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- 5.3 函数的单调性练习题 试卷 4 次下载
- 专题强化练5 分段函数及其性质 试卷 6 次下载
- 专题强化练6 函数的基本性质及应用 试卷 4 次下载
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2021学年5.4 函数的奇偶性课堂检测
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这是一份2021学年5.4 函数的奇偶性课堂检测，共28页。试卷主要包含了下列说法中,正确的有，已知函数f=xx2+4,x∈，判断下列函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。
5.4 函数的奇偶性
基础过关练
题组一 函数奇偶性的概念及图象
1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是( )
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
3.(多选)下列说法中,正确的有( )
A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图象一定经过原点
C.偶函数的图象若不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数
4.(多选)(2020江苏南京师范大学附属中学高一第一学期期末)直线y=a,a∈R和函数y=x4+1的图象的公共点个数可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-1x,则f(-2)= .
题组二 函数奇偶性的判定
6.(2019江苏淮安高校协作体高一期中)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为( )
A.y=|x| B.y=-2x2 C.y=x D.y=1x
7.已知函数f(x)=xx2+4,x∈(-2,2).
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数.
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2-1+1-x2;
(2)f(x)=2x2+2xx+1;
(3)f(x)=x(1-x),x<0,x(1+x),x>0.
题组三 根据奇偶性求函数表达式或参数
9.(2020江苏扬州高一上学期期末)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+mx+1,且f(1)=-2,则实数m的值为( )
A.-4 B.0 C.4 D.2
10.若f(x)=(x+a)·(x-4)为偶函数,则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.3 D.4
11.(2019江苏扬州中学高一上学期期中)若函数y=x2+(1-a)x-a为偶函数,则实数a的值为 .
12.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b(a,b∈R)是偶函数,其定义域是[a-1,2a],则a= ,b= .
13.(2019江苏常州教学研究合作联盟高一上学期期中)已知函数f(x)在R上为偶函数,且当x≥0时,f(x)=x3-x+2,则当x<0时,f(x)= .
14.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1x+1,求f(x)、g(x)的解析式.
15.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)=x的解集.
题组四 利用函数的奇偶性解决不等式问题
16.(2019江苏南京金陵中学高一月考)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,若当x<0时,函数的大致图象如图所示,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.(-2,-1)∪(1,2)
B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)
17.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,又f(-3)=0,则xf(-x)<0的解集是( )
A.{x|x<-3或03}
C.{x|x<-3或x>3}
D.{x|-3
19.(2019江苏新丰中学高一上学期期中)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值,试判断f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(3)若f(3)=-1,且f(x)+f(x-8)≥-2,求x的取值范围.
能力提升练
题组一 函数奇偶性的判定
1. ()函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,对定义域中的任意x,都有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且g(0)=1,则F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
2.(多选)()若f(x)是R上的函数,则下列叙述正确的有( )
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是奇函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
3.(多选)()若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法不正确的有( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
题组二 根据函数的奇偶性求参数
4.(2020山西大学附属中学高一月考,)若函数f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0为奇函数,则实数a,b的值分别为( )
A.2,3 B.-2,3
C.-2,-3 D.2,-3
5.(2020湖北武汉第二中学高一上学期期中,)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,a为非正实数,且当x>0时,f(x)=ax-x2.若存在实数m
C.(-∞,0] D.⌀
6.()已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈Z)是奇函数,若f(1)=2,f(2)<3,则a+b+c= .
7.(2018河南洛阳高一上期中统考,)已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时, f(x)=4x-x2.若f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则实数t的取值范围是 .
题组三 利用函数奇偶性解决不等式问题
8.(2020江苏盐城滨海高一上学期期末,)已知f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+4x,则不等式f(f(x))
10.(2020江苏南京外国语学校高一上学期期中,)已知f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=f(x)+x2,若当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,则不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集为 .
11.(2019江苏南京金陵中学高一月考,)已知函数f(x)=ax-b4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=13.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在(-2,2)上的单调性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
12.(2020南京师范大学附属中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=ax+bx2+1为R上的奇函数,且f 12=25.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若f(x)≤m2-35在[2,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
13.(2020浙江余杭高级中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a为实数).
(1)若a=2,结合图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
题组四 函数奇偶性的综合应用
14.()若f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调,则满足f(x)=f x+3x+4的所有x的和为( )
A.-3 B.3 C.-8 D.8
15.()若函数f(x)=x3+g(x)+2x2+x2x2+g(x)(其中g(x)为偶函数)的最大值为M,最小值为m,则M与m满足( )
A.M+m=2 B.M+m=4
C.M-m=2 D.M-m=4
16.()已知函数f(x)的定义域为R,有以下4个说法:
(1)f(x)在(-∞,2]上单调递减;
(2)f(x)在[2,+∞)上单调递增;
(3)f(x)是偶函数;
(4)f(2)不是函数的最小值,
若这4个说法中恰好有1个是错误的,则错误说法的序号是 .
