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人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习
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这是一份人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习，共15页。试卷主要包含了1圆的有关性质等内容，欢迎下载使用。
人教版数学新初三同步训练试题精选
第二十四章 24.1圆的有关性质
一、单选题（共5题；共15分）
1.如图，点 A ， B ， C 在 ⊙O 上， ∠AOB=100° ， ∠OBC=20° ，则 ∠OAC 的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
2.如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3.如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，则∠BAD等于（ ）
A. 15°° B. 18° C. 22.5° D. 30°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°
5.如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
二、填空题（共10题；共20分）
6.在 ⊙C 中，圆心 O 到弦 AB 的距离等于弦 AB 的一半，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________．
7.如图，点A，B，C，D都在⊙O上， CD 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=________°．
8.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 AB ________2 CD （填“＞，＜或＝”）
9.如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦，连接 BC ， BD ，若直径 AB=8 ， ∠CBD=45° ，则阴影部分的面积为________.
10.如图，抛物线y = 13x2−23x−83 的图象与坐标轴交于A、B、D ， 顶点为E ， 以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C ， 圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ， N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是________．
11.如图， A ， B ， C 为⊙ O 上的点．若 ∠AOB=100° ，则 ∠ACB= ________．
12.如图，点A ， 点B ， 点C在⊙O上，分别连接AB ， BC ， OC ． 若AB＝BC ， ∠B＝40°，则∠OCB＝________．
13.如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 3 ，则S阴影=________．
14.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)(0≤t＜3),连结EF,当t值为________ 秒时,△BEF是直角三角形．
15.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为________．
三、解答题（共3题；共15分）
16.如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB ， 垂足为点E ， 如果BE=OE ， AB=10cm，求△ACD的周长 ．
17.如图，在△ABC中，AC=BC ， D是AB上一点，⊙O经过点A ， C ， D ， 过点D作DE∥BC ， 交⊙O于点E ， 连接CE.
求证：四边形DBCE是平行四边形.
18.如图，AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F， BC⏜=EC⏜ ，求证：BF=CF．
四、综合题（共3题；共50分）
19.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若tan∠CED＝ 12 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长．
21.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120o ． 求：
（1）△OAB的面积．
（2）阴影部分的面积．（精确到1cm2）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】如图，连接AB
则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA= 12（180°−∠AOB)=40°
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°
∵∠C =12∠AOB=50°
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°
故答案为：C．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AD=DE，AO=DO=OE，
∴△OAD≌△OED，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°﹣∠ABD，∠BCE=90°﹣∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠BCE=∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠BCE相等的角有5个．
故选D．
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OD，
∴OA=OD
∵点C是OA的中点，
∴OC= 12 OA= 12 OD
∵四边形OEDC为矩形
∴DE=OC，∠OED=90°
∴DE= 12 OD
在Rt△OED中，sin∠DOE= DEOD=12
∴∠DOE=30°
∴∠BAD= 12 ∠DOE=15°
故答案为：A.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC= 12 β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴ {α+β=180∘α=12β ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
5.【答案】 B
【解析】【解答】如图，过圆心O作OC⊥AB于C，延长CO交⊙O于D，连接OA；
Rt△OAC中，AC= 12 AB=4cm，OA=5cm；
根据勾股定理，得：OC= OA2−AC2 =3cm；
∴CD=OC+OD=8cm；
所以太阳上升的速度为：8÷10=0.8厘米/分；
故答案为：B．
二、填空题
6.【答案】 45∘ 或 135∘
【解析】【解答】因为圆心 O 到弦 AB 的距离等于弦 AB 的一半，过圆心 O 做AB的垂线交AB于点C，则OC=AC=BC, ∠AOC = ∠BOC = 45∘ ,所以弦AB的圆心角 ∠AOB = 90∘ 或 270∘ ，所以弦AB所对应的圆周角为圆心角的 12 为 45∘ 或 135∘ .
7.【答案】 48
【解析】【解答】解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，
∴ CD 的度数等于84°，即∠COD=84°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），
∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=48°；
而CA是∠OCD的平分线，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=24°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；
∵∠ABD= 12 ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠DCA= 12 ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ABD=∠DCA，
∴∠ABD+∠CAO=48°；
故答案为：48°．
8.【答案】 ＞
【解析】【解答】如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；
由垂径定理知：AE＝BE， AF=12AB ；
∴AE＝CD＝ 12 AB；
在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；
∴ AF ＞ CD ，
即； AB ＞2 CD
故答案为：＞.
