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（初三）最值模型：距离之差最大
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这是一份（初三）最值模型：距离之差最大，主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解，典型例题，强化练习，链接中考，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
【对象】最值模型：距离之差最大
【课程目标】
认识“最值模型：距离之差最大”模型基本结构，理解距离之差最大的基本原理.
能够在具体几何问题中快速识别“最值模型：距离之差最大”模型的基本结构，并运用其相关结论解决问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引.
【先验知识】
线段的和与差.
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
设计意图：
结合学生生活经验，以实际生活问题情境，使学生体会“两点之间线段最短” 的基本事实，为后续分析将军饮马模型做铺垫.
【导入】
上一节课，我们一起探讨了“最值模型：距离之和最小”模型，也就是“将军饮马”模型，主要涉及了在两点一线的背景下去解决距离之和的问题。我们知道和差既然是逆运算，那么在两点一线的背景下是否存在距离之差的相关问题呢？请看以下题目：
如图，直线l，A、B两点在l的异侧，在l上找一点C，使C到A、B的距离之差最大。
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型讲解】
如下图，已知直线l，点A、点B在直线l的同侧，在直线l上有一点P，那么PA与PB的差有什么关系呢？我们一起来探究一下.
设计意图：
从已知与未知的关联性，导出到未知的学习，激发学生的思考和探索意识.
两边之差的问题，我们之前有学过什么相关联的知识呢？
引导1：
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在该问题中，如果连接AB构造出△PAB，那么就能得到PA-PB引导2：
是不是直线l上任意一点P都有这样的特征呢？
答案不是的，三角形三边关系的满足的前提是这个三角形存在，如果这个三角形不存在（什么时候不存在呢？），也即P、A、B三点共线时，这个时候两边之差又有什么样的特征呢？
观察图形，根据线段的和差关系，此时，我们发现：PA-PB=AB.
引导3：
与上面△PAB存在时的情况进行对比，你发现了什么？
发现：当点P与A、B共线时，PA-PB最大.
这里面涉及的基本原理就是：三角形任意两边之差小于第三边.
试想，以上探讨的问题中，A、B两点都是在直线l的同侧，那么，如果A、B两点位于直线l的异侧，在直线l是否仍存在一点P能够使PA-PB最大呢？也就是刚刚的问题：
如下图，已知直线l，点A、点B在直线l的两侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|最大.
学生思考：
连接AB与直线l的交点就是要求的点P.
引导1：
回答很好啊，你刚刚做了什么样的思考？
当点P与A、B三点共线时，PA-PB会等于AB吗？与上面的问题1有什么异同？再多做一点思考.
引导2：
既然问题1中，我们已经找到了解决办法，我们是否可以仿照将军饮马模型的学习模式，把现在的异侧问题，转化为同侧问题，可以借助什么知识呢？
引导3：
如下图，将未知问题转化为已知问题，你知道怎么做了吗？
答案：
要点：作对称点、连线、找交点.（是不是与将军饮马问题一样呢？）
这个最大值就是AB’的长度.
设计意图：
突出模型的基本结构，通过步步引导理解模型结论的推导过程，让学生感知将未知转化为已知的转化方式，体会对称的作用，掌握解决问题的关键要点，激发学习的兴趣.
【典型例题】
在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴上运动，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ．
【分析】
由三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点不共线时，，又因为，两点都在轴同侧，则当、、三点共线时，，即，所以本题中当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点在直线上．先运用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值即可．
【解答】
解：由题意可知，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点在直线上．
设直线的解析式为，
，，
，
解得．
，
令，得，
解得．
点的坐标是．
故答案为．
在平面直角坐标系中，已知点A（0,1），B（1，-2），点在轴上运动，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ．
【分析】
AB在x轴异侧，通过对称把异侧问题转化为同侧问题解决即可，方法同2.
【解答】略
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．C．D．（1，0）
如图，已知抛物线y＝ax2+2x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且B(4, 0)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）如果点P(p, 0)是x轴上的一个动点，则当|PC-PD|取得最大值时，求p的值；
（3）能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使△QBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．
设计意图：
进一步强化对模型结构的认识，掌握基本做法及相关结论.
【链接中考】
（2018•东营）在平面直角坐标系内有两点、，其坐标为，，点为轴上的一个动点，若要使的值最大，则点的坐标为 ．
【分析】
要使得的值最大，只需取其中一点关于轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线轴交点即为所求．
【解答】
解：取点关于轴的对称点，则直线交轴于点．点即为所求．
设直线解析式为：
把点，，代入
解得
直线为：，
当时，
坐标为，
故答案为：，
【课堂总结】
最值模型：距离之差最大之同侧问题：
最大值为：AB的长度.
最值模型：距离之差最大之异侧问题：
最大值为：AB’的长度.
最值模型：距离之差最大之异侧问题问题的关键点：
作对称点；
连线；
找交点.
最值模型：距离之差最大问题的基本原理------三角形任意两边之差小于第三边.