17.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R,a∈R.
(1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若f(x)是偶函数,求a的值;
(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.
答案全解全析
5.4 函数的奇偶性
基础过关练
1.C AB显然不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),则f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确,D不正确.
2.B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.ACD 对于B,如f(x)=1x,是奇函数,但是其图象不过原点,故B不正确;根据奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称易知A,C,D正确.故选ACD.
4.ABC 由y=x4+1是偶函数且在[0,+∞)上单调递增,可画出函数的大致图象(图略),从而可知直线y=a与该函数图象的交点个数可能为0,1,2.故选ABC.
5.答案 -72
解析 ∵当x>0时,f(x)=2x-1x,
∴f(2)=72,又∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-72.
6.C 对于A,y=|x|不是奇函数,不符合题意;
对于B,y=-2x2,不是奇函数,不符合题意;
对于C,y=x是正比例函数,既是奇函数又在定义域上是增函数,符合题意;
对于D,y=1x是反比例函数,是奇函数但在其定义域上不是单调函数,不符合题意.
故选C.
7.解析 (1)f(x)是奇函数.理由如下:
f(x)的定义域为(-2,2).
∵f(-x)=-x(-x)2+4=-xx2+4=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-2,2),且x1
∵-20,x1x2-4<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
8.解析 (1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,则x2-1=0,解得x=±1.
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.
9.B 因为f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)2-m+1]=m-2=-2,解得m=0.
故选B.
10.D ∵f(x)=(x+a)·(x-4)为偶函数,
∴f(-x)=f(x)对于任意的x都成立,
即(x+a)·(x-4)=(-x+a)·(-x-4),
展开得x2+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a,
即(a-4)x=0,∴a=4.
11.答案 1
解析 由于函数为二次函数,故当其图象的对称轴为直线x=-1-a2=0,即a=1时,函数为偶函数.
12.答案 13;0
解析 ∵函数具有奇偶性时定义域必须关于原点对称,∴a-1+2a=0,∴a=13.
又∵f(x)图象的对称轴为直线x=-b2a,
∴由偶函数图象关于y轴对称,得-b2a=0,∴b=0.
13.答案 -x3+x+2
解析 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x3+x+2,
又函数f(x)在R上为偶函数,所以f(-x)=f(x)=-x3+x+2,
故当x<0时, f(x)=-x3+x+2.
14.解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
则f(x)-g(x)=1x+1,f(-x)-g(-x)=1-x+1,
即f(x)-g(x)=1x+1,-f(x)-g(x)=1-x+1,
两式相减,得f(x)=xx2-1;
两式相加,得g(x)=1x2-1.
15.解析 (1)根据题意,函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,当x>0时,f(x)=x2-x-3,
当x<0时,-x>0,
则f(x)=-f(-x)=-(x2+x-3)=-x2-x+3,
所以函数f(x)的表达式为f(x)=x2-x-3,x>0,0,x=0,-x2-x+3,x<0.
(2)由(1)得当x>0时,令f(x)=x,即x2-x-3=x,解得x=3或x=-1(舍去);
当x=0时,方程f(x)=x恒成立;
当x<0时,令f(x)=x,即-x2-x+3=x,解得x=-3或x=1(舍去),
综上,方程f(x)=x的解集为{-3,0,3}.
16.A xf(x)>0等价于x<0,f(x)<0或x>0,f(x)>0,
由函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,知f(x)的图象关于原点对称,画出y轴左侧的图象(图略),由图象可得不等式xf(x)>0的解集为(-2,-1)∪(1,2).故选A.
17.C ∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
又∵f(-3)=0,∴f(3)=-f(-3)=0,
作出f(x)的大致图象,如图所示.
xf(-x)<0⇔-xf(x)<0⇔xf(x)>0⇔x>0,f(x)>0或x<0,f(x)<0.
由图象可得x>3或x<-3,
∴xf(-x)<0的解集是{x|x<-3或x>3}.
故选C.
18.B ∵二次函数f(x)=ax2+(b-a)x-b(a≠0,a,b∈R)为偶函数,
∴f(x)图象的对称轴为y轴,
∴-b-a2a=0,∴a=b,∴f(x)=ax2-a,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴a<0.
令f(x)=0,则x=±1,画出大致图象如图.
结合图象得f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
19.解析 (1)∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令x=y=-1,则f(1)=2f(-1)=0,∴f(-1)=0,
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
又∵f(x)的定义域关于原点对称,
∴f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数.
