2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.9 函数模型及其应用，共6页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
2.函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较
(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度⑧________y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有⑨________.
(2)对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有lgax＞xn，但由于y＝lgax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，⑩________.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们⑪________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有⑫________________.
二、必明2个易误点
1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．
2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
(3)幂函数增长比直线增长更快．( )
二、教材改编
2．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

三、易错易混
4．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A．y＝6x B．y＝lg6x C．y＝x6 D．y＝6x
5．有一组实验数据如表所示：
则下列所给函数模型不适合的有( )
A．y＝lgax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝lgax＋b(a>1)
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69

eq \x(考点一) 一次函数或二次函数模型
[自主练透型]
[2021·山西孝义检测]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
悟·技法
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．
解决此类问题应注意三点：
①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．
解决此类问题应注意以下三点：
①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.
考点二 函数y＝x＋eq \f(a,x)模型的应用
[互动讲练型]
[例1] “水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝eq \f(k,50x＋250)(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
悟·技法
应用函数y＝x＋eq \f(a,x)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq \f(b,x)叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋eq \f(b,x)的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点三 指数、对数函数模型[互动讲练型]
[例2] [2020·山东卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
悟·技法
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2017·北京卷]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：
lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
第九节 函数模型及其应用
【知识重温】
①增函数 ②增函数 ③增函数 ④越来越快 ⑤越来越慢 ⑥y轴 ⑦x轴 ⑧快于 ⑨ax＞xn ⑩lgax＜xn ⑪增长速度 ⑫ax＞xn＞lgax
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：由题意，当02时，图象为指数型曲线，所以C错，B对，故选B.
答案：B
3．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
4．解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
答案：B
5．解析：由所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.
答案：C
6．解析：I(t*)＝eq \f(K,1＋)＝0.95K，整理可得＝19，两边取自然对数得0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈66，故选C.
答案：C
课堂考点突破
考点一
解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x＞2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6故y＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50x－1153≤x≤6，x∈Z,－3x2＋68x－1156定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))2＋eq \f(811,3)(6∵270>185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
考点二
例1 解析：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费，
∵C(0)＝eq \f(k,250)＝4，∴k＝1 000，
∴y＝0.2x＋eq \f(1 000,50x＋250)×4＝0.2x＋eq \f(80,x＋5)(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋eq \f(80,x＋5)－1≥2eq \r(0.2×80)－1＝7，
当且仅当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，
∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．
变式练
1．解析：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋eq \f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋eq \f(800,3x＋5)－10≥2eq \r(6x＋10·\f(800,3x＋5))－10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝eq \f(800,3x＋5)，
即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
考点三
例2 解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(It1＝，,It2＝，,It2＝2It1，))则＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
答案：B
变式练
2．解析：由题意，lgeq \f(M,N)＝lgeq \f(3361,1080)＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故与eq \f(M,N)最接近的是1093.故选D.
答案： D 函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝lgax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增减性
①________
②________
③________
增长速度
④________
⑤________
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐
表现为与
⑥________平行
随x增大逐渐
表现为与
⑦________平行
随n值变化
而不同
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37