学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
预科 同步复习 专题复习
1课时
【对象】最值模型：距离之差最大
【课程目标】
认识“最值模型：距离之差最大”模型基本结构，理解距离之差最大的基本原理.
能够在具体几何问题中快速识别“最值模型：距离之差最大”模型的基本结构，并运用其相关结论解决问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引.
【先验知识】
线段的和与差.
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
设计意图：
结合学生生活经验，以实际生活问题情境，使学生体会“两点之间线段最短” 的基本事实，为后续分析将军饮马模型做铺垫.
【导入】
上一节课，我们一起探讨了“最值模型：距离之和最小”模型，也就是“将军饮马”模型，主要涉及了在两点一线的背景下去解决距离之和的问题。我们知道和差既然是逆运算，那么在两点一线的背景下是否存在距离之差的相关问题呢？请看以下题目：
如图，直线l，A、B两点在l的异侧，在l上找一点C，使C到A、B的距离之差最大。
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型讲解】
如下图，已知直线l，点A、点B在直线l的同侧，在直线l上有一点P，那么PA与PB的差有什么关系呢？我们一起来探究一下.
设计意图：
从已知与未知的关联性，导出到未知的学习，激发学生的思考和探索意识.
两边之差的问题，我们之前有学过什么相关联的知识呢？
引导1：
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在该问题中，如果连接AB构造出△PAB，那么就能得到PA-PB
是不是直线l上任意一点P都有这样的特征呢？
答案不是的，三角形三边关系的满足的前提是这个三角形存在，如果这个三角形不存在（什么时候不存在呢？），也即P、A、B三点共线时，这个时候两边之差又有什么样的特征呢？
观察图形，根据线段的和差关系，此时，我们发现：PA-PB=AB.
引导3：
与上面△PAB存在时的情况进行对比，你发现了什么？
发现：当点P与A、B共线时，PA-PB最大.
这里面涉及的基本原理就是：三角形任意两边之差小于第三边.
试想，以上探讨的问题中，A、B两点都是在直线l的同侧，那么，如果A、B两点位于直线l的异侧，在直线l是否仍存在一点P能够使PA-PB最大呢？也就是刚刚的问题：
如下图，已知直线l，点A、点B在直线l的两侧，在直线l上找一点P，使|PA－PB|最大.
学生思考：
连接AB与直线l的交点就是要求的点P.
引导1：
回答很好啊，你刚刚做了什么样的思考？
当点P与A、B三点共线时，PA-PB会等于AB吗？与上面的问题1有什么异同？再多做一点思考.
引导2：
既然问题1中，我们已经找到了解决办法，我们是否可以仿照将军饮马模型的学习模式，把现在的异侧问题，转化为同侧问题，可以借助什么知识呢？
引导3：
如下图，将未知问题转化为已知问题，你知道怎么做了吗？
答案：
要点：作对称点、连线、找交点.（是不是与将军饮马问题一样呢？）
这个最大值就是AB’的长度.
设计意图：
突出模型的基本结构，通过步步引导理解模型结论的推导过程，让学生感知将未知转化为已知的转化方式，体会对称的作用，掌握解决问题的关键要点，激发学习的兴趣.
【典型例题】
在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴上运动，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ．
【分析】
由三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点不共线时，，又因为，两点都在轴同侧，则当、、三点共线时，，即，所以本题中当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点在直线上．先运用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值即可．
【解答】
解：由题意可知，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点在直线上．
设直线的解析式为，
，，
，
解得．
，
令，得，
解得．
点的坐标是．
故答案为．
在平面直角坐标系中，已知点A（0,1），B（1，-2），点在轴上运动，当点到、两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ．
【分析】
AB在x轴异侧，通过对称把异侧问题转化为同侧问题解决即可，方法同2.
【解答】略
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．C．D．（1，0）
如图，已知抛物线y＝ax2+2x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且B(4, 0)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）如果点P(p, 0)是x轴上的一个动点，则当|PC-PD|取得最大值时，求p的值；
（3）能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使△QBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．
设计意图：
进一步强化对模型结构的认识，掌握基本做法及相关结论.
【链接中考】
（2018•东营）在平面直角坐标系内有两点、，其坐标为，，点为轴上的一个动点，若要使的值最大，则点的坐标为 ．
【分析】
要使得的值最大，只需取其中一点关于轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线轴交点即为所求．
【解答】
解：取点关于轴的对称点，则直线交轴于点．点即为所求．
设直线解析式为：
把点，，代入
解得
直线为：，
当时，
坐标为，
故答案为：，
【课堂总结】
最值模型：距离之差最大之同侧问题：
最大值为：AB的长度.
最值模型：距离之差最大之异侧问题：
最大值为：AB’的长度.
最值模型：距离之差最大之异侧问题问题的关键点：
作对称点；
连线；
找交点.
最值模型：距离之差最大问题的基本原理------三角形任意两边之差小于第三边.
学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
预科 同步复习 专题复习
1课时