(2)证明:∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴fyx=f(y)-f(x),
任取x1,x2∈(0,+∞),x1
(3)∵f(3)=-1,∴f(9)=2f(3)=-2,
∴f(x)+f(x-8)=f [x(x-8)]≥f(9),
∵f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
∴|x(x-8)|≤9,x(x-8)≠0,
综上,x的取值范围为[-1,0)∪(0,4-7]∪[4+7,8)∪(8,9].
能力提升练
1.B 由已知,得g(x)≠1,所以在F(x)中,x≠0, F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)
=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)
=2f(x)+2f(x)[g(x)-1]g(x)-1-f(x)
=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x),且定义域关于原点对称,所以F(x)是偶函数.
2.CD 对于A,设g(x)=f(x)f(-x).∵g(-x)=f(-x)f(x)=g(x),x∈R,∴f(x)f(-x)是偶函数,故A错误;
对于B,设h(x)=f(x)|f(-x)|.∵h(-x)=f(-x)|f(x)|≠h(x),同理h(-x)≠-h(x),
∴f(x)|f(-x)|既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;
对于C,设m(x)=f(x)-f(-x).∵m(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-m(x),x∈R,∴f(x)-f(-x)是奇函数,故C正确;
对于D,设n(x)=f(x)+f(-x).∵n(-x)=f(-x)+f(x)=n(x),x∈R,∴f(x)+f(-x)是偶函数,故D正确.
故选CD.
3.ABD 令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1.令x1+x2=0,则x2=-x1,由条件有f(0)=f(x1)+f(-x1)+1,∴f(x1)+f(-x1)+2=0,故A,B中说法均不正确;
易知f(-x1)+1=-[f(x1)+1],x∈R,
∴f(x1)+1为奇函数.故C中说法正确,D中说法不正确.故选ABD.
4.B ∵f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0,
∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2+3(-x),-x≥0,(-x)3+a(-x)2+b(-x),-x<0,
即f(-x)=-x3+2x2-3x,x≤0,-x3+ax2-bx,x>0,
∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-x3-2x2-3x,x≥0,-x3-ax2-bx,x<0.
对比系数得a=-2,b=3.
5.B 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,满足f(x)=ax-x2.
当a≤0且x≥0时,函数f(x)=ax-x2为减函数.
设x<0,则-x>0,f(-x)=a·(-x)-(-x)2=-ax-x2,此时,f(x)=-f(-x)=ax+x2,且该函数在(-∞,0)上单调递减,
所以,函数f(x)在实数集R上单调递减,
画草图如下:
由题意可得f(m)=n,f(n)=m,则点(m,n)和点(n,m)在函数f(x)的图象上,且这两点关于直线y=x对称.
若m
因此,m<0
即(m+n)·(a+m-n-1)=0,
∴a=n-m+1>0(舍去)或m+n=0,则n=-m.
代入am+m2=n,得am+m2=-m,∴a=-m-1>-1,又∵a≤0,∴-1
6.答案 2
解析 由f(x)是奇函数得f(-x)=-f(x),即-bx+c=-(bx+c),∴c=0,∴f(x)=ax2+1bx,∵f(1)=2,∴a+1=2b.
∵f(2)<3,∴4a+12b=4a+1a+1<3,解得-1
∴a=1,b=1,c=0,∴a+b+c=2.
7.答案 2≤t≤2+22
解析 当x<0时,-x>0,因此f(-x)=-4x-x2,由函数f(x)是奇函数知, f(0)=0,且f(x)=-f(-x)=4x+x2.
所以函数f(x)=4x-x2,x≥0,4x+x2,x<0,其图象如图所示.
由图象知t≥2,由4x-x2=-4得x=2+22或x=2-22(舍去),故实数t∈[2,2+22].
8.B ∵f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,
∴当x=0时,f(0)=0,
设x∈[-4,0),则-x∈(0,4],
又∵当x>0时,f(x)=-x2+4x,且f(x)为奇函数,
∴当x∈[-4,0)时,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+4(-x)]=x2+4x,
∴f(x)=x2+4x,x∈[-4,0],-x2+4x,x∈(0,4].
当x∈[-4,0]时,不等式f(f(x))
方程x(x+4)(x+3)(x+1)=0的根为x=0或x=-4或x=-3或x=-1,如图所示:
∴当x∈[-4,0]时,所求不等式的解集为{x|-4
9.答案 -2,23
解析 f(x)=x2-1|x|+1-2为偶函数,当x>0时,f(x)=x2-1x+1-2,f(x)为增函数.
