高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算学案，共8页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，名师点拨，自我检测，规律方法，达标检测，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．理解次方根及根式的概念．正确运用根式的运算性质进行根式运算
2．学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握用有理指数幂的运算性质化简求值
【学习重难点】
1．根式的概念及运算性质
2．实数指数幂
【学习过程】
预习教材P3-P8的内容，思考以下问题：
1．n次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
一、新知初探
1．有理指数幂
（1）一般地，中的称为底数，称为指数．
（2）一般地，给定大于1的正整数和实数，如果存在实数，使得，则称为的次方根．
①0的任意正整数次方根均为0，记为．
②正数的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为的次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在．
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
（3）当有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数．
一般地，根式具有以下性质：．
②
（4）一般地，如果是正整数，那么：当有意义时，规定；当没有意义时，称没有意义．
对于一般的正分数，也可作类似规定，即．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数（即，有大于1的公因数）时可能会有歧义．
负分数指数幂：若是正分数，有意义且时，规定．
（5）有理指数幂的运算法则：,,．
【名师点拨】
（1）中当为奇数时，；当为偶数时，，但中．
（2）分数指数幂不可以理解为个相乘．
实数指数幂
一般地，当且是无理数时，都是一个确定的实数．因此，当时，为任意实数时，可以认为实数指数幂都有意义．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当时，都有意义．（ ）
（2）任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．（ ）
（3）（ ）
（4）0的任何指数幂都等于0．（ ）
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．化简：________．
探究一、根式与分数指数幂的互化
（1）若有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）化简得（ ）
A．6
B．
C．6或
D．6或或
（3）用分数指数幂表示下列各式（，）．
①；②；
③；④．
【规律方法】
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数eq \(←―→,\s\up7(化为))分数指数的分母，被开方数（式）的指数eq \(←―→,\s\up7(化为))分数指数的分子．
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
（1）；（2）；（3）．
探究二、根式、分数指数幂的化简与求值
2．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【规律方法】
（1）化简结果的一个要求和两个不能
（2）幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂．
②化根式为分数指数幂．
③化小数为分数进行运算．
3．化简下列各式（其中字母均表示正数）．
（1）；
（2）．
探究三、指数式的条件求值问题
4．已知，求下列各式的值：
【规律方法】eq \a\vs4\al()
（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
5．已知，则________．
【达标检测】eq \a\vs4\al()
1．化简等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．下列各式中成立的一项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．计算：________．
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
2．解析：选D．；；
当时，无意义；
当时，．
3．解析：原式
．
答案：4
探究一、根式与分数指数幂的互化
【解】（1）选C．由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，所以的取值范围是．
（2）选C．原式，
（3）①原式
②原式．
③原式．
④原式
．
1．解：（1）．
（2）．
（3）．
探究二、根式、分数指数幂的化简与求值
2．【解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
．
3．解：（1）原式．
（2）原式．
探究三、指数式的条件求值问题
4．【解】（1）将两边平方，得，所以．
（2）将两边平方，得，故．
5．解析：因为，又因为，
所以．
答案：3
【达标检测】eq \a\vs4\al()
1．解析：选A．
2．解析：选D．A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中当时不成立；D正确．
3．解析：选D．原式．
4．解析：原式
．
答案：