数学5.3 函数的单调性精品同步达标检测题

5.3函数的单调性同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）

1. 若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是

A. 2 B.  C. 2或 D. 0

2. 若函数则的最大值、最小值分别为

A. 10，6 B. 10，8 C. 8，6 D. 以上都不对

3. 函数在上的最大值为1，则k的值为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 函数则下列命题正确的是   

A. 函数是偶函数
B. 函数最小值是0
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的图象关于直线对称

5. 若不等式对一切都成立，则a的最小值为   

A. 0 B.  C.  D.

6. 函数在区间上的最小值为 

A.  B.  C.  D. 1

7. 函数则下列命题正确的是   

A. 函数是偶函数
B. 函数最小值是0
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的图象关于直线对称

8. 已知是定义在上的函数，则函数在上单调递增，是函数在上的最大值为的     

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 若不等式对一切都成立，则a的最小值为

A. 0 B.  C.  D.

10. 下列命题中，错误的命题个数有

函数是偶函数；                                    
函数的最小值是4；

函数的定义域为，且对其内任意实数、均有：，则在上是减函数．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11. 设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数：；；；是定义在实数集R上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是

A.  B.  C.  D.

12. 函数的最小值为0，则m的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

13. 函数则下列命题正确的是

A. 函数是偶函数
B. 函数最小值是0
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的图象关于直线对称

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

14. 已知奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为8，最小值为，则的值为          ．
15. 若函数在区间上的最小值为，则          ．
16. 已知函数，，则其值域为          ．
17. 已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为______．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

18. 定义若函数，则最小值为          ，不等式的解集为          ．
19. 函数的单调递增区间为          ，          
20. 函数在上的最小值为          ，最大值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

21. 已知函数，其中e为自然对数的底数．
    证明：在上单调递增；
    函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数．

判断并证明函数在上的单调性；

求函数在上的最值．






 

23. 函数在区间上的最小值记为．

若，求函数的解析式；

定义在的函数为偶函数，且当时，，求不等式的解集．






 

24. 已知函数，．
    当时，求函数的最大值和最小值；
    求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知函数．

用定义法证明在区间上是增函数；

求函数在区间上的最值．






 

26. 已知函数对于任意x，，总有，且时，．

求证：f 在R上是奇函数；

求证：f 在R上是减函数；

若f ，求f 在区间上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查一次函数的单调性及其应用，考查一次函数最值问题，属基础题．
分类讨论，解出即可．

【解答】

解：当时，，不符合题意；
当时，在上递增，
因为函数在上的最大值与最小值之差为2，
所以，解得；
当时，在上递减，
因为函数在上的最大值与最小值之差为2，
所以，解得．
综上，得，
故选C．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的最值问题，属于基础题目．
根据分段函数的单调性得出函数的最值即可．

【解答】

解：函数在R上单调递增，且函数在R上单调递增，
而当时，，
故得在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为．
故选A．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性与最大值，正确运用函数的单调性是关键．
确定函数的单调性，利用函数在上的最大值为1，即可求出k的值．

【解答】

解：函数，在上的最大值为1，
由题意，时，函数在上单调递减，
，
，
故选：C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了分段函数及函数的性质，涉及函数的奇偶性与对称性，函数的单调性及最值等，考查了数形结合的应用，属于基础题．
由题意，画出函数图象，进而观察并分析可得正确答案．
【解答】
解：画出函数图象如图：

可知函数是非奇非偶函数，A错误；函数最小值是0，B正确；
函数的单调递增区间是，C错误；
，，，所以函数不关于对称，D错误．
故选B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意，可得对于一切恒成立，由函数在上单调递减，求出函数的最小值，即可求出结果．
【解答】
解：不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立，
令，
由对勾函数的单调性可得，函数在上单调递减，
则当时，y取得最小值，最小值为，
则有，解得，
则a的最小值为．
故选D．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查借助函数的单调性求最值问题，明确是一个减函数加上一个减函数的形式，即是减函数，再利用单调性求解．
【解答】
解：，均为上的减函数，
函数在区间上是减函数，
．
故选：A．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数以及函数的奇偶性、单调性、最值和对称性，属于基础题．
画出函数图象逐个判断即可．
【解答】
解：画出函数图象如图：

