2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.5　抛物线及其性质 【KS5U 高考】

这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.5　抛物线及其性质 【KS5U 高考】，共18页。

考向一    抛物线定义的应用
例1    (2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l 上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若 =4 ,则|QF|= (　　)A. 　    B.3　    C. 　    D.2
解析　∵ =4 ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则 = ,即 = .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
考向二    求抛物线的标准方程
例2　函数y=ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的 抛物线的标准方程是　　　    .
解析　设抛物线的方程为y2=mx(m≠0),由题意知点P的坐标为(1,1),代入 y2=mx,可得m=1,∴焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是y2=x.
考点二  抛物线的几何性质
考向    抛物线几何性质的应用
例　若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a= (　　)A.±1　    B.±2　    C.±4　    D.±8
解析　∵y2=ax,∴2p=|a|.又∵焦点到准线的距离为2,∴p=2,∴|a|=4.∴a=±4,故选C.
考点三  抛物线中弦的相关问题
考向基础1.焦点弦的性质(1)焦半径与焦点弦:若P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,F是抛物线的 焦点,且PQ过焦点,则线段PF称为抛物线的焦半径,线段PQ称为抛物线 的焦点弦,如下表:
(2)以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点 弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则 有以下结论:①x1x2= ,y1y2=-p2;②若直线AB的倾斜角为θ,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=  ,|BF|= ;③|AB|=x1+x2+p= (其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;④S△AOB= (其中θ为直线AB的倾斜角);
⑤ + = 为定值;⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;⑨A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.2.如图所示,AB是过抛物线x2=2py(p>0)焦点的一条弦(焦点弦),分别过A, B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论: 
(1)点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线l:y=- ;(2)两切线互相垂直,即PA⊥PB;(3)PF⊥AB;(4)点P的坐标为 .3.非焦点弦的性质(1)已知直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点,若OA⊥OB,则直线l过 定点(2p,0),反之亦成立;(2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对 称轴上一点,则|MN|min= 
考向    焦点弦的相关问题
例　过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线(斜率大于0)交抛物线于A,B两 点,点O是原点,如果|BF|=3,|BF|>|AF|,∠AFO= ,那么|AF|的值为 (　　)A.1　    B. 　    C.3　    D.6
解析　解法一:过焦点F的直线的斜率k= ,则方程为y=  ,由 得3x2-5px+ =0,即(2x-3p)·(6x-p)=0,所以x= p或x= .因为|BF|>|AF|,所以xB= p,xA= ,依题意得xB+ =2p=3,所以p= ,则|AF|=xA+ = p=1,故选A.解法二:利用结论可得 
又|BF|=3,故|AF|=1,故选A.
方法1  求抛物线标准方程的方法1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨 迹类型,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线 的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a ≠0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a≠0).
例1　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与 抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为　　　     　　    .解题导引     
解析　设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上,又∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6,则|MF|=xM+ =6,即xM=6- ,又由|MO|=|MF|可知xM= ,∴ =6- ,解得p=8.∴抛物线方程为y2=16x.
答案    y2=16x
方法2  解决直线与抛物线位置关系问题的方法1.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于 方程组 解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.①当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线 和抛物线相切,有一个公共点;若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点.②当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点.特别地,当 直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有两个公共 点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线相离,无 公共点.2.直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的
最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之, 二是利用切线法求.3.直线与抛物线相切时,求切线斜率,一种方法是利用Δ=0求,另一种方法 是利用导数求.4.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式|AB|=  =  (k为直线的斜率,k≠0)进行求解.