高中数学第2章 常用逻辑用语2.3 全称量词命题与存在量词命题教案

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本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，然后看条件的特征得出全称量词命题及存在量词命题，从而判断命题的真假;然后归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。
1.教学重点：理解全称量词、存在量词的含义.
2.教学难点：会对含有一个量词的命题进行否定．
1．“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 任意x∈[1,2]，x2－a≤0⇔a≥4，
又{a|a≥5}{a|a≥4}，
∴“a≥5”是“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．
2．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是eq \f(1,2)A.eq \f(1,2)eq \f(3,2)或a答案 B
解析 |x－a|<1⇔a－1由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≤\f(1,2)，,a＋1≥\f(3,2)，))即a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))).
阅读课本P34~37页，回答下列问题
思考 观察下列命题：
(1)所有的质数都是奇数；
(2)每一个四边形都有外接圆；
(3)任意实数x，x2≥0.
以上三个命题有什么共同特征？
答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．
梳理
知识点二 存在量词与特称命题
思考 观察下列命题：
(1)有些矩形是正方形；
(2)存在实数x，使x>5；
(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题有什么共同特征？
答案 都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．
梳理
知识点三 全称量词命题的否定
思考 对下列全称命题如何否定？
(1)所有的正方形都是矩形；
(2)对任意实数x，都有x2－2x＋1>0.
答案 (1) 有的正方形不是矩形；
(2)存在实数x0，使xeq \\al(2,0)－2x0＋1≤0.
梳理
知识点四 存在量词命题的否定
思考 对下列存在量词如何否定？
(1)有些四棱柱是长方体；
(2)存在有理数x，使x2－2=0．
答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体；
(2)所有有理数x，x2－2≠0．
梳理
对全称量词命题与存在量词命题否定时，首先找出命题中的量词，是全称量词的改为存在量词，是存在量词的改为全称量词，然后再对结论否定．
典型例题
类型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)对任意角α，都有sin2α＋cs2α＝1；
(3)矩形的对角线不相等；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
反思与感悟 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
跟踪训练 将下列命题用“∀”或“∃”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一个负根；
解 (1)∀x∈R，x2≥0.
(2)∃x0<0，axeq \\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<0)．
类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1) ∃x0∈R,2xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0；
(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(3)存在一个实数x0，使等式xeq \\al(2,0)＋x0＋8＝0成立．
解 (1) 假命题，∵2xeq \\al(2,0)＋x0＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)≥eq \f(7,8)>0，
∴不存在x0∈R，使2xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0.
(2)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为eq \r(2)，它的长度就不是有理数．
(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
反思与感悟 要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．
类型三 全称量词命题的否定
例3 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数末位是0.
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练 写出下列全称量词命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)￢p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)￢p：有些自然数的平方不是正数．
(3)￢p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．
(4)￢p：存在实数x0，使得xeq \\al(2,0)＋1<0.
类型四 存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：∃x0>1，使xeq \\al(2,0)－2x0－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1) ￢p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假)
(2) ￢p：所有的素数都不是奇数．(假)
(3) ￢p：所有的平行四边形都是矩形．(假)
反思与感悟 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒￢p：∀x∈M，￢p(x)成立．
跟踪训练 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x0，y0∈Z，使得eq \r(2)x0＋y0＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
对于量词，应重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义．只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词；只要是表示存在的量词，不管表示的程度多大，都是存在量词．有些命题从表面上看不含有量词，这时应根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词．如果是对某一类对象的特征描述，其中就含有全称量词，如”平行四边形的对边相等”，由于没有指明是哪一个平行四边形的对边相等，表明指的是任意一个平行四边形；如果是对某一个对象的特征描述，其中就含有存在量词，如“边长为1cm的正方形的面积是1cm2”，表明存在一个正方形的面积是1cm2．课程目标
学科素养
1.理解全称量词、存在量词的定义.
2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
3.会对含有一个量词的命题进行否定.
a数学抽象: 全称量词与存在量词的含义
b逻辑推理: 判断全称量词命题和存在量词命题的真假;
c数学运算: 由命题的含义求参数的范围
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”
全称命题p
￢p
结论
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，￢p(x0)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题p
存在量词p
结论
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，￢p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题