高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系当堂达标检测题

课后素养落实(十一)　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是(　　)

A．只有一个元素　 B．有两个元素

C．为空集 D．不能确定有几个元素

A　[∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A．]

2．下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)

A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0

C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

B　[A．∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，

∴方程没有实数根，此选项符合题意；C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B．]

3．用配方法解下列方程，配方正确的是(　　)

A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4

B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8

C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16

D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4

D　[A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D．]

4．(多选题)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)

A．当m＝0时，方程只有一个实数根

B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根

C．当m＝－1时，方程没有实数根

D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根

AB　[当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，

所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；

当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，

因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；

当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实数根，D错误．故选AB．]

5．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)

A．x2－7x＋12＝0　 B．x2＋7x＋12＝0

C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0

A　[由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，x1x2＝，即可判断A正确，故选A．]

二、填空题

6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.

5　15　[将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为＝5.]

7．已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，则|x1－x2|＝________.

　[由条件知x1＋x2＝－3，x1·x2＝－1，∴|x1－x2|

＝＝＝

＝.]

8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是________．

3　[一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，

则Δ＝(2m＋3)2－4m2＞0，解得m＞－.α＋β＝－2m－3，αβ＝m2，

则＋＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，

解得m＝3或m＝－1，因为m＞－，

所以只有m＝3符合题意．故答案为3.]

三、解答题

9．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．

[解]　x2－2x－＝0，移项得x2－2x＝，

配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，

开方得x－1＝±，

解得x1＝，x2＝－.

①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中，

得－(k＋2)＋＝0，

解得k＝；

②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中，

得＋(k＋2)＋＝0，

解得k＝－7.

当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，

综上所述，k的值为－7或.

10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．

[解]　(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，

解得k＜4.

(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，

∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，

解得x1＝1，x2＝3.

∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，

∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，

得1＋m－1＝0，解得m＝0；

当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，

得9＋3m－1＝0，解得m＝－.

综上，m＝0或m＝－.

1．(多选题)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)

A．－9　 B．－5　　　　

C．5　　　　 D．9

BD　[设方程的两根为x1，x2，

由题意，得x＋x＝45.

所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.

因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，

所以a2－2×2a＝45.

解得a1＝－5，a2＝9.

又因为Δ＝a2－8a，

当a＝－5时，Δ＞0，此时方程有两实数根．

当a＝9时，Δ＞0，此时方程有两实数根．]

2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，则方程中m的值及方程的另一个根分别是(　　)

A．1,2＋ B．－1,2＋

C．1，－2－ D．－1，－2－

B　[∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－，设另一根为a，则有x＋a＝4，即2－＋a＝4，解得a＝2＋.则m＝(2－)×(2＋)＝4－5＝－1．故选B．]

3．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．

{－1,3}　[把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.

∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，

∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．]

4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2，当x－x＝0时，m的值为________．

　[由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m－1)，x1x2＝m2.

由x－x＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.

若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝.因为＞，可知m＝不合题意，舍去；

若x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝.

故当x－x＝0时，m＝.]

在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.

解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.

解得：y1＝1，y2＝2.

当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；

当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.

∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.

上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：

(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.

(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．

[解]　(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，

即(a－1)(a－9)＝0，

解得：a＝1或a＝9，

当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；

当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.

∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.

(2)设x＋＝y，

则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，

∴(y＋1)(y－4)＝0，

解得：y＝－1或y＝4，

即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，

故x＋＝4.