2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.7n次独立重复试验与二项分布学案理含解析北师大版

第七节　n次独立重复试验与二项分布

授课提示：对应学生用书第224页

知识点一　条件概率

• 温馨提醒 •

　P（B|A）与P（A|B）易混淆为等同

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．

1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）

A．0．8　　　　　　　　　 B．0．75

C．0．6  D．0．45

解析：在某天的空气质量为优良的条件下，随后一天的空气质量为优良的概率P＝＝0．8．

答案：A

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_________．

解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，

则P（AB）＝×，P（A）＝，

所以P（B|A）＝＝．

答案：

知识点二　相互独立事件

　事件的相互独立性

（1）定义：设A，B为两个事件，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．

（2）性质：

①若事件A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A），P（AB）＝P（A）P（B）．

②如果事件A与B相互独立，那么A与 ，与B，与 也相互独立．

• 温馨提醒 •

互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P（AB）＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

1．（2021·金华一中模拟）春节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，所以P（）＝，P（）＝，P（）＝．由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P（  ）＝P（）P（）P（）＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝．

答案：B

2．天气预报监测到在元旦假期甲地降雨概率是0．2，乙地降雨概率是0．3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_________．

解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝0．2×0．7＋0．8×0．3

＝0．38．

答案：0．38

知识点三　独立重复试验与二项分布

1．有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：所求概率P＝C××＋C×＝．

答案：C

2．设随机变量X～B，则P（X＝3）＝_________．

解析：因为X～B，所以P（X＝3）＝C×＝．

答案：

授课提示：对应学生用书第225页

题型一　条件概率　　

1．（2021·桂林调研）某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（　　）

A．　　　 B．　　　　

C．　　　　 D．

解析：第一次取出新球后，剩下5只新球，4只旧球，所以在第一次取出新球的前提下，第二次也取出新球的概率为．

答案：B

2．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）＝，P（AB）＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P（B|A）＝＝＝．

答案：C

3．如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝_________．

解析：由题意可得，事件A发生的概率P（A）＝＝＝．事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P（AB）＝＝＝，

故P（B|A）＝＝＝．

答案：

　条件概率的三种求法

题型二　相互独立事件的概率　　

[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率．

[解析]　（1）甲连胜四场的概率为．

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为；

丙上场后连胜三场的概率为．

所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝．

（3）丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．

因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝．

相互独立事件同时发生的概率的2种求法

（1）直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式．

（2）间接法：从对立事件入手计算．

[对点训练]

（2019·高考全国卷Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0．5，乙发球时甲得分的概率为 0．4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

（1）求P（X＝2）；

（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

解析：（1）X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X＝2）＝0．5×0．4＋（1－0．5）×（1－0．4）＝0．5．

（2）X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为[0．5×（1－0．4）＋（1－0．5）×0．4]×0．5×0．4＝0．1．

题型三　独立重复试验与二项分布　　

[例]　某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？

[解析]　（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）＝Cp2（1－p）18．因此f′（p）＝C[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]＝2Cp（1－p）17（1－10p）．令f′（p）＝0，得p＝0．1．当p∈（0，0．1）时，f′（p）>0；当p∈（0．1，1）时，f′（p）<0．

所以f（p）的最大值点为p0＝0．1．

（2）由（1）知，p＝0．1．

①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180，0．1），

X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．

所以EX＝E（40＋25Y）＝40＋25EY＝490．

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．

由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．

独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略

（1）在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率．

[对点训练]

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．

（1）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列；

（2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率．

解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．

依条件可知X～B．

P（X＝k）＝C··（k＝0，1，2，3，4，5，6）

X的分布列为：

（2）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

则P（A）＝C××＋C××＋＝．

所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为．

　二项分布应用中的核心素养

数学建模——二项分布的优化决策应用

[例]　（2021·太原模拟）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：

1．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．

2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．

（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；

（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？

[解析]　（1）按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P＝＝．

顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．

此时中奖次数服从二项分布B．

设所得奖金为w1元，则Ew1＝3××30＝9．

即顾客A所获奖金的期望为9元．

（2）按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝＝．

若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B1，由方案b中奖的次数服从二项分布B2，

设所得奖金为w2元，则Ew2＝2××30＋1××15＝10．5．

若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3．

设所得奖金为w3元，则Ew3＝2××15＝9．

结合（1）可知，Ew1＝Ew3<Ew2．

所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．

求解二项分布与统计的交汇问题关键在于事件的分析与统计数据的准确使用．

[对点训练]

空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．

一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图所示．

（1）利用该样本估计该地六月空气质量为优良（AQI≤100）的天数；

（2）将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．

解析：（1）从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为＝，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18．

（2）由（1）估计某天空气质量为优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B．

所以P（ξ＝0）＝＝，

P（ξ＝1）＝C＝，

P（ξ＝2）＝C＝，

P（ξ＝3）＝＝．

ξ的分布列为