2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：6.1 数列的概念与简单表示法

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：6.1 数列的概念与简单表示法，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记5个知识点
1．数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(⑦ ，n＝1，,⑧ ，n≥2.))
4．数列的分类
5.常见数列的通项公式
①自然数列：(1,2,3,4，…) an＝n；
②奇数列：(1,3,5,7，…) an＝2n－1；
③偶数列：(2,4,6,8，…) an＝2n；
④平方数列：(1,4,9,16，…) an＝n2；
⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…) an＝2n；
⑥倒数列：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,4)，…)) an＝eq \f(1,n)；
⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)
可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…) an＝n(n＋1)；
⑧重复数串列：(9,99,999,9 999，…) an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.999 9，…) an＝1－10－n；
⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…) an＝(－1)n.
二、必明2个易误点
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
二、教材改编
2．[必修5·P67T2改编]数列{an}的前几项为eq \f(1,2)，3，eq \f(11,2)，8，eq \f(21,2)，…，则此数列的通项可能是( )
A．an＝eq \f(5n－4,2) B．an＝eq \f(3n－2,2)
C．an＝eq \f(6n－5,2) D．an＝eq \f(10n－9,2)
3．[必修5·P33T4改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1－eq \f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5＝________.

三、易错易混
4．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当前n项和Sn取最大值时，n＝________.
5．已知Sn＝2n＋3，则an＝________.


四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

eq \x(考点一) 数列的有关概念及通项公式
[自主练透型]
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
2．数列eq \f(3,2)，－eq \f(5,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(9,16)，…的一个通项公式为( )
A．an＝(－1)n·eq \f(2n＋1,2n) B．an＝(－1)n·eq \f(2n＋1,2n)
C．an＝(－1)n＋1·eq \f(2n＋1,2n) D．an＝(－1)n＋1·eq \f(2n＋1,2n)
3．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))②an＝eq \f(1＋－1n,2)，③an＝eq \f(1＋cs nπ,2)，④an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(nπ,2))).其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
悟·技法
由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.

考点二 由an与Sn的关系求通项an
[互动讲练型]
[例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于( )
A．27 B．81
C．93 D．243
悟·技法
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写(如本例(1)).
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，且2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an(n∈N*)．则数列{an}的通项公式为________．
2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

考点三 由递推关系式求数列的通项公式
[互动讲练型]
考向一：形如an＋1＝an＋f(n)，求an
[例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
考向二：形如an＋1＝anf(n)，求an
[例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
考向三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
[例4] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
考向四：形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋A)(A，B为常数)，求an
[例5] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
悟·技法
典型的递推数列及处理方法
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[累加法]在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.
4．[累乘法]已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
5．[待定系数法]已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________________．
6．[取倒数法]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋2)(n∈N*)，求通项公式an＝________.
第六章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
【知识重温】
①一定顺序 ②每一个数 ③an＝f(n) ④a1＋a2＋…＋an ⑤(n，an) ⑥公式 ⑦S1 ⑧Sn－Sn－1 ⑨an＋1>an ⑩an＋1【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：数列为eq \f(1,2)，eq \f(6,2)，eq \f(11,2)，eq \f(16,2)，eq \f(21,2)，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝eq \f(5n－4,2).
答案：A
3．解析：a2＝1＋eq \f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(－13,a2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f(－14,a3)＝3，a5＝1＋eq \f(－15,a4)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
4．解析：令an＝－n2＋6n＋7≥0得1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第7项为0，且从第8项开始an＜0，则该数列的前6项或前7项的和最大．
答案：6或7
5．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1.
由于a1＝5不满足上式，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5，n＝1，,2n－1，n≥2.))
6．解析：根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝eq \f(－1×1－25,1－2)＝－63.
答案：－63
课堂考点突破
考点一
1．解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
答案：D
2．解析：该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是指数2n，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D选项正确．
答案：D
3．解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．
答案：A
考点二
例1 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，经检验a1＝4不适合an＝2n＋1，故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n＝1，,2n＋1n≥2.))
(2)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，a4＝a1q3＝34＝81.故选B.
答案：(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n＝1，,2n＋1n≥2)) (2)B
变式练
1．解析：当n＝1时，2S1＝aeq \\al(2,1)＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(a\\al(2,n)＋an,2)－eq \f(a\\al(2,n－1)＋an－1,2)，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，所以an＝(－1)n－1或an＝n.
答案：an＝(－1)n－1或an＝n
2．解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，两边同时除以SnSn＋1得eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－eq \f(1,n).
答案：－eq \f(1,n)
考点三
例2 解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq \f(n－12＋n,2)＝eq \f(n2＋n－2,2).
又∵a1＝1，∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n∈N*)．
例3 解析：∵an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，
∴an－1＝eq \f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq \f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq \f(1,2)a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1·eq \f(1,2)·eq \f(2,3)·…·eq \f(n－1,n)＝eq \f(a1,n)＝eq \f(1,n).
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq \f(1,n)(n∈N*)．
例4 解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
例5 解析：∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，
∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2).
又a1＝1，∴eq \f(1,a1)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列，
∴eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n＋1,2)，
∴an＝eq \f(2,n＋1).
答案：eq \f(2,n＋1)
变式练
3．解析：原递推公式可化为
an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
则a2＝a1＋1－eq \f(1,2)，a3＝a2＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，
a4＝a3＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，an＝an－1＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，逐项相加得，
an＝a1＋1－eq \f(1,n)，故an＝4－eq \f(1,n).
答案：4－eq \f(1,n)
4．解析：∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an＋1,an)＝2n，当n≥2时，an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2eq \f(n2－n＋2,2).又a1＝1也符合上式，∴an＝2eq \f(n2－n＋2,2).
答案：2eq \f(n2－n＋2,2)
5．解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋eq \f(1,3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3))).
因为a1＝3，所以a1＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3)))是首项为eq \f(10,3)，公比为4的等比数列．
所以an＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)×4n－1，
故数列{an}的通项公式为
an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3).
答案：an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3)
6．解析：由an＋1＝eq \f(an,an＋2)，得eq \f(1,an＋1)＝1＋eq \f(2,an)，所以eq \f(1,an＋1)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))是首项为eq \f(1,a1)＋1＝2，公比为2的等比数列，则eq \f(1,an)＋1＝2n.∴an＝eq \f(1,2n－1).
答案：eq \f(1,2n－1)
概念
含义
数列
按照①________________排列的一列数
数列的项
数列中的②____________
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③____________表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝④________________________叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点⑤____________画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用⑥________表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
单调性
递增数列
∀n∈N*，⑨____________
递减数列
∀n∈N*，⑩____________
常数列
∀n∈N*，an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
周期数列
∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
累加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
累乘法
a1＝1，eq \f(an＋1,an)＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等
比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋A)
化为等
差数列
a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)