9.【答案】 4π−8
【解析】【解答】解：连接OC，OD，如图，
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OB=OC=OD=4，
∵∠COD=2∠CBD=90°，
∴S阴=S扇形COD-S△COD= 90π⋅42360−12×4×4=4π−8 ，
故答案为：4π-8.
10.【答案】 1.5π
【解析】【解答】解：当y=0时，0 = 13x2−23x−83 ，
解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
所以M点坐标为（1，0），
由抛物线y = 13x2−23x−83 可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3，
∵N是PE的中点，
∴∠MNE=90°，
∴点N在以EM为直径的圆上，
当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆，
由坐标可知EM=3，
点N运动的路径长为： 12×3π=1.5π ，
故答案为：1.5π．
【分析】求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可．
11.【答案】 50°
【解析】【解答】∵∠AOB=100°，
∴∠ACB= 12 ∠AOB =50°，
故答案为：50°．
12.【答案】 20°
【解析】【解答】解：如图，连接AO ， BO ，
∴OA=OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ， ∠OAB=∠OBA ，
∵AB=BC ，
∴∠BOC=∠AOB ，
∴ ∠OBA=12(180°−∠AOB)=12(180°−∠BOC)=∠OBC ，
∵∠ABC=40°，OB=OC ，
∴∠OCB=∠OBC=20°．
故答案为：20°．
13.【答案】 2π3
【解析】【解答】解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE=DE= 12 CD= 3 ，
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°，
∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，
∴S△BED=S△OEC ，
∴S阴影=S扇形BOC= 60π×22360 = 2π3 ．
故答案是： 2π3 ．
14.【答案】 t=1或74或94
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°,
∴∠A=30°．
又BC=3cm,
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．
若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;
当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s．
故答案是t=1或或．
15.【答案】 4﹣ 2 ．
【解析】【解答】连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2 2 ，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= 12 AB= 2 ，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣ 2 ，
故答案为：4﹣ 2 ．
三、解答题
16.【答案】 解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，
∴ CE=DE=12CD ．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴ BE=OE=12OB=52 cm， AE=AB−BE=10−52=152 cm．
在Rt△COE中，
∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2 ．
∴ CE=OC2−OE2=52−(52)2=532 cm．
∴DE= CE=532 cm．
∴ CD=2CE=53 cm．
在Rt△ACE中
∴ AE2+CE2=AC2
∴ AC=AE2+CE2=(152)2+(532)2=53 cm．
在Rt△ADE中
∴ AE2+DE2=AD2
∴ AD=AE2+DE2=(152)2+(532)2=53
∴△ACD的周长=AD+DC+AC= 53 + 53 + 53 = 153 cm．
【解析】【分析】连接OC ． 根据垂径定理可得 CE=DE=12CD ．由AB=10cm，可求 BE=OE=52 cm， AE=152 cm．根据勾股定理 CE=532 cm．可得 CD=53 cm．根据勾股定理 AC=53 cm． AD=53 即可．
17.【答案】 证明:∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B. ∴∠ADE=∠BAC
又∵在⊙O中，∠BAC=∠CED,
∴∠ADE=∠CED，∴BD∥CE.
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形.
【解析】【分析】由AC=BC，可得∠BAC=∠B，由DE∥BC，可得∠ADE=∠B. 由等量代换可得∠ADE=∠BAC
根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CED,由等量代换可得∠ADE=∠CED，可得BD∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证.
18.【答案】 证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，
∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB于D，
∴ BC ＝ BG ，
∵ BC ＝ EC ，
∴ BG ＝ EC ，
∴∠BCF＝∠CBF ，
∴BF＝CF.
【解析】【分析】 延长CD交⊙O于点G，连接BC， 根据垂经定理得出 BC ＝ BG ， 又 BC ＝ EC ， 故 BG ＝ EC ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠BCF＝∠CBF ， 根据等角对等边得出结论 BF＝CF.
