2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（八） 数形结合法求解函数零点问题

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直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程．函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决．

[例] (1)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝lgax有三个不同的实根，则a的取值范围为________．
解析：(1)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.
(2)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝lgax有三个不同的根，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,f6<2，,f10>2，))如图，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,lga6<2，,lga10>2，))解得eq \r(6)答案：(1)B (2)(eq \r(6)，eq \r(10))
名师点评 函数与方程中的直观想象素养的培养，运用数形结合思想是解决函数与方程问题的行之有效的思想方法，利用直观想象建立形与数的联系，探索到方程的根，函数的零点，图象的交点之间的关系，通过“挖”题目的信息，培养了学生直观想象力、数学抽象、逻辑推理的学科素养．
[变式练]
1．[2021·山东济宁邹城一中模拟]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－ex，x≤0，,x2－2x，x>0，))若函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,1]
C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
2．[2018·浙江卷]已知λ∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
微专题(八)
变式练
1．解析：根据题意知f(x)＝1－ex，x≤0，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x>0.画出函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，∵函数y＝f(x)－m有两个不同的零点，∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，由图象可得m的取值范围为(－1,1)．
答案：A
2．解析：当λ＝2时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≥2，,x2－4x＋3，x<2，))
其图象如图(1)．
由图知f(x)<0的解集为(1,4)．
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ))恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．
答案：(1,4) (1,3]∪(4，＋∞)