所以f(2a)≤f(a-2)等价于|2a|≤|a-2|,解得a∈-2,23.
10.答案 -32,+∞
解析 易知g(x)为R上的偶函数.
∵g(x)=f(x)+x2,∴f(x)=g(x)-x2,
∵f(x+1)-f(x+2)>2x+3,∴[g(x+1)-(x+1)2]-[g(x+2)-(x+2)2]>2x+3,
∴[g(x+1)-g(x+2)]+[(x+2)2-(x+1)2]>2x+3,∴g(x+1)-g(x+2)>0,
∴g(x+1)>g(x+2),∵当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,
∴当x∈(0,+∞)时,g(x)单调递减,大致图象如图.
则|x+1|<|x+2|,解得x∈-32,+∞.
11.解析 (1)因为函数f(x)=ax-b4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=13,
所以f(0)=0,f(1)=13,解得a=1,b=0,
所以f(x)=x4-x2,-2
任取x1,x2∈(-2,2),且x10,4-x12>0,4-x22>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且在(-2,2)上单调递增,所以f(t-1)
∴f(-x)=-f(x),∴f(-x)+f(x)=0,
∴-ax+b(-x)2+1+ax+bx2+1=0对一切x成立,即2bx2+1=0恒成立,∴b=0,∴f(x)=axx2+1.
又∵f12=25,∴a=1,∴f(x)=xx2+1.
(2)在[2,4]上任取x1,x2,且x1
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)(x12+1)·(x22+1)
=(x2-x1)·(x1x2-1)(x12+1)·(x22+1).
∵2≤x10,x1x2-1>0,x12+1>0,x22+1>0,
∴(x2-x1)·(x1x2-1)(x12+1)·(x22+1)>0,∴f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在[2,4]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=25.
若f(x)≤m2-35在[2,4]上恒成立,则f(x)max≤m2-35,即25≤m2-35,
∴m2≥1,∴m≤-1或m≥1,
∴实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
13.解析 (1)由题意,当a=2时,函数f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2,
画出函数的图象,如图所示,
结合图象,可得函数的单调递增区间为(1,+∞).
(2)当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.理由如下:
当a=0时,函数f(x)=x2+2|x|-4,
则f(-x)=(-x)2+2|-x|-4=x2+2|x|-4=f(x),又因为x∈R,定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数;
当a≠0时,可得f(2)=2|2-a|, f(-2)=2|a+2|,则f(2)≠±f(-2),
所以函数f(x)为非奇非偶函数.
(3)对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,只需使得f(x)min≥-1成立,
设g(x)=(x+1)2-2a-5,x≥a,h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a<-1时,g(x)min=g(-1)=-2a-5;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2-4.
对于h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a≥1时,h(x)min=h(1)=2a-5.
①当a<-1时,a2-4-(-2a-5)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,
则f(x)min=g(x)min=g(-1)=-2a-5,由-2a-5≥-1,解得a≤-2,满足题意;
②当-1≤a<1时,f(x)min=a2-4,
由a2-4≥-1,解得a<-3或a>3,不符合题意;
③当a≥1时,a2-4-(2a-5)=a2-2a+1=(a-1)2≥0,则f(x)min=h(x)min=h(1)=2a-5,由2a-5≥-1,解得a≥2,满足题意.
综上,实数a的取值范围是a≤-2或a≥2.
14.C 由f(x)为偶函数知f(|x|)=fx+3x+4,则|x|=x+3x+4,
若x=x+3x+4,即x2+3x-3=0有解,则两根之和为-3;
若-x=x+3x+4,即x2+5x+3=0有解,则两根之和为-5.
故所有的x的和为-8.故选C.
15.A f(x)=x3+g(x)+2x2+x2x2+g(x)=x3+x2x2+g(x)+1.设h(x)=x3+x2x2+g(x),则h(-x)=(-x)3+(-x)2(-x)2+g(-x)=-x3+x2x2+g(x)=-h(x),
∴h(x)为奇函数.
∵f(x)存在最大值M和最小值m,
∴h(x)也存在最大值M'和最小值m',且M'+m'=0.
故M+m=(M'+1)+(m'+1)=2.故选A.
16.答案 (1)
解析 假设(1)和(2)都正确,那么(3)必然错误,画图(图略)可知(4)也错误,不符合题意,所以(1)和(2)中必然有1个是错误的.假设(1)是正确的,(2)是错误的,那么(3)也是错误的,不符合题意.如果(2)是正确的,(1)是错误的,(3)和(4)可以都正确,符合题意.
17.解析 (1)我同意王鹏同学的观点.
理由如下:
假设f(x)是奇函数,
则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,
可得f(a)+f(-a)=0,
即a2-2|a|+3=0,
显然a2-2|a|+3=0无实数解,
故f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),
即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.
