或a=2；


若f(3)=|lga3|=2，解得a=33或a=3；


结合(2)可知，只有a=33或a=3满足题意．


19.解：(1)由f(a)+f(2a)=3


得1+lga(2a)=3，即lga(2a)=2，


故lga2=1，所以a=2;


(2)由f(2)>f(3)+2得lga2>lga3+2，


即，


当a>1时，a2<23，无解；


当023，得63

综上，实数a的取值范围为63







课后练习














1.设a＝20.3，b＝0.32，c＝lg20.3，则a、b、c的大小关系是( )


A．a

C．c




2.函数f(x)＝ eq lg\s\d8(\f(1,2)) (x2－3x－10)的单调递增区间为( )


A．(－∞，－2) B．(－∞，eq \f(3,2))


C．(－2，eq \f(3,2))D．(5，＋∞)


3.函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )


A.0 B.1


C.2 D.a


4.函数f(x)＝lga[(a－1)x＋1]在定义域上( )


A.是增函数 B.是减函数


C.先增后减 D.先减后增


5．已知函数f(x)＝ln(eq \r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________．


6.讨论函数f(x)＝lga(3x2－2x－1)的单调性.











7.已知函数f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)(a>0，且a≠1).


(1)求f(x)的定义域；


(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.




















8.若函数y＝lga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )


A．(0,1)B．(1,2)


C．(0,2)D．(1，＋∞)


9.函数f(x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)＋x))是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数


10.设a＝lg36，b＝lg510，c＝lg714，则( )


A.c>b>a B.b>c>a


C.a>c>b D.a>b>c


11.若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝lg(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是________.


12.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－2）x－1，x≤1，,lgax，x＞1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.


13..已知f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________.


14. 已知f(x)＝lneq \f(1－mx,x－1)是奇函数．


(1)求m；


(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．

















15.已知函数f(x－1)＝lgeq \f(x,2－x).


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．

















【参考答案】


1. C [解析] a＝20.3>20＝1，b＝0.32∈(0,1)，c＝lg20.3

2. A [解析] 由题意，得x2－3x－10>0，


∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，


函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．


C 解析 ∵0＜a＜1，∴f(x)＝lgax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.


4.A 解析 当a>1时，y＝lgat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0

5.－2 解析 由f(a)＝ln(eq \r(1＋a2)－a)＋1＝4，得ln(eq \r(1＋a2)－a)＝3，所以f(－a)＝ln(eq \r(1＋a2)＋a)＋1＝－lneq \f(1,\r(1＋a2)＋a)＋1＝－ln(eq \r(1＋a2)－a)＋1＝－3＋1＝－2.


6.解 由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＞1或x＜－\f(1,3))))).


则当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数.


若x＜－eq \f(1,3)，则u＝3x2－2x－1为减函数.∴f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数.


当0＜a＜1时，


若x＞1，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为减函数；


若x＜－eq \f(1,3)，则f(x)＝lga(3x2－2x－1)为增函数.


7.解 (1)要使此函数有意义，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1<0，,x－1<0，))


解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).


(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.


∵f(－x)＝lgaeq \f(－x＋1,－x－1)＝lgaeq \f(x－1,x＋1)＝－lgaeq \f(x＋1,x－1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.


f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x－1)))，


函数u＝1＋eq \f(2,x－1)在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，


所以当a>1时，f(x)＝lgaeq \f(x＋1,x－1)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0

8. B 令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.


根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝lga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝lgau为增函数，所以a>1.


综上可得1

9. A [解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．


又f(－x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)－x))＝lgeq \f(\r(x2＋1)＋x,\r(x2＋1)－x\r(x2＋1)＋x)＝lg(eq \r(x2＋1)＋x)＝lg(eq \f(1,\r(x2＋1)＋x))－1


＝－lgeq \f(1,\r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，


∴函数f(x)为奇函数．


10. D 解析 a＝lg36＝lg33＋lg32＝1＋lg32，


b＝lg510＝lg55＋lg52＝1＋lg52，


c＝lg714＝lg77＋lg72＝1＋lg72，


∵lg32>lg52>lg72，∴a>b>c，故选D.


11.(2，＋∞) 解析 由x∈(－2，－1)，得0

又lg(2a－3)(x＋1)<0，所以2a－3>1，解得a>2.





12. {a|2＜a≤3}解析 ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，


∴a的取值需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2＞0，,a＞1，,lga1≥a－2－1，))解得2＜a≤3.


13. (－4，4] 解析 二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝eq \f(a,2)，由已知，应有eq \f(a,2)≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))解得－4

14.[解析] (1)f(－x)＝lneq \f(1＋mx,－x－1)＝lneq \f(－1－mx,1＋x)，－f(x)＝－lneq \f(1－mx,x－1)＝lneq \f(x－1,1－mx).


∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


即lneq \f(－1－mx,1＋x)＝lneq \f(－1＋x,1－mx)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝1，,1＝－m，))∴m＝－1.


(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)知f(x)＝lneq \f(x＋1,x－1)＝ln(1＋eq \f(2,x－1))．任取x1，x2满足1＜x1＜x2，


∵(1＋eq \f(2,x1－1))－(1＋eq \f(2,x2－1))


＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)


由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，


∴(1＋eq \f(2,x1－1))－(1＋eq \f(2,x2－1))＞0，即1＋eq \f(2,x1－1)＞1＋eq \f(2,x2－1)＞0，


又y＝lnx为增函数，∴ln(1＋eq \f(2,x1－1))＞ln(1＋eq \f(2,x2－1))，


即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．


15. [解析] (1)令t＝x－1，则x＝t＋1.


由题意知eq \f(x,2－x)>0，即0

所以f(t)＝lgeq \f(t＋1,1－t).


故f(x)＝lgeq \f(x＋1,1－x)(－1

(2)lgeq \f(x＋1,1－x)≥lg(3x＋1)⇔eq \f(x＋1,1－x)≥3x＋1>0(－10，得x>－eq \f(1,3).因为－10.


由eq \f(x＋1,1－x)≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)，


即3x2－x≥0，x(3x－1)≥0，解得x≥eq \f(1,3)或x≤0，


又x>－eq \f(1,3)，－1

故原不等式的解集为(－eq \f(1,3)，0]∪[eq \f(1,3)，1)．





定义
形如（且）的函数叫做对数函数
定义域
值域
图像
性质
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
上是减函数
范围
当时，；


当时，
当时，；


当时，
定点
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数