数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学设计及反思

专题23三角函数的图象与性质（正切函数）（讲）

正切函数的图象与性质

(1)图象：如图所示．

正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线．

(2)性质：如下表所示.

[拓展](1)正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．

(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝．

[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点

(1)正切函数在定义域上不具有单调性．

(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－，)，(，π)，…上都是增函数．

(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－，)∪(，)∪…上是增函数．

1．函数y＝tan（x）的单调递增区间是　　．

2．函数y＝sinx和y＝tanx的图象在[0，6π]上交点的个数为　　．

3．函数y＝tanx的定义域为　　．

4．函数y＝tan（）的周期为　　单调区间为　　．

5．函数的图象的对称中心的是　　．

重要考点一：正切函数的奇偶性

【典型例题】函数y＝Atan（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）为奇函数需满足条件为　　．

【题型强化】函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是　　．

【收官验收】已知f（x）＝tanx﹣cos（x+m）为奇函数，且m满足不等式m2﹣3m﹣10＜0，则m的值为　　．

【名师点睛】

在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．

重要考点二：求定义域和单调区间

【典型例题】函数的定义域是　　．

【题型强化】函数y＝tan（x）的单调递增区间为　　．

【收官验收】若函数y＝tanωx在（﹣π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是　　

【名师点睛】

(1)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．

(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

①若ω>0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都

是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

重要考点三：单调性的应用

【典型例题】tan1、tan2、tan3的大小顺序是　　．

【题型强化】比较大小：（填＜，＞，＝）

．

【收官验收】比较大小  （1）cos508°　　cos144°，．

【名师点睛】

运用正切函数的单调性比较tanα与tanβ大小的步骤：

(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间(－，)内；

(2)运用正切函数的单调性比较大小．

重要考点四：数形结合思想—利用图象解三角不等式

【典型例题】三角不等式组的解集是　　．

【题型强化】不等式的解集为　　．

【收官验收】设0≤α＜2π，若sinαcosα，则α的取值范围是　　．

【名师点睛】

解形如tanx>a的不等式的步骤

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