人教B版 (2019)1.2.3 充分条件、必要条件第1课时巩固练习

八　充分条件、必要条件

【基础全面练】　(15分钟·30分)

1.(2021·北京高一检测)“a>0”是“a2>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.当a>0时，a2>0一定成立；a2>0时，a>0或a<0，故“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件．

2．已知p：>0，q：xy>0，则p是q的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选C.若>0，则x与y同号，

所以xy>0，所以p⇒q；

若xy>0，则x与y同号，所以>0，所以q⇒p；

所以p是q的充分条件也是必要条件．

3．(2021·镇江高一检测)已知集合

A＝，B＝，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选B.因为A＝，B＝，所以BA，

所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．

4．用“充分”或“必要”填空：

(1)“x≠3”是“|x|≠3”的__________条件．

【解析】当|x|≠3时，x≠±3，

所以“x≠3”D⇒/“|x|≠3”，“|x|≠3”⇒“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件．

(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的__________条件．

【解析】因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”“这个自然数能被5整除”D⇒/“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件．

答案：(1)必要　(2)充分

5．已知a，b是实数，且ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充分条件是a＋b＝1，该条件是否是必要条件？证明你的结论．

【解析】若a＋b＝1，即b＝1－a，

a3＋b3＋ab－a2－b2

＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2

＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.所以a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充分条件．

a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的必要条件，

证明如下：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，

因为a2－ab＋b2＝＋b2>0.

所以a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.

【补偿训练】

有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答：命题：“若点在B内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件．

【解析】如图，因为“点在B内⇒点一定在A内”为真，所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件．

【综合突破练】　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(多选题)有以下说法，其中正确的为(　　)

A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件

B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件

C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件

D．“x>3”是“x2>4”的充分条件

【解析】选ACD.A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；

B不正确．因为“x∈A”D⇒/“x∈(A∩B)”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确．由于“x>3”⇒“x2>4”，所以“x>3”是“x2>4”的充分条件．

【补偿训练】

 (多选题)命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分条件是(　　)

A．a≥9　　 B．a≥11

C．a≥10     D．a≤10

【解析】选BC.当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥max.

因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.

因为a≥9D⇒/a≥10，a≥10⇒a≥9，

又a≥9D⇒/a≥11，a≥11⇒a≥9.a≥9D⇒/a≤10，

a≤10D⇒/a≥9，所以B，C正确．

2．(2021·六安高一检测)“x＝－1”是“x2－2x－3＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．既是充分条件也是必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.由“x＝－1”可推出“x2－2x－3＝0”，但由“x2－2x－3＝0”可推出x＝－1或x＝3，所以“x＝－1”是“x2－2x－3＝0”的充分不必要条件．

3．使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　)

A．x<0　　　　 B．x≥0或x≤－1

C．x>0      D．x≤－1

【解析】选B.因为|x|＝x⇒x≥0⇒x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1.

4．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　)

A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件

D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件

【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，

所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件．

【补偿训练】

设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

【解析】选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙D⇒/丙，如图．

综上，有丙⇒甲，但甲D⇒/丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a＋b>0的充分条件．(填序号)

【解析】问题是“谁”是“a＋b>0”的充分条件；即为“谁”⇒a＋b>0.

①a>0，b>0⇒a＋b>0；②a<0，b<0D⇒/a＋b>0；③a＝3，b＝－2⇒a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|⇒a＋b>0.

答案：①③④

6．(2021·南京高一检测)若p：x<2是q：x<a的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

【解析】由p是q的充分不必要条件得，所以a>2，.

答案：a>2

三、解答题

7．(10分)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件：

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除．

【解析】数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，qD⇒/p，

所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件．

(2)p：x>1，q：x2>1.

【解析】因为x2>1⇒x>1或x<－1，

所以p⇒q，且qD⇒/p.

所以p是q的充分条件，

且p不是q的必要条件．

(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．

【解析】△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，

即pD⇒/q，且q⇒p，

所以p不是q的充分条件，且p是q的必要条件．

(4)p：A∩B＝A，q：UB⊆UA.

【解析】画出维恩图(如图)可得．

结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒UB⊆UA，

反之也成立．

所以p是q的充分条件，

且p是q的必要条件．

【补偿训练】

已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1，该条件是否是必要条件？证明你的结论．

【解析】若a2－b2＝1，

则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2

＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，

所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．

a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件，

证明如下：若a4－b4－2b2＝1，

则a4－b4－2b2－1＝0，

即a4－(b2＋1)2＝0，

所以(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，

因为a2＋b2＋1≠0，

所以a2－b2＝1，

所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件.