高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性优秀练习题

5.4函数的奇偶性同步练习苏教版（  2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共13小题，共65.0分）

1. 已知定义域为R的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

2. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则等于

A.  B.  C. 1 D. 3

3. 函数是

A. 奇函数，且在上单调递增 B. 奇函数，且在上单调递减
C. 偶函数，且在上单调递增 D. 偶函数，且在上单调递减

4. 设是定义域为R的奇函数，且若，则

A.  B.  C.  D.

5. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，则

A.  B.  C.  D.

6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的有则 

A.  B.
C.  D.

7. 下列函数是奇函数的是

A.  B.  C.  D.

8. 下列函数中是奇函数的为

A.  B.  C.  D.

9. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是   

A. 3 B.  C. 或3 D. 1

10. 已知函数，则 

A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数

11. 若是R上周期为5的奇函数，且满足，，则等于   

A.  B.  C. 1 D. 2

12. 已知函数是奇函数，当时，，且，则实数m的值为 

A.  B. 0 C. 4 D. 2

13. 设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是

A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

14. 若是偶函数，当时，，则的解集是          ．
15. 已知函数为偶函数，则m的值是          ．
16. 已知偶函数在单调递减，若，则x的取值范围是          
17. 设函数为奇函数，则          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

18. 已知函数，是奇函数，且在上单调递减，则实数      ；实数m的取值范围用区间表示为      ．
19. 若函数为偶函数，则          ，          ．
20. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则          当时，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 定义在上的函数是奇函数，其部分图像如图所示．

请在坐标系中补全函数的图像；

比较与的大小．






 

22. 已知函数，且．

求m的值；

判断函数的奇偶性．






 

23. 已知函数．

求函数的定义域．

判断的奇偶性．

判断的单调性只写出结论即可，并求当时，函数的值域．






 

24. 已知函数是奇函数，且．

求函数的解析式；              

判断函数在上的单调性，并加以证明．






 

25. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
    Ⅰ求及的值；
    Ⅱ求函数的解析式；
    Ⅲ若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性和奇偶性，属于基础题．
根据为偶函数可得直线为函数的对称轴，则，由函数在上单调递增，可得在上单调递减，结合列不等式，最后解不等式即可．

【解答】

解：由题意为偶函数，
则的图像关于直线对称，
则，
又在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以由得，
所以，
故不等式的解集为，
故选A．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

要计算的值，根据是定义在R上的奇函数，我们可以先计算的值，再利用奇函数的性质进行求解即可
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．

【解答】

解：当时，，
，
又是定义在R上的奇函数，
．
故选A．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由奇偶性的定义即可得是奇函数，排除C，D，结合对勾函数的性质即可求解．

【解答】

解：因为，
所以函数为奇函数，排除C，D；
结合对勾函数的性质可知，在上单调递减．
故选B．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．
由已知及进行转化得，再结合从而可求．

【解答】

解：由题意得，
又，
所以，
又，
则．
故选：C．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性．
由奇函数得，即可得出结果．

【解答】

解：因为是定义在R上的奇函数，
所以．
故选A．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．
根据题意，由函数的奇偶性可得，进而分析可得函数在上为减函数，则有，结合，分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数为偶函数，则，
函数满足：对任意，，有，
则函数在上为减函数，
则，
又由，则，
故选：A．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．
根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于B，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于C，，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，
对于D，，是奇函数，符合题意，
故选：D．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为对称轴为y轴的二次函数，是偶函数，不符合题意，
对于B，，其定义域为，有，是奇函数，符合题意，
对于C，，是对称轴的二次函数，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意，
对于D，，是一次函数，不经过原点，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意，
故选：B．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
由偶函数的定义求出b，利用定义域关于原点对称求出a即可求解．

【解答】

解：依题意得：，
即恒成立，
，
又由定义域知，
， 
 
故选A．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．
由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案．
【解答】
解：函数的定义域为，

，
，
即函数为奇函数，
又由函数为增函数，为减函数，
故函数为增函数．
故选A．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
利用奇偶性和周期性求出和，即可得的值．

【解答】

解：若是R上周期为5的奇函数，
，，
 ，，
，
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
推出代入函数表达式可得m．