四、综合题
19.【答案】 （1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：BC2＝BD•BE．
证明：∵ED是直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠E+∠EDC＝90°．
又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），
∴∠BCD＝∠E．
又∵∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴ BCBE=BDBC ．
∴BC2＝BD•BE．
（3）解：∵tan∠CED＝ 12 ，
∴ CDEC=12 ．
∵△BCD∽△BEC，
∴ BDBC=CDEC=12 ．
设BD＝x，则BC＝2x，
∵BC2＝BD•BE，
∴（2x）2＝x•（x+6）．
∴x1＝0，x2＝2．
∵BD＝x＞0，
∴BD＝2．
∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB；即可得到证明；（2）易得∠BCD＝∠E，又有∠CBD＝∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC2＝BD•BE；（3）易得△BCD∽△BEC，BD＝x，由三角形的性质，易得BC2＝BD•BE，代入数据即可求出答案．
20.【答案】 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 即（x﹣7）2+x2=132 ，
解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB，∴CE=CB=12．
【解析】【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先设BC=x，则AC=x﹣7，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 可得方程：（x﹣7）2+x2=132 ， 解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
21.【答案】 （1）解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AB=2AC，∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OA=2OC，
∴OC=10cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2 ， 即AC2+102=202 ， AC=10 3 ，∴AB=2AC=20 3 ，∴S△AOB= 12 ×AB×OC= 12 ×20 3 ×10=100 3 cm2
（2）解：S阴影=S扇形AOB-S△AOB
= 120π×202360 -100 3
= 400π3 -100 3
≈ 4003 ×3-100×1．73
=400-173
=227cm2
【解析】【分析】（1）过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和得出∠A=∠B=30°，根据含30º直角三角形的边之间的关系得出OC=10cm，然后根据勾股定理算出AC的长，再根据三角形的面积计算公式即可算出答案；
（2）由S阴影=S扇形AOB-S△AOB ， 根据扇形面积计算公式S=nπr2360,即可算出答案。
人教版数学新初三同步训练试题精选
第二十四章 24.1圆的有关性质
一、单选题（共5题；共15分）
1.如图，点 A ， B ， C 在 ⊙O 上， ∠AOB=100° ， ∠OBC=20° ，则 ∠OAC 的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
2.如图，AB为半圆直径，D、E为圆周上两点，且AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3.如图，矩形OCDE内接于扇形AOB，若点C是OA的中点，则∠BAD等于（ ）
A. 15°° B. 18° C. 22.5° D. 30°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°
5.如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
二、填空题（共10题；共20分）
6.在 ⊙C 中，圆心 O 到弦 AB 的距离等于弦 AB 的一半，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________．
7.如图，点A，B，C，D都在⊙O上， CD 的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=________°．
8.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 AB ________2 CD （填“＞，＜或＝”）
9.如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦，连接 BC ， BD ，若直径 AB=8 ， ∠CBD=45° ，则阴影部分的面积为________.
10.如图，抛物线y = 13x2−23x−83 的图象与坐标轴交于A、B、D ， 顶点为E ， 以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C ， 圆心为M ， P是半圆上的一动点，连接EP ， N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是________．
11.如图， A ， B ， C 为⊙ O 上的点．若 ∠AOB=100° ，则 ∠ACB= ________．
12.如图，点A ， 点B ， 点C在⊙O上，分别连接AB ， BC ， OC ． 若AB＝BC ， ∠B＝40°，则∠OCB＝________．
13.如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 3 ，则S阴影=________．
14.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)(0≤t＜3),连结EF,当t值为________ 秒时,△BEF是直角三角形．
15.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB=45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE+FH的最大值为________．
三、解答题（共3题；共15分）
16.如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB ， 垂足为点E ， 如果BE=OE ， AB=10cm，求△ACD的周长 ．
17.如图，在△ABC中，AC=BC ， D是AB上一点，⊙O经过点A ， C ， D ， 过点D作DE∥BC ， 交⊙O于点E ， 连接CE.
求证：四边形DBCE是平行四边形.