可知函数是非奇非偶函数，A错误；

函数最小值是0，B正确；

函数的单调递增区间是，，C错误；

，，，所以函数不关于对称，D错误．
故选B．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
利用充分、必要条件，根据题意直接判断即可．

【解答】

解：由于函数在上单调递增，
故函数在上的最大值，在区间的右端点处取得，即，
若函数在上的最大值为，则函数不一定在上单调递增，
比如，，则函数在上的最大值为，但函数在上不单调，
故选：A．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意，可得对于一切恒成立，由函数在上单调递减，求出函数的最小值，即可求出结果．
【解答】
解：不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立，
令，
由对勾函数的单调性可得，函数在上单调递减，
则当时，y取得最小值，最小值为，
则有，解得，
则a的最小值为．
故选D．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，单调性，最值的知识，逐项判断正误即可．
【解答】
解：，时是偶函数，时是非奇非偶函数，故错误
函数，的值域是，4不是最小值，故错误
函数的定义域为，且对其内任意实数，均有，则时，，故在上是减函数，故正确，
故选：C  

11.【答案】D
 

【解析】解：对于，m是任意正数时都有，是F函数，故正确；
对于，，，即，不存在这样的M对一切实数x均成立，故错；
对于，要使成立，即，当时，m可取任意正数；当时，只须，因为，所以故正确．
对于，是定义在实数集R上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数x均成立，符合题意，故正确．
故选：D．
本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义对各选项进行判定．比较各个选项，发现只有选项，根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案．
本题重点考查了函数的最值及其性质，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．深刻理解题中F函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查求函数的最小值，属于基础题目．
利用分离常数法变形后利用函数的单调性由函数的最小值为0得出m的取值范围即可．

【解答】

解：函数在区间上单调递减．
当时，．

根据题意时，．
所以m的取值范围是．
故选D．

13.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查分段函数以及函数的奇偶性、单调性、最值和对称性，属于基础题．
画出函数图象逐个判断即可．
【解答】
解：画出函数图象如图：

可知函数是非奇非偶函数，A错误；

函数最小值是0，B正确；

函数的单调递增区间是，，C错误；

，，，所以函数不关于对称，D错误．
故选B．

14.【答案】9
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
利用单调性可知f 的最大值为f ，f 的最小值为f ，再结合奇函数得f  ，即可求出答案．

【解答】

解：由于f 在上为增函数，
所以f 的最大值为f ，f 的最小值为f ，
因为f 为奇函数，
所以f  ，
所以f  ．
故答案为9．

15.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，属于容易题．
由函数在区间上单调递减可得最小值为．

【解答】

解：函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
且最小值为，
解得．
故答案为4．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用换元的方法将问题转化为二次函数闭区间上的最值的求法；注意换元后新元的范围，即这里t的范围．将解析式变形，设，则，解析式为，求二次函数闭区间的最值．

【解答】

解：设，则，解析式为，
函数在单调递减，在单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为；
所以函数的值域是；
故答案为：．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，利用函数的单调性求最值，属于基础题．
根据函数的解析式，可求出函数的定义域，进而根据定义在R上的奇函数，图象必过原点，构造方程，解方程可得m的值，再利用单调性求最值．
【解答】
解：函数的定义域为R，
且函数为奇函数，
故，
解得，经检验，满足题意，
所以，
又函数在区间上是增函数，
所以函数在区间上的最大值为，
故答案为．  

