高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数精品第一课时导学案

第四章 指数函数与对数函数

4.4对数函数

第1课时对数函数的概念

【课程标准】

1. 理解对数函数的概念、图像及性质。
2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题

【知识要点归纳】

1. 对数函数的概念

一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞) 

2.对数函数的图像和性质

【经典例题】

例1 指出下列函数哪些是对数函数？.

[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为              。

（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log2x B．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定

注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

例2　求下列函数的定义域.

(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；

(2)y＝log2(16－4x).

[跟踪训练]2  求下列函数的定义域．

(1)y＝；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．

注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.

例3　画出函数y＝lg|x－1|的图象.

例4 （1）函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)

(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)

(2)图象恒过定点坐标是________．

注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．

(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.

(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和.

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．下列函数是对数函数的是　　

A． B．，且 

C． D．

2．函数为对数函数，则等于　　

A．3 B． C． D．

3．函数的定义域是　　

A． B． C．，， D．，，

4．函数的定义域是　　

A． B．， C．， D．

5．已知，，，则　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

6．已知，，，将、、由小到大的顺序排列为　　．

7．已知且的图象过定点，点在指数函数的图象上，则　　．

8．已知函数，实数，满足（a）（b），则的值为　　．

三．解答题（共1小题）

9．设函数．

（1）求函数的定义域；

（2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．下列函数是对数函数的是　　

A． B．，且 

C． D．

【分析】根据对数函数的定义即可得出．

【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有为对数函数．

故选：．

【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．函数为对数函数，则等于　　

A．3 B． C． D．

【分析】由对数函数定义推导出，由此能求出．

【解答】解：函数为对数函数，

，解得，

，

．

故选：．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．

3．函数的定义域是　　

A． B． C．，， D．，，

【分析】令对数的真数大于0；分母非0，列出不等式组，求出函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，需满足

解得且

故选：．

【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示．

4．函数的定义域是　　

A． B．， C．， D．

【分析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．

【解答】解：要使有意义，则：；

；

的定义域为．

故选：．

【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性．

5．已知，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．

二．填空题（共3小题）

6．已知，，，将、、由小到大的顺序排列为　　．

【分析】由，即可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

7．已知且的图象过定点，点在指数函数的图象上，则　　．

【分析】求出定点，代入指数函数中，求出，得到．

【解答】解：由的任意性，时，，故且的图象过定点，

把代入指数函数，且，得，

所以，

故答案为：．

【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．

8．已知函数，实数，满足（a）（b），则的值为　1　．

【分析】由已知条件，不妨令，又是一个增函数，且（a）（b），故可，则，由此可得的值．

【解答】解：（a）（b），

．

不妨设，则由题意可得，

，，

，

，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题．

三．解答题（共1小题）

9．设函数．

（1）求函数的定义域；

（2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围．

【分析】（1）由真数大于0，可得，对 分类讨论即可求得定义域；

（2）对任意实数，方程总有解，等价于函数的值域为，由△即可求得的取值范围．

【解答】解：（1）由有意义，

可得，

当时，的定义域为；

当时，的定义域为；

当时，的定义域为．

（2）对任意实数，方程总有解，

等价于函数的值域为，

即能取遍所有正数即可，

所以△，，

实数的取值范围，．

【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，