18.如图，AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F， BC⏜=EC⏜ ，求证：BF=CF．
四、综合题（共3题；共50分）
19.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若tan∠CED＝ 12 ，⊙O的半径为3，求OA的长．
20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长．
21.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120o ． 求：
（1）△OAB的面积．
（2）阴影部分的面积．（精确到1cm2）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】如图，连接AB
则OA=OB
∴∠OAB=∠OBA= 12（180°−∠AOB)=40°
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=60°
∵∠C =12∠AOB=50°
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠C−∠ABC=70°
∴∠OAC=∠CAB−∠OAB=70°−40°=30°
故答案为：C．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AD=DE，AO=DO=OE，
∴△OAD≌△OED，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°﹣∠ABD，∠BCE=90°﹣∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠BCE=∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠BCE相等的角有5个．
故选D．
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OD，
∴OA=OD
∵点C是OA的中点，
∴OC= 12 OA= 12 OD
∵四边形OEDC为矩形
∴DE=OC，∠OED=90°
∴DE= 12 OD
在Rt△OED中，sin∠DOE= DEOD=12
∴∠DOE=30°
∴∠BAD= 12 ∠DOE=15°
故答案为：A.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC= 12 β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴ {α+β=180∘α=12β ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
5.【答案】 B
【解析】【解答】如图，过圆心O作OC⊥AB于C，延长CO交⊙O于D，连接OA；
Rt△OAC中，AC= 12 AB=4cm，OA=5cm；
根据勾股定理，得：OC= OA2−AC2 =3cm；
∴CD=OC+OD=8cm；
所以太阳上升的速度为：8÷10=0.8厘米/分；
故答案为：B．
二、填空题
6.【答案】 45∘ 或 135∘
【解析】【解答】因为圆心 O 到弦 AB 的距离等于弦 AB 的一半，过圆心 O 做AB的垂线交AB于点C，则OC=AC=BC, ∠AOC = ∠BOC = 45∘ ,所以弦AB的圆心角 ∠AOB = 90∘ 或 270∘ ，所以弦AB所对应的圆周角为圆心角的 12 为 45∘ 或 135∘ .
7.【答案】 48
【解析】【解答】解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，
∴ CD 的度数等于84°，即∠COD=84°；
在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），
∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；
又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OCD=48°；
而CA是∠OCD的平分线，
∴∠OCA=∠ACD，
∴∠OCA=∠ACD=24°；
在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；
∵∠ABD= 12 ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠DCA= 12 ∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ABD=∠DCA，
∴∠ABD+∠CAO=48°；
故答案为：48°．
8.【答案】 ＞
【解析】【解答】如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；
由垂径定理知：AE＝BE， AF=12AB ；
∴AE＝CD＝ 12 AB；
在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；
∴ AF ＞ CD ，
即； AB ＞2 CD
故答案为：＞.
9.【答案】 4π−8
【解析】【解答】解：连接OC，OD，如图，
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OB=OC=OD=4，
∵∠COD=2∠CBD=90°，
∴S阴=S扇形COD-S△COD= 90π⋅42360−12×4×4=4π−8 ，
故答案为：4π-8.
10.【答案】 1.5π
【解析】【解答】解：当y=0时，0 = 13x2−23x−83 ，
解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
所以M点坐标为（1，0），
由抛物线y = 13x2−23x−83 可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3，
∵N是PE的中点，
∴∠MNE=90°，
∴点N在以EM为直径的圆上，
当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆，
由坐标可知EM=3，
点N运动的路径长为： 12×3π=1.5π ，
故答案为：1.5π．
【分析】求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可．
11.【答案】 50°
【解析】【解答】∵∠AOB=100°，
∴∠ACB= 12 ∠AOB =50°，
故答案为：50°．
12.【答案】 20°
【解析】【解答】解：如图，连接AO ， BO ，
∴OA=OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ， ∠OAB=∠OBA ，
∵AB=BC ，
∴∠BOC=∠AOB ，
∴ ∠OBA=12(180°−∠AOB)=12(180°−∠BOC)=∠OBC ，
∵∠ABC=40°，OB=OC ，
∴∠OCB=∠OBC=20°．
故答案为：20°．
13.【答案】 2π3
【解析】【解答】解：如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE=DE= 12 CD= 3 ，
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°，
∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，
∴S△BED=S△OEC ，
∴S阴影=S扇形BOC= 60π×22360 = 2π3 ．
故答案是： 2π3 ．
14.【答案】 t=1或74或94
