2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：2.8　函数模型及函数的综合应用 Word版含解析【KS5U 高考】

2.8　函数模型及函数的综合应用

挖命题

【考情探究】

分析解读　　为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:

1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.

2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.

破考点

【考点集训】

考点一　函数的模型及实际应用

1.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsinx+φ.其中三个月份的月平均气温如下表:

则该地2月份的月平均气温约为　　　　℃,φ=　　　　. 

答案　-5;

考点二　函数的综合应用问题

2.动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是(　　)

答案　D　

3.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(　　)

A.5或8　　　　B.-1或5　　　　C.-1或-4　　　　D.-4或8

答案　D　

4.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)

A. f(x)在(0,2)单调递增    B. f(x)在(0,2)单调递减　　　　

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称  D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称

答案　C　

5.单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为f(n),则f(3)=　　　　. 

下面是关于f(n)的描述:

①f(n)=sin;

②f(n)的最大值为π;

③f(n)<f(n+1);

④f(n)<f(2n)≤2f(n).

其中正确结论的序号为　　　　.(请写出所有正确结论的序号) 

答案　;①③④

炼技法

【方法集训】

方法　函数模型的实际应用问题

　(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时. 

答案　24

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

1.(2013天津文,8,5分)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则(　　)

A.g(a)<0<f(b)　　　　B. f(b)<0<g(a)　　　　C.0<g(a)<f(b)　　　　D. f(b)<g(a)<0

答案　A　

2.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若⊆A,则实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.∪　　　　D.

答案　A　

3.(2011天津文,8,5分)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(　　)

A.(-1,1]∪(2,+∞)　　　　B.(-2,-1]∪(1,2]　　　　C.(-∞,-2)∪(1,2]　　　　D.[-2,-1]

答案　B　

4.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　. 

答案　

5.(2012天津,14,5分)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是　　　　　. 

答案　(0,1)∪(1,2)

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

考点一　函数的模型及实际应用

1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.-1

答案　D　

2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x=　　　　,y=　　　　. 

答案　8;11

考点二　函数的综合应用问题

1.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　. 

①f(x)=2-x　②f(x)=3-x　③f(x)=x3　④f(x)=x2+2

答案　①④

2.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是　　　　　　. 

答案　(2,+∞)

C组　教师专用题组

考点一　函数的模型及实际应用

　(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

(1)求a,b的值;

(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

解析　(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

将其分别代入y=,得解得

(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-,

则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.

故f(t)==,t∈[5,20].

②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.

令g'(t)=0,解得t=10.

当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;

当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;

从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.

∴当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.

评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.

考点二　函数的综合应用问题

1.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是　　　　　　. 

答案　

2.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.

(1)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数; 

(2)当f(x)=　　　　(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数. 

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

答案　(1)　(2)x

3.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:

①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;

③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;

④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.

其中的真命题有　　　　.(写出所有真命题的序号) 

答案　①③④

4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;

(2)(i)求F(x)的最小值m(a);

(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

解析　(1)由于a≥3,故

当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,

当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).

所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].

(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则

f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,

所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即

m(a)=

(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.

所以,M(a)=

思路分析　(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.

评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.

【三年模拟】

选择题(每小题5分,共40分)

1.(2017天津和平一模,8)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-m=0恰有五个不相等的实数解,则m的取值范围是(　　)

A.[0,4]　　　　B.(0,4)　　　　C.(4,5)　　　　D.(0,5)

答案　B　

2.(2019届天津耀华中学第一次月考,8)已知函数f(x)=ln x+(a-2)x-2a+4(a>0),若有且只有两个整数x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)>0,则a的取值范围是(　　)

A.(ln 3,2)　　　　B.[2-ln 3,2)　　　　C.(0,2-ln 3]　　　　D.(0,2-ln 3)

答案　C　

3.(2018天津九校联考,8)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时, f(x)=则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为(　　)

A.1-2a　　　　B.2a-1　　　　C.1-2-a　　　　D.2-a-a

答案　B　

4.(2018天津河北二模,8)已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m.则以下三个结论:

①m∈[1,2);

②a+b+c+d∈[e-3+e-1-2,e-4-1),其中e为自然对数的底数;

③关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解.

正确结论的个数是(　　)

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

答案　C　

5.(2017天津十二区县二模,8)已知函数f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,且对于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一个实数解,则函数g(x)=f(x)-x在区间[0,2n](n∈N*)上所有零点的和为(　　)

A.　　　　B.22n-1+2n-1　　　　C.　　　　D.2n-1

答案　B　

6.(2017天津和平四模,8)已知函数f(x)=当方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根时,实数a的取值范围是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　B　

7.(2018天津静海一中模拟,8)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时, f(x)=x3,函数g(x)=若函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6,+∞)上有6个零点,则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(7,+∞)　　　　B.∪[7,9)　　　　C.∪(7,9]　　　　D.∪(1,9]

答案　C　

8.(2018天津红桥二模,8)已知定义在[-1,+∞)上的函数在区间[-1,3)上的解析式为f(x)=当x≥3时,函数满足f(x)=f(x-4)+1,若函数g(x)=f(x)-kx-k有5个零点,则实数k为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D