经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,
由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
5.4 函数的奇偶性
基础过关练
题组一 函数奇偶性的概念及图象
1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是( )
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
3.(多选)下列说法中,正确的有( )
A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图象一定经过原点
C.偶函数的图象若不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数
4.(多选)(2020江苏南京师范大学附属中学高一第一学期期末)直线y=a,a∈R和函数y=x4+1的图象的公共点个数可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-1x,则f(-2)= .
题组二 函数奇偶性的判定
6.(2019江苏淮安高校协作体高一期中)下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为( )
A.y=|x| B.y=-2x2 C.y=x D.y=1x
7.已知函数f(x)=xx2+4,x∈(-2,2).
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数.
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2-1+1-x2;
(2)f(x)=2x2+2xx+1;
(3)f(x)=x(1-x),x<0,x(1+x),x>0.
题组三 根据奇偶性求函数表达式或参数
9.(2020江苏扬州高一上学期期末)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+mx+1,且f(1)=-2,则实数m的值为( )
A.-4 B.0 C.4 D.2
10.若f(x)=(x+a)·(x-4)为偶函数,则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.3 D.4
11.(2019江苏扬州中学高一上学期期中)若函数y=x2+(1-a)x-a为偶函数,则实数a的值为 .
12.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b(a,b∈R)是偶函数,其定义域是[a-1,2a],则a= ,b= .
13.(2019江苏常州教学研究合作联盟高一上学期期中)已知函数f(x)在R上为偶函数,且当x≥0时,f(x)=x3-x+2,则当x<0时,f(x)= .
14.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1x+1,求f(x)、g(x)的解析式.
15.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)=x的解集.
题组四 利用函数的奇偶性解决不等式问题
16.(2019江苏南京金陵中学高一月考)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,若当x<0时,函数的大致图象如图所示,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.(-2,-1)∪(1,2)
B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)
17.若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,又f(-3)=0,则xf(-x)<0的解集是( )
A.{x|x<-3或0
C.{x|x<-3或x>3}
D.{x|-3
19.(2019江苏新丰中学高一上学期期中)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值,试判断f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(3)若f(3)=-1,且f(x)+f(x-8)≥-2,求x的取值范围.
能力提升练
题组一 函数奇偶性的判定
1. ()函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,对定义域中的任意x,都有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且g(0)=1,则F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
2.(多选)()若f(x)是R上的函数,则下列叙述正确的有( )
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是奇函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
3.(多选)()若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法不正确的有( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
题组二 根据函数的奇偶性求参数
4.(2020山西大学附属中学高一月考,)若函数f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0为奇函数,则实数a,b的值分别为( )
A.2,3 B.-2,3
C.-2,-3 D.2,-3
5.(2020湖北武汉第二中学高一上学期期中,)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数,a为非正实数,且当x>0时,f(x)=ax-x2.若存在实数m
C.(-∞,0] D.⌀
6.()已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈Z)是奇函数,若f(1)=2,f(2)<3,则a+b+c= .
7.(2018河南洛阳高一上期中统考,)已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时, f(x)=4x-x2.若f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则实数t的取值范围是 .
题组三 利用函数奇偶性解决不等式问题
8.(2020江苏盐城滨海高一上学期期末,)已知f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+4x,则不等式f(f(x))
10.(2020江苏南京外国语学校高一上学期期中,)已知f(x)为定义在R上的偶函数,g(x)=f(x)+x2,若当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,则不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3的解集为 .
11.(2019江苏南京金陵中学高一月考,)已知函数f(x)=ax-b4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=13.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在(-2,2)上的单调性;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
12.(2020南京师范大学附属中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=ax+bx2+1为R上的奇函数,且f 12=25.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若f(x)≤m2-35在[2,4]上恒成立,求实数m的取值范围.
13.(2020浙江余杭高级中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a为实数).
(1)若a=2,结合图象写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
题组四 函数奇偶性的综合应用
14.()若f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调,则满足f(x)=f x+3x+4的所有x的和为( )
A.-3 B.3 C.-8 D.8
15.()若函数f(x)=x3+g(x)+2x2+x2x2+g(x)(其中g(x)为偶函数)的最大值为M,最小值为m,则M与m满足( )
A.M+m=2 B.M+m=4
C.M-m=2 D.M-m=4
16.()已知函数f(x)的定义域为R,有以下4个说法:
(1)f(x)在(-∞,2]上单调递减;
(2)f(x)在[2,+∞)上单调递增;
(3)f(x)是偶函数;
(4)f(2)不是函数的最小值,
若这4个说法中恰好有1个是错误的,则错误说法的序号是 .