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°,
∴∠A=30°．
又BC=3cm,
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．
若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;
当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s．
故答案是t=1或或．
15.【答案】 4﹣ 2 ．
【解析】【解答】连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°．∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2 2 ，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= 12 AB= 2 ，∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣ 2 ，
故答案为：4﹣ 2 ．
三、解答题
16.【答案】 解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，
∴ CE=DE=12CD ．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴ BE=OE=12OB=52 cm， AE=AB−BE=10−52=152 cm．
在Rt△COE中，
∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2 ．
∴ CE=OC2−OE2=52−(52)2=532 cm．
∴DE= CE=532 cm．
∴ CD=2CE=53 cm．
在Rt△ACE中
∴ AE2+CE2=AC2
∴ AC=AE2+CE2=(152)2+(532)2=53 cm．
在Rt△ADE中
∴ AE2+DE2=AD2
∴ AD=AE2+DE2=(152)2+(532)2=53
∴△ACD的周长=AD+DC+AC= 53 + 53 + 53 = 153 cm．
【解析】【分析】连接OC ． 根据垂径定理可得 CE=DE=12CD ．由AB=10cm，可求 BE=OE=52 cm， AE=152 cm．根据勾股定理 CE=532 cm．可得 CD=53 cm．根据勾股定理 AC=53 cm． AD=53 即可．
17.【答案】 证明:∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B. ∴∠ADE=∠BAC
又∵在⊙O中，∠BAC=∠CED,
∴∠ADE=∠CED，∴BD∥CE.
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形.
【解析】【分析】由AC=BC，可得∠BAC=∠B，由DE∥BC，可得∠ADE=∠B. 由等量代换可得∠ADE=∠BAC
根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CED,由等量代换可得∠ADE=∠CED，可得BD∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证.
18.【答案】 证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，
∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB于D，
∴ BC ＝ BG ，
∵ BC ＝ EC ，
∴ BG ＝ EC ，
∴∠BCF＝∠CBF ，
∴BF＝CF.
【解析】【分析】 延长CD交⊙O于点G，连接BC， 根据垂经定理得出 BC ＝ BG ， 又 BC ＝ EC ， 故 BG ＝ EC ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠BCF＝∠CBF ， 根据等角对等边得出结论 BF＝CF.
四、综合题
19.【答案】 （1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：BC2＝BD•BE．
证明：∵ED是直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠E+∠EDC＝90°．
又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），
∴∠BCD＝∠E．
又∵∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴ BCBE=BDBC ．
∴BC2＝BD•BE．
（3）解：∵tan∠CED＝ 12 ，
∴ CDEC=12 ．
∵△BCD∽△BEC，
∴ BDBC=CDEC=12 ．
设BD＝x，则BC＝2x，
∵BC2＝BD•BE，
∴（2x）2＝x•（x+6）．
∴x1＝0，x2＝2．
∵BD＝x＞0，
∴BD＝2．
∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB；即可得到证明；（2）易得∠BCD＝∠E，又有∠CBD＝∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC2＝BD•BE；（3）易得△BCD∽△BEC，BD＝x，由三角形的性质，易得BC2＝BD•BE，代入数据即可求出答案．
20.【答案】 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；
（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 即（x﹣7）2+x2=132 ，
解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB，∴CE=CB=12．
【解析】【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先设BC=x，则AC=x﹣7，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 可得方程：（x﹣7）2+x2=132 ， 解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
21.【答案】 （1）解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AB=2AC，∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OA=2OC，
∴OC=10cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2 ， 即AC2+102=202 ， AC=10 3 ，∴AB=2AC=20 3 ，∴S△AOB= 12 ×AB×OC= 12 ×20 3 ×10=100 3 cm2
（2）解：S阴影=S扇形AOB-S△AOB
= 120π×202360 -100 3
= 400π3 -100 3
≈ 4003 ×3-100×1．73
=400-173
=227cm2
【解析】【分析】（1）过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形两底角相等及三角形的内角和得出∠A=∠B=30°，根据含30º直角三角形的边之间的关系得出OC=10cm，然后根据勾股定理算出AC的长，再根据三角形的面积计算公式即可算出答案；
（2）由S阴影=S扇形AOB-S△AOB ， 根据扇形面积计算公式S=nπr2360,即可算出答案。
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