2022届高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例10.2随机抽样学案理含解析北师大版

第二节　随机抽样

授课提示：对应学生用书第237页

知识点一　简单随机抽样、分层抽样

1．简单随机抽样

（1）抽取方式：逐个不放回抽取；

（2）每个个体被抽到的概率相等；

（3）常用方法：抽签法和随机数法Ｗ．

2．分层抽样

（1）在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

（2）分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

• 温馨提醒 •

1．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即．

2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．

1．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为（　　）

A．2　　　　　　　 B．3

C．5  D．13

解析：20×＝2．

答案：A

2．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：根据题意，＝，解得n＝28．故每个个体被抽到的概率为＝．

答案：C

3．（2021·东北三校联考）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（　　）

A．54  B．90

C．45  D．126

解析：依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90．

答案：B

知识点二　系统抽样

　系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

（1）先将总体的N个个体编号；

（2）确定分段间隔k，对编号进行分段Ｗ．当（n是样本容量）是整数时，取k＝；

（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．

• 温馨提醒 •

系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．

1．在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为（　　）

A．5，15，25，35，45  B．1，3，5，7，9

C．11，22，33，44，50  D．12，15，19，23，28

解析：1～50编号依次分成5组，在第一组随机抽取一个号码，其他组依次加10即可，选项A符合要求．

答案：A

2．（易错题）某次考试结束后，从考号为1～1 000的1 000份试卷中，采用系统抽样法抽取50份试卷进行试评，则在考号区间[850，949]之中被抽到的试卷份数（　　）

A．一定是5  B．可能是4

C．可能是10  D．不能具体确定

解析：样本间隔为1 000÷50＝20，考号在区间[850，949]的个数为949－850＋1＝100，100÷20＝5，所以在考号区间[850，949]之中被抽到的试卷份数一定是5．

答案：A

授课提示：对应学生用书第238页

题型一　简单随机抽样　　

1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有（　　）

A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验

解析：A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法．

答案：B

2．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

A．08　　　　　　　 B．07

C．02  D．01

解析：由题意知前5个个体的编号为08，02，14，07，01．

答案：D

3．“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1，2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是（　　）

A．系统抽样法  B．抽签法

C．随机数法  D．其他抽样方法

解析：30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．

答案：B

简单随机抽样的特点

（1）抽取的个体数较少；（2）是逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

题型二　系统抽样 　　

1．（2019·高考全国卷Ⅰ）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）

A．8号学生　　　　　　　 B．200号学生

C．616号学生  D．815号学生

解析：根据题意，系统抽样是等距抽样，

所以抽样间隔为＝10．

因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616．

答案：C

2．（2020·贵州凯里一中检测）利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽的产品的最大编号为（　　）

A．73  B．78

C．77  D．76

解析：样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋（16－3）×5＝78．

答案：B

3．从编号为1，2，…，59，60的60个产品中，用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中最大的两个编号为51，57，则第一个入样的编号为_________．

解析：由最大的两个编号为51，57，知分段间隔为57－51＝6，即共抽取了＝10个产品，设第一个入样的编号为x，则x＋（10－1）×6＝57，解得x＝3．

答案：3

题型三　分层抽样　　

[例]　（1）（2021·河南名校联考）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何．”其意为：今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱，则丙应出　　　　钱（所得结果四舍五入，保留整数）．

（2）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）．

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为_________．

[解析]　（1）按照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为×100＝≈17．

（2）由分层抽样得＝，解得a＝30．

[答案]　（1）17　（2）30

分层抽样中的计算问题

分层抽样满足“＝”，即“＝＝…＝或n1∶n2∶…∶n＝N1∶N2∶…∶N”，据此在已知每层间的个体数量或数量比、样本容量、总体数量中的两个时，就可以求出第三个．

[题组突破]

1．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（　　）

A．90　　　　　　　 B．100

C．180  D．300

解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180．

答案：C

2．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为　　　　件．

解析：由题设，抽样比为＝．

设甲设备生产的产品为x件，则＝50，所以x＝3 000．故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800．

答案：1 800

　抽样方法中的核心素养

数据分析、数学运算——分层抽样的创新应用

[例]　（2021·湖南四校摸底调研）某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，并绘制出如下的频率分布直方图．

（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．

[解析]　（1）∵（0．02＋0．08＋0．09＋2a）×4＝1，∴a＝0．03，

∴完成年度任务的人数为2×0．03×4×200＝48．

（2）第1组应抽取的人数为0．02×4×25＝2，

第2组应抽取的人数为0．08×4×25＝8，

第3组应抽取的人数为0．09×4×25＝9，

第4组应抽取的人数为0．03×4×25＝3，

第5组应抽取的人数为0．03×4×25＝3，

（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3．

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，

获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，

故所求概率P＝＝．

　　解决分层抽样与样本数据分析问题的注意点

（1）弄清分层抽样问题中每层的数据．

（2）求解概率时注意概率类型的判断．

[对点训练]

（2021·重庆九校联盟模拟）某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社会退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间（单位：时），活动时间按照[0，0．5），[0．5，1），…，[4，4．5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．

（1）求图中a的值；

（2）估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；

（3）在[1，1．5），[1．5，2）这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．

解析：（1）由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0．5）内的频率为0．08×0．5＝0．04．

同理，平均户外活动时间在[0．5，1），[1．5，2），[2，2．5），[3，3．5），[3．5，4），[4，4．5]内的频率分别为0．08，0．20，0．25，0．07，0．04，0．02，

由1－（0．04＋0．08＋0．20＋0．25＋0．07＋0．04＋0．02）＝0．5a＋0．5a，解得a＝0．30．

（2）设中位数为m时．

因为前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．20＋0．25＝0．72>0．5，

而前4组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．20＝0．47<0．5，所以2≤m<2．5．

所以0．50×（m－2）＝0．5－0．47，解得m＝2．06．

故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2．06时．

（3）由题意得平均户外活动时间在[1，1．5），[1．5，2）内的人数分别为15，20，

按分层抽样的方法在[1，1．5），[1．5，2）内分别抽取3人、4人，再从7人中随机抽取2人，共有21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P＝＝．