【解答】

解：根据题意，函数是奇函数，且，
则．
又由当时，，
则，解得．
故选B．

13.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．
根据奇偶函数的定义逐个选项判断即可得到答案．

【解答】

A选项，设，
则，
故F为偶函数，A不正确；
B选项，设，
则，
故奇偶性不能确定，故B不正确；
C选项，设，
则，
所以为奇函数，故C不正确；
D选项，设，
则，
所以是偶函数，
故D正确．
故选D．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用．
先画出y轴右侧的图象，再利用偶函数的性质画出y轴左侧的图象，由图象写出不等式的解集．

【解答】

解：偶函数的图象关于y轴对称，
 

先作出的图象，如图所示，
由图可知的解集为，

的解集为．
故答案为．

15.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
因为函数为偶函数根据得关于m的等式解出m即可．

【解答】

解：由函数是偶函数得：，
即，
解得，
故答案为2．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．

利用偶函数在关于原点对称区域上的单调性关系得不等式，求解不等式即可．

【解答】

解：因为偶函数在单调递减，

且

由得，

解得．

则x 的取值范围是．

故答案为．

17.【答案】 
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数的定义，即可得解．

【解答】

解：由，得，
即，
，经检验，满足题意；
故答案为：．

18.【答案】1

【解析】解：函数为奇函数，则满足，
当时，，，
则由，得，得，
此时，当时，抛物线的对称轴为，
则函数的图象如图：
则函数的单调递减区间为为，
在上单调递减，
，得，即，
即实数m的取值范围是，
故答案为：1，
根据奇函数的定义建立方程求出a，结合二次函数的性质和单调性，建立不等式组求m．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合奇函数的性质以及单调性的定义，利用数形结合是解决本题的关键．难度中等．
 

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出k的值，属于基础题．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得，
可得，变形分析可得k的值，即可得函数的解析式，将代入解析式即可得答案，

【解答】

解：根据题意，函数为偶函数，
则，即，
变形可得：，
则有，
则，则，
故答案为：；．

20.【答案】2

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查了推理了与计算能力，属于基础题．
由题意，可得是以4为周期的周期函数，从而可求出，进而利用偶函数可求出当时，的解析式．
【解答】
解：由，得，
所以是以4为周期的周期函数，
所以；
设，则，
因为是R上的偶函数，所以当时，，
当时，，所以．
故答案为2；．  

21.【答案】解：因为是奇函数，则其图象关于原点对称，
可作出图象如图所示，
；
由中的图象可知在上单调递减，
．
 

【解析】本题考查函数奇偶性的应用，函数图象的作法及利用函数图象判断单调性，从而比较函数值的大小，属于基础题．
根据是奇函数，其图象关于原点对称，由已知的图象，可补全函数的图象；
由中的图象可知在上单调递减，得出．
 

22.【答案】解：由题意知，，

．

由知，，

定义域为，关于原点对称．

，

函数为奇函数．

【解析】本题考查函数的求值与奇偶性，属于基础题，
直接将代入求得m的值；

首先求出定义域为，关于原点对称．

再由奇偶函数的定义证得函数为奇函数．

23.【答案】解：由，
此函数定义域为
由知函数定义域关于原点对称，

，
为奇函数
，
可得在定义域内为增函数．
在区间上为增函数，
 函数的值域为，即．
 

【解析】本题考查函数的定义域和值域，函数的奇偶性以及函数的单调性，属基础题．
根据对数函数的真数大于0，得到，求解即可得到函数的定义域；
利用函数的奇偶性的定义，求出，再检验与的关系，判断出函数的奇偶性，
根据，可知函数在定义域内为增函数；进而得知在区间上为增函数，即可求出函数的值域．
 

24.【答案】解：函数是奇函数，．
，
化为：，对于定义域内的任意实数x都成立，则．
又，
，解得．
，．
函数在上的单调递增．
证明：任取，
则
，
，
，，
，
，
，
函数在上的单调递增．
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定义定及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用奇函数的性质可得：，与联立解出p，q即可得出．
函数在R上单调递增．下面给出证明分析：任取，只要证明即可．
 

25.【答案】解：Ⅰ根据题意，当时，；
则，
，
又由函数为偶函数，则，
则；
Ⅱ设，则，
则有，
又由函数为偶函数，
则，
则当时，，所以．
Ⅲ若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，
而的图象如图：

分析可得；
故m的取值范围是．
 

【解析】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，属于基础题．
Ⅰ根据题意，由函数的解析式，将代入函数解析式即可得的值，同理可得的值，利用函数的奇偶性分析可得的值；
Ⅱ设，则，由函数的解析式分析的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；
Ⅲ若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．