17.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R,a∈R.
(1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若f(x)是偶函数,求a的值;
(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.
答案全解全析
5.4 函数的奇偶性
基础过关练
1.C AB显然不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),则f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确,D不正确.
2.B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.ACD 对于B,如f(x)=1x,是奇函数,但是其图象不过原点,故B不正确;根据奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称易知A,C,D正确.故选ACD.
4.ABC 由y=x4+1是偶函数且在[0,+∞)上单调递增,可画出函数的大致图象(图略),从而可知直线y=a与该函数图象的交点个数可能为0,1,2.故选ABC.
5.答案 -72
解析 ∵当x>0时,f(x)=2x-1x,
∴f(2)=72,又∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-72.
6.C 对于A,y=|x|不是奇函数,不符合题意;
对于B,y=-2x2,不是奇函数,不符合题意;
对于C,y=x是正比例函数,既是奇函数又在定义域上是增函数,符合题意;
对于D,y=1x是反比例函数,是奇函数但在其定义域上不是单调函数,不符合题意.
故选C.
7.解析 (1)f(x)是奇函数.理由如下:
f(x)的定义域为(-2,2).
∵f(-x)=-x(-x)2+4=-xx2+4=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-2,2),且x1
∵-2
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
8.解析 (1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,则x2-1=0,解得x=±1.
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.
9.B 因为f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)2-m+1]=m-2=-2,解得m=0.
故选B.
10.D ∵f(x)=(x+a)·(x-4)为偶函数,
∴f(-x)=f(x)对于任意的x都成立,
即(x+a)·(x-4)=(-x+a)·(-x-4),
展开得x2+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a,
即(a-4)x=0,∴a=4.
11.答案 1
解析 由于函数为二次函数,故当其图象的对称轴为直线x=-1-a2=0,即a=1时,函数为偶函数.
12.答案 13;0
解析 ∵函数具有奇偶性时定义域必须关于原点对称,∴a-1+2a=0,∴a=13.
又∵f(x)图象的对称轴为直线x=-b2a,
∴由偶函数图象关于y轴对称,得-b2a=0,∴b=0.
13.答案 -x3+x+2
解析 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x3+x+2,
又函数f(x)在R上为偶函数,所以f(-x)=f(x)=-x3+x+2,
故当x<0时, f(x)=-x3+x+2.
14.解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
则f(x)-g(x)=1x+1,f(-x)-g(-x)=1-x+1,
即f(x)-g(x)=1x+1,-f(x)-g(x)=1-x+1,
两式相减,得f(x)=xx2-1;
两式相加,得g(x)=1x2-1.
15.解析 (1)根据题意,函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,当x>0时,f(x)=x2-x-3,
当x<0时,-x>0,
则f(x)=-f(-x)=-(x2+x-3)=-x2-x+3,
所以函数f(x)的表达式为f(x)=x2-x-3,x>0,0,x=0,-x2-x+3,x<0.
(2)由(1)得当x>0时,令f(x)=x,即x2-x-3=x,解得x=3或x=-1(舍去);
当x=0时,方程f(x)=x恒成立;
当x<0时,令f(x)=x,即-x2-x+3=x,解得x=-3或x=1(舍去),
综上,方程f(x)=x的解集为{-3,0,3}.
16.A xf(x)>0等价于x<0,f(x)<0或x>0,f(x)>0,
由函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,知f(x)的图象关于原点对称,画出y轴左侧的图象(图略),由图象可得不等式xf(x)>0的解集为(-2,-1)∪(1,2).故选A.
17.C ∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
又∵f(-3)=0,∴f(3)=-f(-3)=0,
作出f(x)的大致图象,如图所示.
xf(-x)<0⇔-xf(x)<0⇔xf(x)>0⇔x>0,f(x)>0或x<0,f(x)<0.
由图象可得x>3或x<-3,
∴xf(-x)<0的解集是{x|x<-3或x>3}.
故选C.
18.B ∵二次函数f(x)=ax2+(b-a)x-b(a≠0,a,b∈R)为偶函数,
∴f(x)图象的对称轴为y轴,
∴-b-a2a=0,∴a=b,∴f(x)=ax2-a,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴a<0.
令f(x)=0,则x=±1,画出大致图象如图.
结合图象得f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
19.解析 (1)∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令x=y=-1,则f(1)=2f(-1)=0,∴f(-1)=0,
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
又∵f(x)的定义域关于原点对称,
∴f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数.
