高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.1 三角函数的定义导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.1 三角函数的定义导学案及答案，共6页。学案主要包含了学习过程，思路探究等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．已知角α终边经过Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则cs α等于（ ）。
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(\r(3),3)D．±eq \f(1,2)
2．若α的终边与y轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是（ ）。
A．sin α与cs αB．tan α与ct α
C．tan α与sec αD．ct α与csc α
若角α的终边上有一点P（3，4），则sin α＋cs α＝________。
4．已知cs θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角。
二、合作探究
类型一：任意角三角函数的定义及应用
【例1】（1）若sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，则在角α终边上的点有（ ）。
A．（－4，3）B．（3，－4）
C．（4，－3）D．（－3，4）
（2）若α＝－eq \f(π,3)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________。
（3）已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），则2sin α＋cs α＝________。
【思路探究】（1）由定义确定终边位置，结合函数值求解。
（2）在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解。
（3）分α＞0，α＜0两种情况分别求解。
类型二：三角函数符号的判断
【例2】判断下列各式的符号。
（1）sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°；
（2）tan 191°－cs 191°；
（3）sin 2cs 3tan 4．
[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号。
三、学习小结
1．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点O的距离是r（r＝eq \r(x2＋y2)＞0）。
2．三角函数在各象限的符号
四、精炼反馈
1．已知P（1，－5）是α终边上一点，则sin α＝（ ）。
A．1B．－5
C．－eq \f(5\r(26),26)D．eq \f(\r(26),26)
2．sin 1·cs 2·tan 3的值是（ ）。
A．正数B．负数
C．0D．不存在
3．如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________。
4．已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－eq \f(12,5)，求sin α＋cs α的值。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】B
【解析】由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cs α＝eq \f(\r(3),2)。
2．【答案】C
【解析】由三角函数的定义及其定义域可知，对tan α与sec α中角α的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，故选C。
3．【答案】eq \f(7,5)
【解析】由三角函数定义知，sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，
∴sin α＋cs α＝eq \f(7,5)。
4．【答案】第三或第四。
【解析】∵cs θ·tan θ<0，∴cs θ，tan θ异号；故由象限角知识可知θ在第三或第四象限。
二、合作探究
例1【答案】（1）A
（2）－eq \f(\r(3),2)；eq \f(1,2)；－eq \r(3)；
（3）1或－1
【解析】（1）由sin α，cs α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A。
（2）因为角－eq \f(π,3)的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，
tan α＝－eq \r(3)。
（3）因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限。
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1。
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1．
例2【答案】（1）∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cs 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°>0.
（2）∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cs 191°<0，
∴tan 191°－cs 191°>0.
（3）∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cs 3tan 4<0.
四、精炼反馈
1．【答案】C
【解析】∵x＝1，y＝－5，
∴r＝eq \r(26)，
∴sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(5\r(26),26)。
2．【答案】A
【解析】∵0<1∴sin 1>0，cs 2<0，tan 3<0，
∴sin 1·cs 2·tan 3>0.
3．【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z))))
【解析】∵sin x＝|sin x|，
∴sin x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k ∈ Z。
4．【答案】根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，
∴a＝－12，
∴P（5，－12），r＝13，
∴sin α＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(5,13)，
从而sin α＋cs α＝－eq \f(7,13)。学习目标
核心素养
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。（重点）
2．会根据三角函数的定义来求三角函数在各象限内的符号。（难点）
1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养。
2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养。
三角函数
定义
定义域
名称
sin α
eq \f(y,r)
R
正弦
cs α
eq \f(x,r)
R
余弦
tan α
eq \f(y,x)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
正切
sec α
eq \f(r,x)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
正割
csc α
eq \f(r,y)
{α|α≠kπ，k ∈ Z}
余割
ct α
eq \f(x,y)
{α|α≠kπ，k ∈ Z}
余切