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查分段函数的运用，考查新定义的理解和运用，同时考查一次函数与指数函数的单调性及应用，属于中档题．
在中，令，得x的值，对x讨论，即可求的最小值，讨论和，即可求解
【解答】
解：令，解得，
即为增函数，为减函数，
当时，，
即，
当时，，
，
故的最小值为，
当，解得，
当，解得，
故不等式的解集为，
故答案为，．  

19.【答案】

8

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数在给定区间上的单调性、最大值问题，属于基础题．
根据二次函数的对称轴，再结合定义域即可写出函数单调递增区间；最后根据单调性知最大值在区间端点处取得，计算比较大小即可得解．

【解答】

解：由题意知，函数的图象开口向上，且对称轴方程为，
所以单调递增区间为，
．
故答案为；8．

20.【答案】

1

【解析】

【分析】

本题考查了函数单调性的应用，应先判定函数的单调性，再求最值，是基础题．
先判定在上的单调性，再求最值．

【解答】

解：任取，，且，
则，
，，，
，
即，
在上单调递减；
函数在上的最小值是，最大值是；
故空1答案为：；空2答案为：1．

21.【答案】证明：设，
则，
，
，
，
，
故在上单调递增，
解：由题意可得，即为偶数，同理也是R上的偶函数，
总存在对任意，都成立，
即函数在上最大值不小于的最大值，
由可知在上单调递增，，
，
令，则，，
解可得，
即，
．
 

【解析】结合函数单调性的定义，设，利用作差法比较与的大小即可判断，
结合函数的奇偶性及恒成立与最值关系的相互转化即可求解．
本题主要考查了函数单调性的定义及利用单调性求解函数最值及恒成立与最值关系的相互转化，属于中档试题．
 

22.【答案】解：函数在区间上单调递减，证明如下：
设，是区间上的任意两个实数，且，．
由于，所以，且，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减．

由知，函数在上单调递减，
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为，最小值为．

【解析】本题考查了函数的单调性与单调区间、函数的最值的相关知识，属于基础题．
利用定义法证明即可得出答案；
由得出函数在上单调递减，即可得出最大值和最小值．
 

23.【答案】解：因为，
在区间上的最小值记为，
所以时，，
所以；
当时，在上单调递减，
所以，
结合可知
因为时，，
所以时，
易知函数在上单调递减，
因为定义在的函数为偶函数，且，
所以，则，
所以即
从而或，
故所求不等式的解集为．
 

【解析】本题考查了二次函数性质，函数最值，函数单调性，函数奇偶性以及不等式求解问题，考查了分析和运用能力，属于中档题．
先将函数配方，然后结合m的范围以及二次函数性质即可求解；
先求出时函数，进而求出函数解析式，结合函数的单调性和奇偶性建立不等式求解即可．
 

24.【答案】解：当时，函数的对称轴为，
在区间单调递减，在单调递增，
  且，，
，；
在区间上是单调函数，
对称轴或，
 解得：或．
 

【解析】   本题考查了二次函数的单调性以及最大最小值问题，属于常见题型，应该熟练掌握．
直接将代入函数解析式，求出最大最小值．
先求的对称轴，所以若在区间上是单调函数，则区间在对称轴的一边，所以得到，或，这样即得到了a的取值范围．
 

25.【答案】证明：

任取，且

，

，即

在单调递增

解：由知，在单调递增，

【解析】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．
根据题意，任取，，且，用作差法证明即可，
根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案．
 

26.【答案】证明：函数f 对于任意x，总有f   ，

令得f ，

令得f  ，

 在R上是奇函数．

证明：在R上任取，

则，f     ，

时，f ， ，

  ， 在R上是减函数．

解： 是R上的减函数，

 在上也是减函数，

 在上的最大值和最小值分别为f 和f ，

而f  ，f  ，

 在上的最大值为2，最小值为．

【解析】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键，属于中档题．
利用赋值法，根据奇偶性的定义即可得到结论
根据函数单调性的定义进行判断即可得的单调性
结合题干条件，利用单调性和奇偶性的关系，求函数的最值即可．