(2)证明:∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴fyx=f(y)-f(x),
任取x1,x2∈(0,+∞),x1
(3)∵f(3)=-1,∴f(9)=2f(3)=-2,
∴f(x)+f(x-8)=f [x(x-8)]≥f(9),
∵f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
∴|x(x-8)|≤9,x(x-8)≠0,
综上,x的取值范围为[-1,0)∪(0,4-7]∪[4+7,8)∪(8,9].
能力提升练
1.B 由已知,得g(x)≠1,所以在F(x)中,x≠0, F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)
=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)
=2f(x)+2f(x)[g(x)-1]g(x)-1-f(x)
=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x),且定义域关于原点对称,所以F(x)是偶函数.
2.CD 对于A,设g(x)=f(x)f(-x).∵g(-x)=f(-x)f(x)=g(x),x∈R,∴f(x)f(-x)是偶函数,故A错误;
对于B,设h(x)=f(x)|f(-x)|.∵h(-x)=f(-x)|f(x)|≠h(x),同理h(-x)≠-h(x),
∴f(x)|f(-x)|既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;
对于C,设m(x)=f(x)-f(-x).∵m(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-m(x),x∈R,∴f(x)-f(-x)是奇函数,故C正确;
对于D,设n(x)=f(x)+f(-x).∵n(-x)=f(-x)+f(x)=n(x),x∈R,∴f(x)+f(-x)是偶函数,故D正确.
故选CD.
3.ABD 令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1.令x1+x2=0,则x2=-x1,由条件有f(0)=f(x1)+f(-x1)+1,∴f(x1)+f(-x1)+2=0,故A,B中说法均不正确;
易知f(-x1)+1=-[f(x1)+1],x∈R,
∴f(x1)+1为奇函数.故C中说法正确,D中说法不正确.故选ABD.
4.B ∵f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,x3+ax2+bx,x<0,
∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2+3(-x),-x≥0,(-x)3+a(-x)2+b(-x),-x<0,
即f(-x)=-x3+2x2-3x,x≤0,-x3+ax2-bx,x>0,
∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-x3-2x2-3x,x≥0,-x3-ax2-bx,x<0.
对比系数得a=-2,b=3.
5.B 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,满足f(x)=ax-x2.
当a≤0且x≥0时,函数f(x)=ax-x2为减函数.
设x<0,则-x>0,f(-x)=a·(-x)-(-x)2=-ax-x2,此时,f(x)=-f(-x)=ax+x2,且该函数在(-∞,0)上单调递减,
所以,函数f(x)在实数集R上单调递减,
画草图如下:
由题意可得f(m)=n,f(n)=m,则点(m,n)和点(n,m)在函数f(x)的图象上,且这两点关于直线y=x对称.
若m
因此,m<0
即(m+n)·(a+m-n-1)=0,
∴a=n-m+1>0(舍去)或m+n=0,则n=-m.
代入am+m2=n,得am+m2=-m,∴a=-m-1>-1,又∵a≤0,∴-1
6.答案 2
解析 由f(x)是奇函数得f(-x)=-f(x),即-bx+c=-(bx+c),∴c=0,∴f(x)=ax2+1bx,∵f(1)=2,∴a+1=2b.
∵f(2)<3,∴4a+12b=4a+1a+1<3,解得-1
∴a=1,b=1,c=0,∴a+b+c=2.
7.答案 2≤t≤2+22
解析 当x<0时,-x>0,因此f(-x)=-4x-x2,由函数f(x)是奇函数知, f(0)=0,且f(x)=-f(-x)=4x+x2.
所以函数f(x)=4x-x2,x≥0,4x+x2,x<0,其图象如图所示.
由图象知t≥2,由4x-x2=-4得x=2+22或x=2-22(舍去),故实数t∈[2,2+22].
8.B ∵f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,
∴当x=0时,f(0)=0,
设x∈[-4,0),则-x∈(0,4],
又∵当x>0时,f(x)=-x2+4x,且f(x)为奇函数,
∴当x∈[-4,0)时,f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+4(-x)]=x2+4x,
∴f(x)=x2+4x,x∈[-4,0],-x2+4x,x∈(0,4].
当x∈[-4,0]时,不等式f(f(x))
方程x(x+4)(x+3)(x+1)=0的根为x=0或x=-4或x=-3或x=-1,如图所示:
∴当x∈[-4,0]时,所求不等式的解集为{x|-4
9.答案 -2,23
解析 f(x)=x2-1|x|+1-2为偶函数,当x>0时,f(x)=x2-1x+1-2,f(x)为增函数.
所以f(2a)≤f(a-2)等价于|2a|≤|a-2|,解得a∈-2,23.
10.答案 -32,+∞
解析 易知g(x)为R上的偶函数.
