数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时同步测试题

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时同步测试题，共8页。


[对应学生用书P98]
知识点1 正弦函数、余弦函数的周期性
1．函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
[微体验]
1．思考辨析
(1)因为sin(45°＋90°)＝sin 45°，所以90°是函数y＝sin x的一个周期．( )
(2)所有周期函数都有最小正周期．( )
(3)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝2cs x＋5的最小正周期是________．
解析 函数y＝2cs x＋5的最小正周期为T＝2π.
答案 2π
知识点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
[微体验]
1．函数y＝f(x)＝－sin x的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数[来源:Z*xx*k.Cm]
D．非奇非偶函数
A [因为x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．]
2．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
D [因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，所以该函数是周期为2π的偶函数．]
[对应学生用书P99]
探究一 正弦函数、余弦函数的周期问题
求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；(2)y＝|cs x|.
解 (1)定义法：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,3)))，
所以此函数的周期是π.
公式法：利用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，
得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的周期为eq \f(2π,2)＝π.
(2)作出函数y＝|cs x|的图象，如图所示．
观察图象可知此函数的周期是π.
[变式探究] 本例(2)中函数改为y＝cs |x|，则其周期又是什么？
解 由诱导公式得y＝cs |x|＝cs x.
所以其周期T＝2π.
[方法总结]
求三角函数周期的三种方法
(1)定义法．
(2)公式法．对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，
T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)观察法(图象法)．
其中公式法是较常用的方法．
[跟踪训练1] 下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )
A．y＝sineq \f(x,2) B．y＝sin 2x
C．y＝cseq \f(x,4) D．y＝cs 4x
D [选项A，周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π；选项B，周期T＝eq \f(2π,2)＝π；选项C，周期T＝eq \f(2π,\f(1,4))＝8π；选项D，周期T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).]
探究二 正弦函数、余弦函数的奇偶性问题
(1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)π－2 020x))是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
(2)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
(1)B [因为原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2 020x))＋1 008π))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2 020x))＝－cs 2 020x，所以为偶函数．]
(2)A [函数的定义域为R, 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0.]
[方法总结]
判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
[跟踪训练2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cs x；
(2)f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1).
解 (1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cs x≥0且cs x－1≥0，得cs x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．[来源:学。科。网]
探究三 正弦函数、余弦函数周期性与奇偶性的综合
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值是多少？
解 ∵f(x)的最小正周期为π，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).
又f(x)是偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).
[方法总结]
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A、ω≠0)或y＝Acs ωx(A、ω≠0)．
[跟踪训练3] 若f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))的值．
解 ∵f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,6)＋\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－1.
[对应学生用书P100]
1．求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.
(3)公式法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝eq \f(2π,ω).
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．涉及三角函数有关的问题时注意诱导公式的运用．
课时作业(四十) 正弦函数、余弦函数的周期性
与奇偶性
[见课时作业(四十)P183]
1．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R( )
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
A [由f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)可知f(x)是奇函数．]
2．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
D [结合周期函数的定义可知A，B，C均为周期函数，D不是周期函数．]
3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))
D [y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π.]
4．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs x＋\f(1,2)))的周期为( )
A．2π B．π
C．eq \f(π,2) D．4π
A [作出函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs x＋\f(1,2)))的图象(图略)，由图象知，该函数的周期为2π.]
5．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)说法正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
BC [当φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．
当φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cs x是偶函数．故B、C正确，A、D错误．]
6．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于________对称．
解析 y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，易证函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．
答案 原点
7．在函数：①y＝cs|2x|；②y＝|cs x|；③y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))中，最小正周期为π的所有函数的序号是________．
解析 由图象(略)知，①②的最小正周期均为π；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期为π.
答案 ①②③
8．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
解析 ∵T＝eq \f(2π,\f(k,4))≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.
答案 13
9．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
证明 ∵f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－eq \f(1,fx＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．
10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)， 3π))时f(x)的解析式．
解 x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)， 3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)， 3π)).
1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x≤0，,sin x，0A．1 B．eq \f(\r(2),2)
C．0 D．－eq \f(\r(2),2)
B [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)＋\f(3π,2)×3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).]
2．已知函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－eq \f(π,4)
C．eq \f(π,2) D．π
B [y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))为奇函数，则只需eq \f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)满足题意．]
3．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式为________．
解析 当x<0时，－x>0，[来源:学&科&网]
所以f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
又f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－sin x，
即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0.))
答案 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0.))
4．设函数f(x)＝sin eq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________.
解析 ∵f(x)＝sineq \f(π,3)x的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)
＝336eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)＋sin\f(2,3)π＋sin π＋sin\f(4,3)π＋sin\f(5,3)π＋sin 2π))
＋f(336×6＋1)＝336×0＋f(1)＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
答案 eq \f(\r(3),2)
5．(拓广探索)已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)， \f(π,2)))时，g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))，求关于x的方程g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集．
解 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)， \f(π,2)))时，
g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
因为x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，
所以由g(x)＝eq \f(\r(3),2)，
解得x＋eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)或eq \f(π,6)，
即x＝－eq \f(π,2)或－eq \f(π,6).
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)＝eq \f(\r(3),2)的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,2)或x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z)))).
课程标准
核心素养
借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0, 2π]上的性质.
通过对正弦函数、余弦函数的性质的学习，提升“直观想象”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.