高中人教B版 (2019)9.1.1 正弦定理第2课时教案及反思

课程目标

学科素养

A.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题；

B. 能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.

C. 通过正弦定理的灵活运用，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。

1.数学抽象：正弦定理的运用；

2.逻辑推理：在外接圆中推导正弦定理；

3.数学运算：正弦定理的应用；

4.直观想象：几何问题代数化，数形结合思想；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、课前小测

1．思考辨析

(1)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．(　　)

(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)

(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　

解析：（1）正确(2)由正弦定理可知＝，即＝，

所以sin B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.(3)当bsin A<a<b时，△ABC有两解．

2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)

A．直角三角形             B．等腰三角形

C．锐角三角形             D．钝角三角形

B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]

3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)

A．一解       B．两解

C．无解       D．无法确定

A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]

二、探索与研究

1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．（提示：先考虑直角三角形）

证明：如图，连接BO并延长交圆O于点D，

连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，

在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，

所以a＝2Rsin A，即＝2R，

同理＝2R，＝2R，

所以＝＝＝2R.

2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？

这些变形形式有什么功能？

提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：

sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；

sin C＝，c＝2Rsin C．

由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．

三、例题解析

例5．在△ ABC中，已知，求证：△ ABC是直角三角形.

证明：设,则,

且,,.

又因为,

所以,

即,

因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.

跟踪训练

1.在△ABC中，若sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.

思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝

把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin B求解．

[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，

得＝＝，

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∴2sin B＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，

∴sin B＝.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，

得＝＝，

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B，

∴sin(B＋C)＝sin B＋cos B＝2sin B，

∴sin(B－C)＝0.

又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，

∴△ABC是等腰直角三角形．

母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝”其它条件不变，试判断△ABC的形状．

[解]　∵b＝，

由正弦定理，得sin B＝sin A．   (*)

∵B＝π－(A＋C)，

∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为

sin(A＋C)＝sin A.

∴cos A＝0.

又∵A，C∈(0，π)，

∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．

归纳总结

(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边

与边的关系，也可以转化为角与角的关系.

(2)                                                                                                                                                                                                                                                           注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等

例6.如图9-1-5所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，

求证；.

证明：如图,设,,

则由题意可知,.

在△ ABD和△ ADC中,分别应用正弦定理,

可得,

,

两式相除即可得.

另解：过点C作,交BA的延长线于点E,如图所示.

∵,∴.

又∵AD平分∠BAC,∴.在△BCE中,由

知,,,∴,

∴,∴.

跟踪训练2．如果在△ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，

求证：.

证明：如图所示,∠BAC的外角（∠CAE）的平分线AD与BC的延长找相交于点D,

∴,∴.

∵,∴.

在△CAD和△BAD中,由正弦定理得

,

∴,∴.

通过课前小测，发现学生的问题，同时帮助学生进一步熟悉正弦定理的基本运用。提高学生数学运用核心素养。

通过利用三角形的外接圆，证明正弦定理的探究，发展学生逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，强化对正弦定理的理解和运用，提升学生数学运算核心素养。

通过跟踪训练，进一步熟悉正弦定理边角互化的应用，提高学生分析问题能力。

及时归纳总结，提高学生分析解决问题的能力。

通过例题进一步熟悉运用正弦定理解决解三角形能力，提高学生的利用所学知识解决问题的能力。

三、达标检测

1．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)

A．0　　　　　B．1                 C．2          D．无数多

【答案】B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]

2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)

A．3              B．3       C．6           D．6

【答案】B　[由S＝ab＝×4×3×得S＝3，故选B.]

3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.

【答案】1

[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.

所以＝＝＝1.]

4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.

【答案】　2　

[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，

∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，

得a＝＝＝2.]

5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．

【答案】　由条件得＝＝，

∴sin A＝sin C. 同理可得sin B＝sin C.

∴＝＝－.

6．求证：在△ABC中，.

证明：令,

则,,.

∴.

另解：由正弦定理,

得,,

∴.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的方程思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，

或a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)．

2．正弦定理的应用范围

(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．

3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。