∵g(x)=f(x)+x2,∴f(x)=g(x)-x2,
∵f(x+1)-f(x+2)>2x+3,∴[g(x+1)-(x+1)2]-[g(x+2)-(x+2)2]>2x+3,
∴[g(x+1)-g(x+2)]+[(x+2)2-(x+1)2]>2x+3,∴g(x+1)-g(x+2)>0,
∴g(x+1)>g(x+2),∵当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,
∴当x∈(0,+∞)时,g(x)单调递减,大致图象如图.
则|x+1|<|x+2|,解得x∈-32,+∞.
11.解析 (1)因为函数f(x)=ax-b4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=13,
所以f(0)=0,f(1)=13,解得a=1,b=0,
所以f(x)=x4-x2,-2
任取x1,x2∈(-2,2),且x1
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且在(-2,2)上单调递增,所以f(t-1)
∴f(-x)=-f(x),∴f(-x)+f(x)=0,
∴-ax+b(-x)2+1+ax+bx2+1=0对一切x成立,即2bx2+1=0恒成立,∴b=0,∴f(x)=axx2+1.
又∵f12=25,∴a=1,∴f(x)=xx2+1.
(2)在[2,4]上任取x1,x2,且x1
=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)(x12+1)·(x22+1)
=(x2-x1)·(x1x2-1)(x12+1)·(x22+1).
∵2≤x1
∴(x2-x1)·(x1x2-1)(x12+1)·(x22+1)>0,∴f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在[2,4]上单调递减,∴f(x)max=f(2)=25.
若f(x)≤m2-35在[2,4]上恒成立,则f(x)max≤m2-35,即25≤m2-35,
∴m2≥1,∴m≤-1或m≥1,
∴实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
13.解析 (1)由题意,当a=2时,函数f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2,
画出函数的图象,如图所示,
结合图象,可得函数的单调递增区间为(1,+∞).
(2)当a=0时,f(x)为偶函数,当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.理由如下:
当a=0时,函数f(x)=x2+2|x|-4,
则f(-x)=(-x)2+2|-x|-4=x2+2|x|-4=f(x),又因为x∈R,定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数;
当a≠0时,可得f(2)=2|2-a|, f(-2)=2|a+2|,则f(2)≠±f(-2),
所以函数f(x)为非奇非偶函数.
(3)对任意实数x,不等式f(x)≥-1恒成立,只需使得f(x)min≥-1成立,
设g(x)=(x+1)2-2a-5,x≥a,h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a<-1时,g(x)min=g(-1)=-2a-5;
当a≥-1时,g(x)min=g(a)=a2-4.
对于h(x)=(x-1)2+2a-5,x
当a≥1时,h(x)min=h(1)=2a-5.
①当a<-1时,a2-4-(-2a-5)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,
则f(x)min=g(x)min=g(-1)=-2a-5,由-2a-5≥-1,解得a≤-2,满足题意;
②当-1≤a<1时,f(x)min=a2-4,
由a2-4≥-1,解得a<-3或a>3,不符合题意;
③当a≥1时,a2-4-(2a-5)=a2-2a+1=(a-1)2≥0,则f(x)min=h(x)min=h(1)=2a-5,由2a-5≥-1,解得a≥2,满足题意.
综上,实数a的取值范围是a≤-2或a≥2.
14.C 由f(x)为偶函数知f(|x|)=fx+3x+4,则|x|=x+3x+4,
若x=x+3x+4,即x2+3x-3=0有解,则两根之和为-3;
若-x=x+3x+4,即x2+5x+3=0有解,则两根之和为-5.
故所有的x的和为-8.故选C.
15.A f(x)=x3+g(x)+2x2+x2x2+g(x)=x3+x2x2+g(x)+1.设h(x)=x3+x2x2+g(x),则h(-x)=(-x)3+(-x)2(-x)2+g(-x)=-x3+x2x2+g(x)=-h(x),
∴h(x)为奇函数.
∵f(x)存在最大值M和最小值m,
∴h(x)也存在最大值M'和最小值m',且M'+m'=0.
故M+m=(M'+1)+(m'+1)=2.故选A.
16.答案 (1)
解析 假设(1)和(2)都正确,那么(3)必然错误,画图(图略)可知(4)也错误,不符合题意,所以(1)和(2)中必然有1个是错误的.假设(1)是正确的,(2)是错误的,那么(3)也是错误的,不符合题意.如果(2)是正确的,(1)是错误的,(3)和(4)可以都正确,符合题意.
17.解析 (1)我同意王鹏同学的观点.
理由如下:
假设f(x)是奇函数,
则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,
可得f(a)+f(-a)=0,
即a2-2|a|+3=0,
显然a2-2|a|+3=0无实数解,
故f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),
即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.
经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,
由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
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