2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：3.1 变化率与导数、导数的计算

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：3.1 变化率与导数、导数的计算，共6页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记5个知识点
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：eq \f(Δy,Δx)＝①________________.
(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝②________________.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______________，记作y'|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④________________.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤____________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________.
4．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝⑦________(C为常数)．
(2)(xn)′＝⑧________(n∈Q*)．
(3)(sin x)′＝⑨________，(cs x)′＝⑩________.
(4)(ex)′＝⑪________，(ax)′＝⑫________.
(5)(ln x)′＝⑬________，(lgax)′＝⑭________.
5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮____________________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝⑯____________________.
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
二、必明3个易误点
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．( )
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
二、教材改编
2．已知函数f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
3．曲线y＝1－eq \f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．
三、易错易混
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cs 2x，则f′(0)＝________.

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝eq \f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq \f(e,4)，则a＝________.

eq \x(考点一) 导数的运算[自主练透型]
1．[2021·华中师范大学第一附中模拟]设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))x2－x，则f′(1)＝________.
2．已知f(x)＝eq \f(cs x,ex)，则f′(x)＝________.
3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝________.
4．[2021·山东省实验中学诊断性考试]设f(x)＝aex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq \f(1,e)，则a＋b＝________.

悟·技法


[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.
考点二 导数的几何意义[分层深化型]
考向一：已知切点的切线方程
[例1] [2020·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
考向二：未知切点的切线方程
[例2] (1)[2021·武汉调研]过点P(1,1)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为______________．
(2)[2020·全国卷Ⅰ]曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
考点三 与切线有关的参数问题[互动讲练型]
[例3] [2019·全国卷Ⅲ]已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
悟·技法
导数几何意义的应用及解决
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
(4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
[提醒] 当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．[2021·福州市高三毕业班适应性练习卷]曲线f(x)＝xsin x在点(π，0)处的切线方程为________．
2．[2021·郑州市高中毕业年级第一次质量预测]曲线y＝xex－2x2＋1在点(0,1)处的切线方程为________．

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设曲线y＝2ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.
4．[2021·惠州市高三调研考试试题]函数f(x)＝(x＋a)ex的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．[2021·洛阳市尖子生联考]已知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于( )
A．1 B. eq \f(3,4) C. eq \f(1,4) D. eq \f(1,2)
6．若点P是函数y＝ex－e－x－3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)))图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A.eq \f(5π,6) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
第一节 变化率与导数、导数的计算
【知识重温】
①eq \f(fx2－fx1,x2－x1) ②eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ③瞬时变化率 ④eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx) ⑤曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率 ⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0) ⑦0 ⑧nxn－1 ⑨cs x ⑩－sin x ⑪ex ⑫axln a ⑬eq \f(1,x) ⑭eq \f(1,xln a) ⑮f′(x)±g′(x) ⑯f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
答案：C
3．解析：∵y′＝eq \f(2,x＋22)，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
4．解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C；又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B，故选D.
答案：D
5．解析：因为f′(x)＝－eq \f(2,3－2x)－2sin 2x，所以f′(0)＝－eq \f(2,3).
答案：－eq \f(2,3)
6．解析：由于f′(x)＝eq \f(exx＋a－ex,x＋a2)，故f′(1)＝eq \f(ea,1＋a2)＝eq \f(e,4)，解得a＝1.
答案：1
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为f(x)＝x3＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))x2－x，
所以f′(x)＝3x2＋2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))x－1.
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))))×eq \f(2,3)－1.
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝－1.
所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
答案：0
2．解析：f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(cs x′ex－cs xex′,ex2)＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
答案：－eq \f(sin x＋cs x,ex)
3．解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋x·eq \f(1,x)＝2 020＋ln x，由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
答案：1
4．解析：f′(x)＝aex＋eq \f(b,x)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝ae＋b＝e,f′－1＝ae－1－b＝\f(1,e)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))∴a＋b＝1.
答案：1
考点二
例1 解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
答案：B
例2 解析：(1)设切点坐标为(x0，y0)，由y＝x3，得y′＝3x2，所以切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3xeq \\al(2,0)，则切线方程为y－y0＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)．又点(x0，y0)在曲线y＝x3上，且点P(1,1)在切线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－y0＝3x\\al(2,0)1－x0，,y0＝x\\al(3,0)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(1,2)，,y0＝－\f(1,8)，))所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即y＝3x－2或y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4).
(2)设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝eq \f(1,x)＋1，则该切线的斜率k＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))))x＝x0＝eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：(1)y＝3x－2或y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)
(2)y＝2x
考点三
例3 解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e－1,b＝－1.))
答案：D
同类练
1．解析：因为f′(x)＝sin x＋xcs x，所以f′(π)＝sin π＋πcs π＝－π，所以曲线f(x)在点(π，0)处的切线方程为y＝－π(x－π)，即πx＋y－π2＝0.
答案：πx＋y－π2＝0
2．解析：由题意得y′＝(x＋1)ex－4x，则曲线y＝xex－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝1，所以所求的切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
3．解析：由已知得y′＝2a－eq \f(1,x＋1)(x>－1)，所以y′|x＝0＝2a－1＝2，解得a＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
4．解析：f′(x)＝(x＋a＋1)ex，故f′(1)＝(a＋2)e，f′(－1)＝eq \f(a,e).由题意可得f′(1)·f′(－1)＝－1，即(a＋2)e·eq \f(a,e)＝－1，解得a＝－1，选A.
答案：A
5．解析：当x>0时，f′(x)＝eq \f(1,x)－3，因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数，故在(－1，－3)处切线的斜率k＝f′(－1)＝－f′(1)＝2，所以切线方程为y＋3＝2(x＋1)，该切线与x轴，y轴的交点分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，(0，－1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4)，故选C.
答案：C
6．解析：由题意知y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，即tan α≥－1，又－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)，所以y′＝ex＋e－x－3≤eq \r(e)＋eq \f(1,\r(e))－3<0，所以－1≤tan α<0，又α∈[0，π]，所以α的最小值是eq \f(3π,4).
答案：B